高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理教案及反思

导入新课

新知导入：

情景一：今是期四，7天后的这一天是星期几呢？答：星期四

5天后的这一天呢？

答：星期五

30后的这一天呢？

答：星期六

计算方法：用天数除以7，看余数是多少，再用

4加余数来推算

情景二：若今天是星期四，8100天后的这一天是星期几呢？

分析：8100除以7的余数是多少？

8100=(7+1)100=?（7+1）100展开后的表达式是什么样的？

情境三：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的.

分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到即(a+b)2=(a+b)(a+b)，因此以每个（a+b）中的b作为研究对象：每个都不取b的情况有种，则a2前的系数为；恰有1个取b的情况有种，则ab前的系数为，恰有2个取b的情况有种，则b2前的系数为，所以

使用上述方法展开(a+b)3

答：

项：  

系数：

合作探究：

使用上述方法展开(a+b)n

答：

项：    an   an-1b   ...   an-kbk      ...     bn

系数：

学生思考问题，引出本节新课内容.

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.

讲授新课

新知讲解：二项式定理

一般地，对于n∈N*，

叫做二项式定理.

右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式.

其中，各项的系数（k=0，1，2n）叫做二项式系数；式中的叫做二项展开式的通项，记作Tk+1，为展开式的第k+1项.

二项展开式的特点：

1、总共n+1项；

2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中

a、b的指数和为n；

3、第k+1项的二项式系数为.

特殊地：

（1）          当把b替换为-b时：

（2）          当a=1,b=x时

（3）当a=1,b=1时

例题讲解：

例1   求的展开式

答：根据二项式定理，

例2  （1）求的展开式的第4项的系数；

（2）求的展开式中x2的系数.

答：(1)的展开式的第4项是

(2)的展开式的通项是

根据题意得3-k=2，k=1，因此，x2的系数是

课堂练习：

1. 求的展开式

答：
 

2．已知．求：

（1）展开式中第4项的二项式系数；

（2）展开式中第4项的系数；

（3）展开式的第4项．

答：的展开式通项为：

其中0≤k≤10 且 k∈N

（1）展开式中第4项的二项式系数为

（2）展开式中第4项的系数为

（3）展开式的第4项为

拓展提高：

3．在二项式的展开式中，

（1）求展开式中含x3项的系数;

（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.

答：（1）设第k+1项为

令,解得k=2，所以展开式中含x3项的系数为.

（2）∵第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数为，因为，所以3k-1=k+1，解得k=1或k=3.

4．已知在的展开式中，第6项为常数项．

（1）求n；

（2）求含x2的项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项．

答：（1）的展开式的通项为

因为第6项为常数项，所以r=5时，，解得n=10.

（2）令，得，所以含x2的项的系数为

（3）根据题意可知，，令 , 则10-2r=3k，所以，k可取2，0，-2，r取2,5,8，所以第3，6，9项为有理项，分别为，即

.

5. （2008  江西高考真题（理））                               展开式中的常数项为(  D   )

A．1   B．46 C．4245   D．4246

6.（2008  辽宁高考真题（理））已知                                的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，则n=___5___．

7. （2018  浙江高考真题）二项式                    的展开式的常数项是_____7______．

8.（2017  浙江高考真题）已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+5 ，

则a4=___16___，a5=____4____.

学生根据不同的情境问题，探究二项式定理.

利用例题引导学生掌握并灵活运用二项式定理解决实际相关计算问题.

通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.

利用不同的情境问题，探究二项式定理的的概念及公式，培养学生探索的精神.

加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.

通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.

课堂小结

1. 二项式定理
2. 二项展开式的特点

学生回顾本节课知识点，教师补充.

让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.

板书

§6.3.1 二项式定理

一、新知导入          三、例题讲解

二、新知讲解          四、课堂练习

1.二项式定理        五、拓展提高

    六、课堂总结

                  七、作业布置