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2020-2021长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷
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这是一份2020-2021长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中无理数有（ ）
﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等
3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（ ）
A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定
5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333
6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（ ）
A．2B．4C．不大于2D．小于2
7．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（ ）
A．5B．7C．9D．10
8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（ ）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3
11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜4
12．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知＝ ．
14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了 道题．
15．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 ．
16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝ ．
17．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ ．
三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）
19．（6分）解方程组：．
20．（6分）解不等式组：．
21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（ ），
∴OE＝OF（ ）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（ ）．
∵CP是∠ACB的平分线（ ），
∴O在CP上（ ）．
因此，AM，BN，CP交于一点．
22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．
（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？
（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．
23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝ 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．
（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度
（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）下列各数中无理数有（ ）
﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：是分数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
3.725，3.14是有限小数，属于有理数；
无理数有﹣π，，3.207007…共3个．
故选：C．
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等
【解答】解：A、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，此命题为真命题，
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项为假命题；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以C选项为假命题；
D、图形在平移过程中，对应线段平行（或共线）且相等，所以D选项为假命题．
故选：A．
3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【解答】解：移项，得﹣3y＝8﹣，
方程两边同时除以﹣3，得y＝．
故选：C．
4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（ ）
A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定
【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°，
∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°，
∴这两个角相等或互补．
故选：B．
5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333
【解答】解：∵≈1.333，
∴＝≈1.333×10＝13.33．
故选：C．
6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（ ）
A．2B．4C．不大于2D．小于2
【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4，PB＝5，PC＝2，
所以三条线段的最短的是2，
所以点P到直线l的距离不大于2．
故选：C．
7．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（ ）
A．5B．7C．9D．10
【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝540°，
解得：n＝5，
所以这个多边形的对角线的条数是，
故选：A．
8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴α＝50°．
故选：A．
9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
【解答】解：过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠NPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：C．
10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（ ）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3
【解答】解：不等式组，
解得，，
即，2b+3＜x＜，
∵﹣1＜x＜1，
∴2b+3＝﹣1，，
得，a＝1，b＝﹣2；
∴（a+1）（b﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：B．
11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜4
【解答】解：．
x＞4．
故选：A．
12．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在方程组中，设x+2＝a，y﹣1＝b，
则变形为方程组，
由题知，
所以x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即．
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知＝ 5或﹣3 ．
【解答】解：∵＝4，
∴（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
所以x＝5或﹣3．
故答案为：5或﹣3．
14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了 7 道题．
【解答】解：设该同学答对的题数为x道．根据题意得：
10x﹣3（10﹣x）＝61，
解得x＝7．
故答案为：7
15．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤2 ．
【解答】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，
当m＝2时，不等式组的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故答案为：m≤2．
16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝ 40或80 ．
【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（2x﹣10）°＝（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°＝180°，
解得：x＝40或x＝80，
故答案为：40或80
17．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是 ①②④ ．
【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，①正确，
∴AD平分∠BAC，②正确，
∵在Rt△ADE中，AD是斜边，
∴AD＞AE，③不正确，
∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF，AE＝AF，
∴AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE，④正确；
正确的是①②④．
故答案为：①②④．
18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ 6或12 ．
【解答】解：①当AP＝CB时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝6；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP＝6或12．
故答案为：6或12．
三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）
19．（6分）解方程组：．
