专题5.5 三角恒等变换-2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

专题5.5   三角恒等变换

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）：

（2）：

（3）：

（4）：

（5）：

（6）：

2．二倍角公式

（1）：

（2）：

（3）：

3．公式的常用变形

（1）；

（2）降幂公式：；；

（3）升幂公式：；；；

（4）辅助角公式：，

其中，.

4．半角公式：（1），（2），

（3）.

5．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）

（1）积化和差公式：；

；

；

.

（2）和差化积公式：；

；

；

.

5．三角函数式的化简

（1）化简原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．

（2）化简要求：①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；②式子中的分母尽量不含根号.

（3）化简方法：①切化弦，②异名化同名，③异角化同角，④降幂或升幂．

6．三角函数式的求值

（1）给角求值：给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.

（2）给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：

①先化简所求式子．

②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．

③将已知条件代入所求式子，化简求值．

（3）给值求角：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

①已知正切函数值，则选正切函数．

②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.

（4）常见的角的变换：①已知角表示未知角，例如：，，，

，，.

②互余与互补关系，例如：，.

③非特殊角转化为特殊角，例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.

一、单选题

1．已知，则

A．-4  B．4

C．  D．

2．4

A．1  B．

C．  D．

3．已知，则

A．  B．

C．  D．

4．已知，则的值为

A．  B．

C．  D．

5．=

A．  B．

C．  D．

6．关于函数描述正确的是

A．最小正周期是 B．最大值是

C．一条对称轴是 D．一个对称中心是

7．已知函数，则下列说法正确的是

A．的最小正周期为 B．的最大值为2

C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称

8．已知角的终边经过点，则

A．  B．

C．  D．

9．已知角的终边经过点，则

A．  B．

C．  D．

10．已知函数，则的最大值为

A．  B．1

C．  D．2

11．

A．  B．

C．  D．

12．若，是方程的两个根，则

A．-1  B．1

C．-2  D．2

13．在平面直角坐标系中，点P在射线上，点Q在过原点且倾斜角为（为锐角）的直线上．若，则的值为

A．   B．

C．  D．

14．已知，且，则

A．  B．

C．7  D．

15．已知，，，，则．

A．  B．

C．  D．

16．若，则

A．  B．

C．  D．

17．将函数的图象向左平移个单位，得函数的图象，则

A．  B．1

C．  D．

18．若，则

A．  B．

C．  D．

19．已知在内有零点，且在上单调递减，则的取值范围是

A． B．

C． D．

20．已知，则

A．  B．

C．  D．

21．函数在区间上的一个对称中心是，则的值为

A．  B．

C．  D．

22．已知，且，则

A．  B．

C．  D．

23．函数在上的一个递增区间为

A．  B．

C．  D．

24．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象关于对称，则的最小值为

A．  B．

C．  D．

25．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则的值为

A．或  B．

C．  D．

26．将函数，的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为

A．1  B．2

C．3  D．4

27．已知，则

A．  B．

C．  D．

28．若，均为锐角，，，则

A．  B．

C．或  D．

29．已知函数，则下列正确的是

A．最小正周期为

B．是的一个对称中心

C．将图象向右平移个单位长度后得到的图象，此时

D．是的一个减区间

30．已知点在圆：上，从出发，沿圆周逆时针方向运动了弧长（）到达点，且，又点在角终边上，则

A．  B．

C．  D．

31．若，则

A． B．

C． D．

32．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是

A． B．

C． D．

33．一列波沿x轴正方向传播，其波函数的表达式为，是函数f（x）相邻的两个零点；另一列波沿x轴负方向传播，其波函数的表达式为；在某一时刻，两列波的图象如图所示；函数表示两列波叠加之后的波函数（叠加后的波函数为原来两个波函数的和），则下列说法正确的有

①；②是函数的一个零点；③函数h（x）的最小正周期是；④函数h（x）的振幅为1；⑤函数h（x）的振幅为．

A．①②④  B．①②⑤

C．②③④  D．③④⑤

34．已知，

A．  B．

C．  D．

35．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧弧AB，弧BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是

A．  B．

C．  D．

36．若，则

A．1  B．2

C．3  D．4

37．设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为

A．－   B．

C．－  D．

38．函数的单调增区间为

A． B．

C．， D．

39．已知，为锐角，且，，则

A．  B．

C．  D．

40．函数的所有零点为

A． B．

C． D．

二、多选题

1．下列式子正确的是

A． B．

C． D．

2．已知5，下列计算结果正确的是

A． B．2

C． D．

3．达芬奇是意大利著名的画家、数学家、物理学家和机械工程师．悬链线问题（固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？）起源于他的画作《抱银貂的女人》（如图所示），他苦苦思索，去世时仍没找到问题的答案．随着后人深入的研究，得出了悬链线的函数解析式为，其中a为悬链线系数．当时，称为双曲余弦函数，记为．类似的双曲正弦函数，若直线与ch x和sh x的图象分别交于点A，B，则下列结论中正确的是

A．

B．

C．线段AB的长度随着t的增大而变短

D．是偶函数

4．已知函数f(x)＝2 cos2x－cos (2x－θ)的图象经过点，则

A．点是函数f(x)的图象的一个对称中心

B．函数f(x)的最大值为2

C．函数f(x)的最小正周期是2π

D．直线x＝是y＝f(x)图象的一条对称轴

5．下列各式中，值为的是

A． B．

C． D．

6．已知函数，则下列说法中正确的是

A．的最小正周期为 B．在上单调递增

C．曲线关于对称 D．曲线关于对称

7．关于函数，则下列说法中正确的是

A．的最大值为

B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称

D．在上单调递增

8．下列函数的周期为的是

A． B．

C． D．

9．已知，，则

A． B．为锐角

C． D．

10．对于函数，给出下列选项其中正确的是

A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为

C．在区间上单调递增 D．时，的值域为

三、填空题

1．若，则____________．

2．已知角的终边过点P（1，2），则____________．

3．已知为钝角，化简：____________．

4．已知，则____________．

5．已知，则____________．

6．若，则____________．

7．已知，则____________．

8．若，为第三象限角，则____________．

9．当函数取得最大值时，____________．

10．已知，，则____________．

11．若函数的最小正周期为，则函数

在上的值域为____________．

12．已知，，，，则的最小值是____________．

13．函数的最小正周期为____________．

14．若，，则____________．

15．给出下列命题：

①存在实数，使；

②若、是第二象限的角，且，则；

③若，则；

④若，且，则．

其中正确的命题的序号是____________．

16．已知为锐角，且满足，则的值为____________．

17．用几种不同的乐器同时弹奏某一首乐曲时，我们有时能听到比用单一乐器弹奏时更美妙的声音，这实际上是几种声波合成后改变了单一声波的波形．假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最小正周期为____________．

18．____________．

19．____________．

20．已知，且是第一象限的角，则____________．

四、解答题

1．已知，，且，．求：

（1）的值；

（2）的值．

2．设函数

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）当时，求函数，在上的值域

3．已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期和在的单调递增区间；

（2）已知，先化简后计算求值：

4．已知，求的值．

5．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若，求函数的最大值．

6．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上最小值为，求a的取值范围．

7．已知函数为偶函数．

（1）若，求．

（2）若函数，求函数的单调递增区间．

8．已知，，且，，求的值．