2020-2021麓山国际实验学校八年级（上）开学数学试卷

这是一份2020-2021麓山国际实验学校八年级（上）开学数学试卷，共25页。
A．1B．0C．D．﹣3
2．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（ ）
A．159°B．161°C．169°D．138°
3．（3分）若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
4．（3分）用三个不等式x＞0，x＜﹣3，x＞﹣2中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式2※x＞2，则不等式的解集为（ ）
A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2
6．（3分）给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，25 cmD．5cm，5cm，11cm
7．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，
（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（ ）
A．135°B．120°C．112.5°D．115°
8．（3分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
9．（3分）如图在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠DEF＝3∠AEF，则∠AFE度数是（ ）
A．45°B．60°C．72°D．无法确定
10．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
11．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠DD．BC＝DC，∠A＝∠D
12．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 度．
14．（3分）计算：﹣﹣|﹣5|＝ ．
15．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了 场．
16．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是 ．
17．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 ．
18．（3分）如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：
①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．
正确的是 （填上正确的结论序号）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（6分）（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
21．（8分）完成下面的证明：
已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．
证明：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE，（ ）
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，
∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，
∴∠3＝∠4，（ ）
∴ ∥ ，（ ）
∴∠1＝∠2．（ ）
22．（8分）如图，△ABD中，E，F，M分别在边AB，AD，BD上，BF，DE相交于点N，MN平分∠BND．
（1）若∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，求∠MND的度数．
（2）若MN∥AB，∠ADE＝35°，求∠A的取值范围．
23．（9分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、BA为边作等边三角形BCD和等边三角形BAE，连接ED并延长交AC于点F．求证：
（1）∠BDE＝90°；
（2）AF＝DE﹣DF．
24．（9分）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水．
（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？
（2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；
（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？
25．（10分）（1）如图1，△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．
（2）如图2、3，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：
①如图2，若α+β＞180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
②如图3，若α+β＜180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
26．（10分）已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN＝MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论 ；（不用证明）
（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）四个实数1，0，，﹣3中，最大的数是（ ）
A．1B．0C．D．﹣3
【解答】解：四个实数1，0，，﹣3中，
﹣3＜0＜1＜，
故最大的数是：．
故选：C．
2．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（ ）
A．159°B．161°C．169°D．138°
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝42°，
∴∠AOD＝180°﹣42°＝138°，
∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝21°，
∴∠AOM＝138°+21°＝159°．
故选：A．
3．（3分）若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【解答】解：∵是方程nx+6y＝4的一个解，
∴代入得：﹣2n+6m＝4，
∴3m﹣n＝2，
∴3m﹣n+1＝2+1＝3，
故选：A．
4．（3分）用三个不等式x＞0，x＜﹣3，x＞﹣2中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：根据题意知，
所以不等式组有解．
故选：B．
5．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式2※x＞2，则不等式的解集为（ ）
A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2
【解答】解：∵2※x＞2，
∴2x﹣2+x﹣2＞2，
解得x＞2，
故选：B．
6．（3分）给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，25 cmD．5cm，5cm，11cm
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+4＝7＞5，能组成三角形；
B中，8+7＝15，不能组成三角形；
C中，13+12＝25，不能够组成三角形；
D中，5+5＝10＜11，不能组成三角形．
故选：A．
7．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，
（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（ ）
A．135°B．120°C．112.5°D．115°
【解答】解：∵折叠，且∠P1MA＝90°，
∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，
∵折叠，
∴∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，
∴在△DP1M中，∠DP1M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
故选：C．
8．（3分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，
∴∠DEF＝30°．
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30°，
∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
9．（3分）如图在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠DEF＝3∠AEF，则∠AFE度数是（ ）
A．45°B．60°C．72°D．无法确定
【解答】解：设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∠AEF＝y°，则∠DEF＝3y°，依题意有
4x+4y＝540，
解得x+y＝135，
则∠AFE＝180°﹣135°＝45°．
故选：A．
10．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
11．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠DD．BC＝DC，∠A＝∠D
【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
故选：D．
12．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四点共圆，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四点共圆，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 30 度．
【解答】解：∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠1＝∠ABC＝75°，
∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
14．（3分）计算：﹣﹣|﹣5|＝ 0 ．
【解答】解：原式＝3﹣（﹣2）﹣5
＝3+2﹣5
＝0，
故答案为：0．
15．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了 9 场．
【解答】解：设该队胜了x场，负了y场，依题意有
，
解得．
故该队胜了9场．
故答案为：9．
16．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是 2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2 ．
【解答】解：解不等式组得：m＜x≤6，
