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【备战2024年】中考一轮复习 初中数学 考点精讲精炼 第2讲 一元二次方程(考点精析+真题精讲+题型突破+专题精讲)(原卷+解析卷).zip
展开1.判定下列方程是否关于x的一元二次方程:
(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a; (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1.
题型二 解一元二次方程
2.(2023·新疆·统考中考真题)用配方法解一元二次方程,配方后得到的方程是( )
A.B.C.D.
3.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)用配方法解方程时,配方后正确的是( )
A.B.C.D.
4.(2023·四川眉山·统考中考真题)已知方程的根为,则的值为____________.
5.(2022·四川凉山)解方程:x2-2x-3=0
题型三 一元二次方程根的判别式
6.(2023·山东滨州·统考中考真题)一元二次方程根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能判定
7.(2022·浙江温州)若关于x的方程有两个相等的实数根,则c的值是( )
A.36B.C.9D.
8.(2023·全国·统考中考真题)一元二次方程根的判别式的值是( )
A.33B.23C.17D.
9.(2023·四川·统考中考真题)关于x的一元二次方程根的情况,下列说法中正确的是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
10.(2023·河南·统考中考真题)关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
11.(2023·上海·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程没有实数根,那么a的取值范围是________.
12.(2020·湖北中考真题)已知关于x的一元二次方程有两个实数根.
(1)求k的取值范围;(2)若,求k的值.
13.(2020·广西玉林·中考真题)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;(2)若方程的两个不相等实数根是a,b,求的值.
14.(2020·湖北随州·中考真题)已知关于的一元二次方程.
(1)求证:无论取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有两个实数根,,且,求的值.
15.(2022·四川南充)已知关于x的一元二次方程有实数根.
(1)求实数k的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为,若,求k的值.
考向四 含参问题
16.(2023·四川眉山·统考中考真题)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
17.(2023·山东聊城·统考中考真题)若一元二次方程有实数解,则m的取值范围是( )
A.B.C.且D.且
18.(2023·湖南常德·统考中考真题)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是_________.
19.(2022秋·河南新乡·九年级统考期中)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是_____________.
20.(2023·四川宜宾·统考中考真题)若关于x的方程两根的倒数和为1,则m的值为___________.
21.(2023·山东枣庄·统考中考真题)若是关x的方程的解,则的值为___________.
22.(2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是______.
23.(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,且,则实数_________.
24.(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)当时,用配方法解方程.
题型五 根与系数关系
25.(2023·山东·统考中考真题)一元二次方程的两根为,则的值为( )
A.B.C.3D.
26.(2023·四川泸州·统考中考真题)关于的一元二次方程的根的情况是( )
A.没有实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数的取值有关
27.(2023·四川乐山·统考中考真题)若关于x的一元二次方程两根为,且,则m的值为( )
A.4B.8C.12D.16
28.(2023·天津·统考中考真题)若是方程的两个根,则( )
A.B.C.D.
29.(2023·湖北宜昌·统考中考真题)已知、是方程的两根,则代数式的值为_________.
30.(2023·四川遂宁·统考中考真题)若a、b是一元二次方程的两个实数根,则代数式的值为_________.
31.(2023·四川内江·统考中考真题)已知a、b是方程的两根,则___________.
32.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知一元二次方程的两个实数根为,若,则实数_____________.
33.(2023·四川南充·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若,是方程的两个实数根,且,求m的值.
34.(2019·湖北黄石·中考真题)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围.(2)若该方程的两个实数根为、,且,求的值.
35.(2019·四川南充·中考真题)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求实数m的取值范围;(2)当m=2时,方程的根为,求代数式的值.
题型六 一元二次方程在实际问题中的应用
36.(2023·广西·统考中考真题)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为( )
A.B.
C.D.
37.(2022·新疆)临近春节的三个月,某干果店迎来了销售旺季,第一个月的销售额为8万元,第三个月的销售额为11.52万元,设这两个月销售额的月平均增长率为x,则根据题意,可列方程为( )
A.B.C.D.
38.(2023·黑龙江·统考中考真题)如图,在长为,宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是,则小路的宽是( )
A.B.C.或D.
39.(2023·重庆·统考中考真题)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位个.设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为,根据题意,可列方程为___________.
40.(2023·湖南·统考中考真题)某校截止到年底,校园绿化面积为平方米.为美化环境,该校计划年底绿化面积达到平方米.利用方程想想,设这两年绿化面积的年平均增长率为,则依题意列方程为__________.
41.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6 cm2?
(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于8 cm2?说明理由.
42.(2023·辽宁大连·统考中考真题)为了让学生养成热爱图书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用是7200元,求年买书资金的平均增长率.
43.(2022·四川眉山)建设美丽城市,改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元,2021年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的增长率相同.
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率;
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区?
44.(2023·湖南郴州·统考中考真题)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率;
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?
45.(2019·辽宁铁岭·中考真题)小李在景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,物价部门规定:销售单价不能超过12元,设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元).
(1)求y与x的函数关系式.(2)要使日销售利润为720元,销售单价应定为多少元?(3)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式,当x为何值时,日销售利润最大,并求出最大利润.
46.(2019·山东东营·中考真题)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为元时,每天可售出个;若销售单价每降低元,每天可多售出个.已知每个电子产品的固定成本为元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利元?
47.(2020·辽宁丹东·中考真题)某服装批发市场销售一种衬衫,衬衫每件进货价为50元,规定每件售价不低于进货价,经市场调查,每月的销售量(件)与每件的售价(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
(1)求出与之间的函数表达式;(不需要求自变量的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元,又想尽量给客户实惠,该如何给这种衬衫定价?
(3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总利润为(元),那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?
48.(2020·内蒙古赤峰·中考真题)阅读理解:
材料一:若三个非零实数x,y,z满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实教x,y,z构成“和谐三数组”.
材料二:若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为,,则有,.
问题解决:
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ;
(2)若,是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a,b,c均不为0)的两根,是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解.求证:x1 ,x2,x3可以构成“和谐三数组”;
(3)若A(m,y1) ,B(m + 1,y2) ,C(m+3,y3)三个点均在反比例函数的图象上,且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”,求实数m的值.
49.(2022·四川凉山)阅读材料:
材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,
∴m+n=1,mn=-1,
则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)材料理解:一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2= ;x1x2= .
(2)类比应用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求的值.
(3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求的值.
50.(2022·山西·中考真题)阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道,一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标(,)和一元二次方程根的判别式,分别分和两种情况进行分析:
(1)时,抛物线开口向上.
①当时,有.∵,∴顶点纵坐标.
∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图1).
②当时,有.∵,∴顶点纵坐标.
∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图2).
∴一元二次方程有两个相等的实数根.
③当时,
……
(2)时,抛物线开口向下.
……
任务:
(1)上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个即可);
A.数形结合
B.统计思想
C.分类讨论.
D.转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程,写出③中当时,一元二次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图;
(3)实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识,例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为
售价(元/件)
60
65
70
销售量(件)
1400
1300
1200
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