【解答】解：，
①+②得：4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②得：x＝1，
则方程组的解为．
20．（6分）解不等式组：．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3．
21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（ 已知 ），
∴OE＝OF（ 角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等 ）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（ 等量代换 ）．
∵CP是∠ACB的平分线（ 已知 ），
∴O在CP上（ 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ）．
因此，AM，BN，CP交于一点．
【解答】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），
∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（等量代换）．
∵CP是∠ACB的平分线（已知），
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
因此，AM，BN，CP交于一点；
故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．
（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？
（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．
【解答】解：（1）设A型轿车每辆x万元，B型轿车每辆y万元．（1分）
根据题意，可得（3分）
解，得（4分）
所以A型轿车每辆15万元，B型轿车每辆10万元．（5分）
（2）设购进A型轿车a辆，则B型轿车（30﹣a）辆．（6分）
根据题意，得，
解这个不等式组，得18≤a≤20．
因为a为整数，所以a＝18，19，20．
30﹣a的值分别是12，11，10．
因此有三种购车方案：
方案一：购进A型轿车18辆，B型轿车12辆；
方案二：购进A型轿车19辆，B型轿车11辆；
方案三：购进A型轿车20辆，B型轿车10辆．
23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC
∴∠2＝∠DAC
∵∠l+∠2＝180°
∴∠1+∠DAC＝180°
∴AD∥GF
（2）∵ED∥AC
∴∠EDB＝∠C＝40°
∵ED平分∠ADB
∴∠2＝∠EDB＝40°
∴∠ADB＝80°
∵AD∥FG
∴∠BFG＝∠ADB＝80°
24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝ 2 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．
（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度
（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
【解答】解：（1）如图1中，
当AP＝PC＝2时，S△PAB＝S△PBC，
∵△ABP与△PBC不全等，
∴△ABP与△CBP为偏等积三角形，
故答案为2．
（2）如图2中，
∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，
∴BD＝CD，
∵AB∥EC，
∴∠BAD＝∠E，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB≌△EDC（AAS），
∴AD＝DE，AB＝EC＝2，
∵AC＝6，
∴6﹣2＜AE＜6+2，
∴4＜2AD＜8，
∴2＜AD＜4，
∵AD为正整数，
∴AD＝3，
∴AE＝2AD＝6．
（3）如图3中，过点B作BH⊥AE，垂足为H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
∴∠BAH＝∠DAC．
在△ABH和△ACD中，
，
∴△ABH≌△ACD（AAS）．
∴CD＝HB．
∵S△ABE＝AE•BH，S△CDA＝AD•DC，AE＝AD，CD＝BH，
∴S△ABE＝S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【解答】
（1）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠MDN＝∠ADC＝60°，
∴∠ADM＝∠NDC，
∴∠BDE＝∠NDC，
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（2）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，
∵∠CDM＝∠NDB
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（3）BN﹣AM＝MN，
证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠ADN＝∠ADN，
∴∠MDA＝∠CDN，
∵∠B＝∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，
∴∠MDN＝∠EDN，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，
∴BN﹣AM＝MN．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022
1．（3分）下列各数中无理数有（ ）
﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等
3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（ ）
A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定
5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333
6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（ ）
A．2B．4C．不大于2D．小于2
7．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（ ）
A．5B．7C．9D．10
8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（ ）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3
11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜4
12．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知＝ ．
14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了 道题．
15．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 ．
16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝ ．
17．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ ．
三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）
19．（6分）解方程组：．
20．（6分）解不等式组：．
21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（ ），
∴OE＝OF（ ）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（ ）．
∵CP是∠ACB的平分线（ ），
∴O在CP上（ ）．
因此，AM，BN，CP交于一点．
22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．
（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？
（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．
23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝ 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．
（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度
（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）下列各数中无理数有（ ）
﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：是分数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
3.725，3.14是有限小数，属于有理数；
无理数有﹣π，，3.207007…共3个．
故选：C．
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等
【解答】解：A、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，此命题为真命题，
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项为假命题；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以C选项为假命题；
D、图形在平移过程中，对应线段平行（或共线）且相等，所以D选项为假命题．
故选：A．
3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【解答】解：移项，得﹣3y＝8﹣，
方程两边同时除以﹣3，得y＝．
故选：C．
4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（ ）
A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定
【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°，
∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°，
∴这两个角相等或互补．
故选：B．
5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333