∵所有整数解的和是18，18＝6+5+4+3
∴x＝6，5，4，3，因此不等式组的整数解为①6，5，4，3，或②6，5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2
∴2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2；
故答案为：2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2．
17．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 3或5 ．
【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
在Rt△OPE和Rt△OPN中，，
∴Rt△OPE≌Rt△OPN（HL），
∴OE＝ON＝4，
∵OM＝3，ON＝4，
∴MN＝ON﹣OM＝1；
若点D在线段OE上，
在Rt△PMN和Rt△PDE中，，
∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL）
∴DE＝MN＝1
∴OD＝OE﹣DE＝3
若点D在射线EA上，
在Rt△PMN和Rt△PDE中，，
∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL），
∴DE＝MN＝1，
∴OD＝OE+DE＝5；
故答案为：3或5．
18．（3分）如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：
①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．
正确的是 ①②③④ （填上正确的结论序号）．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，
∴△ACD≌△FCD，
∴AC＝CF，AD＝DF，∠ACD＝∠DCB＝22.5°，故①正确；
∵BE⊥CD，
∴∠EBC＝67.5°，
∴∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝22.5°，故②正确；
∵△BDF的周长＝BD+DF+BF＝BD+AD+BF＝AC+BF＝CF+BF，
∴△BDF的周长为8，故③正确，
如图，延长CA，BE交于点H，
∵∠ACD＝∠BCD，CE＝CE，∠BEC＝∠CEH＝90°，
∴△BCE≌△HCE（ASA）
∴BE＝EH，
∴BH＝2BE，
∵∠EBA＝∠ACD＝22.5°，∠BAH＝∠CAD＝90°，AC＝AB，
∴△ACD≌△ABH（ASA）
∴CD＝BH，
∴CD＝2BE，故④正确，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
解：把②代入①，得 6y﹣7﹣y＝13，
∴y＝4，
把y＝4代入②，得x＝17，
所以这个方程组的解是；
（2），
解：由①，得 x﹣3y＝﹣6③，
②+③，得 3x＝﹣3．
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入③，得 ，
所以这个方程组的解是．
20．（6分）（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
【解答】解：（1）去分母，得：2（3x+1）﹣（5x﹣1）≤4，
去括号，得：6x+2﹣5x+1≤4，
移项、合并，得：x≤1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）由3﹣x＞0得：x＜3，
由+1≥x得：x≥﹣1，
不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
∴所有整数解是﹣1.0，1，2．
21．（8分）完成下面的证明：
已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．
证明：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE，（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，
∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，
∴∠3＝∠4，（ 等量代换 ）
∴ BE ∥ DF ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1＝∠2．（ 两直线平行，内错角相等 ）
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE，（两直线平行，同位角相等）
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，
∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，
∴∠3＝∠4，（等量代换）
∴BE∥DF，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠2．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；BE；DF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
22．（8分）如图，△ABD中，E，F，M分别在边AB，AD，BD上，BF，DE相交于点N，MN平分∠BND．
（1）若∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，求∠MND的度数．
（2）若MN∥AB，∠ADE＝35°，求∠A的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，
∴∠NBD+∠NDB＝180°﹣62°﹣35°﹣20°＝63°，
∴∠BND＝180°﹣（∠NBD+∠NDB）＝117°，
∵MN平分∠BND，
∴∠MND＝∠BND＝58.5°；
（2）∵MN∥AB，
∴∠ABN＝∠BNM，
∵MN平分∠BND，
∴∠BND＝2∠ABF，
∵∠NBD+∠NDB＝180°﹣∠A﹣∠ABF﹣∠ADE，
∴∠BND＝180°﹣（∠NBD+∠NDB）＝∠A+∠ABF+∠ADE，
∵∠ADE＝35°，
∴2∠ABF＝∠A+∠ABF+35°，
∴∠A＝∠ABF﹣35°，
∵∠BND＜180°，
∴∠ABF＜90°，
∴∠A＜55°，
∴0°＜∠A＜55°．
23．（9分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、BA为边作等边三角形BCD和等边三角形BAE，连接ED并延长交AC于点F．求证：
（1）∠BDE＝90°；
（2）AF＝DE﹣DF．
【解答】证明：（1）∵BCD和BAE是等边三角形，
∴BD＝CD，BE＝BA，
∠DBE＝60°﹣∠DBA＝∠CBA，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴∠ABC＝∠BDE＝90°，DE＝AC；
（2）∠CDF＝180﹣∠BDE﹣∠BDC＝30°，∠DCA＝∠BCA﹣∠BCD＝30°，
∴CF＝DF，
AC＝AF+CF＝AF+DF，而DE＝AC，
∴AF＝DE﹣DF．
24．（9分）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水．
（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？
（2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；
（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？
【解答】解：（1）设公司采购了x个大包装箱，y个小包装箱．
根据题意得：（2分）解之得：
答：公司采购了250个大包装箱，150个小包装箱．（4分）
（2）设公司派A种型号的车z辆，则B种型号的车为（10﹣z）辆．
根据题意得：（6分）
解之得：（7分）
∵z为正整数
∴z取5、6、7、8（8分）
∴方案一：公司派A种型号的车5辆，B种型号的车5辆．
方案二：公司派A种型号的车6辆，B种型号的车4辆．
方案三：公司派A种型号的车7辆，B种型号的车3辆．
方案四：公司派A种型号的车8辆，B种型号的车2辆．（9分）
（3）∵A种车省油，
∴应多用A型车，
因此最好安排A种车8辆，B种车2辆，即方案四．（10分）
25．（10分）（1）如图1，△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．
（2）如图2、3，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：
①如图2，若α+β＞180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
②如图3，若α+β＜180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
【解答】解：（1）2∠P＝∠A．
理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴2∠P＝∠A；
（2）①延长BA交CD的延长线于F，如图2，
∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，
由（1）可知：∠P＝∠F，
∴∠P＝（α+β）﹣90°；
②如图3，延长AB交DC的延长线于F．
∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，
∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣．
26．（10分）已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN＝MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论 BM﹣DN＝MN ；（不用证明）
（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．
【解答】解：（1）延长CB到G使BG＝DN，
∵AB＝AD，GB＝DN，∠ABG＝∠ADN＝90°，
∴△AGB≌△AND，
∴AG＝AN，∠GAB＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠GAM＝∠GAB+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠GAM＝∠NAM，而AM是公共边，
∴△AMN≌△AMG，
∴MN＝GM＝BM+GB＝MB+DN；
（2）BM﹣DN＝MN；
（3）DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在ND上截取DG＝BM，
∵AD＝AB，∠ABM＝∠ADN＝90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG＝AM，∠MAB＝∠DAG，
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠MAG＝90°，△AMG为等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN为MG垂直平分线，
所以NM＝NG．
∴DN﹣BM＝MN．
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