2022-2023学年湘教版2019必修一第一章导数及其利用 单元测试卷(word版含答案)
展开第一章导数及其利用 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是( )
A. B. C. D.
2、(4分)已知函数有两个不同的极值点，，
若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3、(4分)已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程为，设函数，则的图象在点处的切线方程为( ).
A. B. C. D.
4、(4分)已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5、(4分)设函数，其中，则极大值点的个数是( ).
A.1009 B.1010 C.2019 D.2020
6、(4分)设，，，……，，，则( ).
A. B.
C. D.
7、(4分)已知，则在曲线上一点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
8、(4分)已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
9、(4分)函数的定义域为区间，导函数在内的图象如图所示，则在内的极小值点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10、(4分)设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(共25分)
11、(5分)已知函数，则在点处的切线方程为__________.
12、(5分)已知函数，为的导函数，则的值为_____________.
13、(5分)若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.
14、(5分)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.现有一“圆材埋壁”的模型，其截面图如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，高为2，截面圆圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且，墙高与圆材高度一致，则当该模型体积最大时，________，该圆材裸露在外部分的体积与埋入墙壁部分的体积的比值________.
15、(5分)可导函数的导函数为，且满足关系式,则________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
17、(9分)已知函数与函数在点处有公共的切线， 设 .
(1).求实数的值;
(2).求在区间上的最小值.
18、(9分)为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量P万件与促销费用x（，a为正常数）万元满足.已知生产该批产品p万件需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？
19、(9分)已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：因为 为奇函数, 所以, 且 为偶函数. 又当 时, , 所以.
所以 在 处的切线方程为, 即. 故选C.
2、答案：C
解析：由题可得：（），
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.
若不等式有解，
所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，
故，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
3、答案：A
解析：由已知得，，因为是奇函数，所以，，又因为，所以，，所以的图象在点处的切线方程为，即.故选A.
4、答案：C
解析：
5、答案：A
解析：由题意，可得，
令，即，解得，，
令，即，解得，，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
故函数的极大值点为，，
因为，所以，，，，……，，共1009个.故选A.
6、答案：A
解析：，，
，，，由此可以看出满足对任意，，，故选A.
7、答案：A
解析：由在曲线上，得，则．
∴，则，
∴，
∴曲线上一点处的切线方程为，即．
故选：A
8、答案：D
解析：
9、答案：A
解析：结合导数的图象可知，
函数先增后减，再增，再减，
结合导数与单调性及极值关系可知，函数有2个极大值点，1个极小值点，
故选：A.
10、答案：B
解析：
11、答案：
解析：由，得，，又，在点处的切线方程为，
即.
故答案为：
12、答案：8
解析：因为，则，
所以，故函数为偶函数，
因为，
所以.
13、答案：
解析：构造函数，则，
函数满足，
，故在R上单调递增.
又，，不等式，即，
由在R上单调递增，可知.
14、答案：；
解析：设，则，由题意可知，圆材载面的面积，
所以圆材裸露在外部分的体积，
墙体的体积，
所以该模型的体积为，
设，
则，
易知当时，，当时，
，故当时该模型的体积最大，
此时，圆材截面的面积，故.
15、答案：
解析：由，得，令，则，解得，
故答案为：
16、答案： (1) (2) 或
解析： (1)由已知得,则，所以切线斜率，
因为，所以切点坐标为，
所以所求直线方程为，
故曲线在处的切线方程为.
(2)由已知得，设切点为,
则，即，得或，
所以切点为或，切线的斜率为或24，
所以切线方程为或
即切线方程为或
17、答案： (1)1（2)见详解
解析： (1).因为所以在函数的图象上
又,所以所以
(2).因为,其定义域为
当时，，
所以在上单调递增所以在上最小值为
当时，令，
得到,(舍)
当时，即时，对恒成立，
所以在上单调递增,其最小值为
当时，即时, 对成立，
所以在上单调递减，其最小值为
当,即时, 对成立, 对成立 所以在单调递减,在上单调递增
其最小值为
综上，当时， 在上的最小值为
当时，在上的最小值为
当时, 在上的最小值为
18、答案：（1）由题意知，
将代入化简，得.
（2）方法一
当时，，
当且仅当，即时，上式取等号，
所以投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；
当时，在上单调递增，
所以当时，函数有最大值，即投入促销费用a万元时，厂家获得的利润最大.
综上，当时，投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；
当时，投入促销费用a万元时，厂家获得的利润最大.
方法二
，
若，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，y取得极大值，也是最大值，
即投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大.
若，因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，函数有最大值，即投入促销费用a万元时，厂家获得的利润最大.
综上，当时，投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；
当时，投入促销费用a万元时，厂家获得的利润最大.
解析：
19、答案：(1).
(2).
解析：(1)的定义域为.
，由题意.
若，则，当时，；
当时，，
所以是极大值点，故.
(2)，
①若，则，在上单调递增，
，满足题意.
②若，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
此时当时，，不合题意.
③若，则时，，单调递减.
，不合题意.
综上可知，当，时,，故.