【解答】解：∵≈1.333，
∴＝≈1.333×10＝13.33．
故选：C．
6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（ ）
A．2B．4C．不大于2D．小于2
【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4，PB＝5，PC＝2，
所以三条线段的最短的是2，
所以点P到直线l的距离不大于2．
故选：C．
7．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（ ）
A．5B．7C．9D．10
【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝540°，
解得：n＝5，
所以这个多边形的对角线的条数是，
故选：A．
8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴α＝50°．
故选：A．
9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
【解答】解：过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠NPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：C．
10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（ ）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3
【解答】解：不等式组，
解得，，
即，2b+3＜x＜，
∵﹣1＜x＜1，
∴2b+3＝﹣1，，
得，a＝1，b＝﹣2；
∴（a+1）（b﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：B．
11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜4
【解答】解：．
x＞4．
故选：A．
12．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在方程组中，设x+2＝a，y﹣1＝b，
则变形为方程组，
由题知，
所以x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即．
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知＝ 5或﹣3 ．
【解答】解：∵＝4，
∴（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
所以x＝5或﹣3．
故答案为：5或﹣3．
14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了 7 道题．
【解答】解：设该同学答对的题数为x道．根据题意得：
10x﹣3（10﹣x）＝61，
解得x＝7．
故答案为：7
15．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤2 ．
【解答】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，
当m＝2时，不等式组的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故答案为：m≤2．
16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝ 40或80 ．
【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（2x﹣10）°＝（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°＝180°，
解得：x＝40或x＝80，
故答案为：40或80
17．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是 ①②④ ．
【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，①正确，
∴AD平分∠BAC，②正确，
∵在Rt△ADE中，AD是斜边，
∴AD＞AE，③不正确，
∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF，AE＝AF，
∴AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE，④正确；
正确的是①②④．
故答案为：①②④．
18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ 6或12 ．
【解答】解：①当AP＝CB时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝6；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP＝6或12．
故答案为：6或12．
三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）
19．（6分）解方程组：．
【解答】解：，
①+②得：4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②得：x＝1，
则方程组的解为．
20．（6分）解不等式组：．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3．
21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（ 已知 ），
∴OE＝OF（ 角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等 ）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（ 等量代换 ）．
∵CP是∠ACB的平分线（ 已知 ），
∴O在CP上（ 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ）．
因此，AM，BN，CP交于一点．
【解答】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），
∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（等量代换）．
∵CP是∠ACB的平分线（已知），
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
因此，AM，BN，CP交于一点；
故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．
（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？
（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．
【解答】解：（1）设A型轿车每辆x万元，B型轿车每辆y万元．（1分）
根据题意，可得（3分）
解，得（4分）
所以A型轿车每辆15万元，B型轿车每辆10万元．（5分）
（2）设购进A型轿车a辆，则B型轿车（30﹣a）辆．（6分）
根据题意，得，
解这个不等式组，得18≤a≤20．
因为a为整数，所以a＝18，19，20．
30﹣a的值分别是12，11，10．
因此有三种购车方案：
方案一：购进A型轿车18辆，B型轿车12辆；
方案二：购进A型轿车19辆，B型轿车11辆；
方案三：购进A型轿车20辆，B型轿车10辆．
23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC
∴∠2＝∠DAC
∵∠l+∠2＝180°
∴∠1+∠DAC＝180°
∴AD∥GF
（2）∵ED∥AC
∴∠EDB＝∠C＝40°
∵ED平分∠ADB
∴∠2＝∠EDB＝40°
∴∠ADB＝80°
∵AD∥FG
∴∠BFG＝∠ADB＝80°
24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝ 2 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．
（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度
（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
【解答】解：（1）如图1中，
当AP＝PC＝2时，S△PAB＝S△PBC，
∵△ABP与△PBC不全等，
∴△ABP与△CBP为偏等积三角形，
故答案为2．
（2）如图2中，
∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，
∴BD＝CD，
∵AB∥EC，
∴∠BAD＝∠E，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB≌△EDC（AAS），
∴AD＝DE，AB＝EC＝2，
∵AC＝6，
∴6﹣2＜AE＜6+2，
∴4＜2AD＜8，
∴2＜AD＜4，
∵AD为正整数，
∴AD＝3，
∴AE＝2AD＝6．
（3）如图3中，过点B作BH⊥AE，垂足为H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
∴∠BAH＝∠DAC．
在△ABH和△ACD中，
，
∴△ABH≌△ACD（AAS）．
∴CD＝HB．
∵S△ABE＝AE•BH，S△CDA＝AD•DC，AE＝AD，CD＝BH，
∴S△ABE＝S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【解答】
（1）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠MDN＝∠ADC＝60°，
∴∠ADM＝∠NDC，
∴∠BDE＝∠NDC，
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（2）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，
∵∠CDM＝∠NDB
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（3）BN﹣AM＝MN，
证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠ADN＝∠ADN，
∴∠MDA＝∠CDN，
∵∠B＝∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，
∴∠MDN＝∠EDN，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，
∴BN﹣AM＝MN．
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