【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件限时小练23　直线与圆锥曲线综合问题

限时小练23　直线与圆锥曲线综合问题

1.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)

A.x2－y2＝6   B.x2－y2＝9

C.x2－y2＝16   D.x2－y2＝25

答案　B

解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝0，x1x2＝－，

∴|AB|＝×a＝2，

∴a＝3，故选B.

2.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.

答案　4

解析　设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，∴|ME|＝8，

又ON为△MEF的中位线，

∴|ON|＝|ME|＝4.

3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且经过点(－3，2).

(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值.

解　(1)由题意可知：双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，

根据定义有2a＝|－|＝2，

所以a＝1，由以上可知：a2＝1，c2＝4，b2＝3.

所以所求双曲线C的方程为x2－＝1.

渐近线方程为y＝±x.

(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0.

①当3－k2＝0即k＝±时，此时直线l与双曲线只有一个公共点，符合题意；

②当3－k2≠0即k≠±时，

由Δ＝0得k＝±，

此时直线l与双曲线相切于一个公共点，符合题意，

综上所述：符合题意的k的所有取值为，－，，－.