2022年江苏省淮安市高考数学模拟试卷（5月份）（含答案解析）

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2022年江苏省淮安市高考数学模拟试卷（5月份）已知i是虚数单位，复数z满足(1+i)z=−2i，则|z|=( )A. 2 B. 1−i C. 2 D. 1已知集合A={x|1x<1}，B={x|log2(−x)≤1}，则A⋂B=( )A. (−2,0] B. [0,2) C. (0,2) D. [−2,0)已知|a|=2，b在a上的投影为1，则a+b在a上的投影为( )A. −1 B. 2 C. 3 D. 2已知函数f(x)=x(ex−e−x)|x|−1，则f(x)的图象大致是( )A. B. C. D. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7>0，S8<0，则a1d的取值范围是( )A. (−3+∞) B. (−∞,−72)⋃(−3,+∞)C. (−72,−3) D. (−∞,−72)已知函数f(x)=cos2x，x∈(0,π)在x=x0处的切线斜率为85，则sinx0−cosx0=( )A. −35 B. 35 C. −355 D. 355已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a2的值为( )A. 64 B. 84 C. 94 D. 54已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0,+∞),都有2f(x)+xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是( )A. f(0)<0 B. 9f(−3)0)与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是( )A. p=4 B. PF1+PF2=6C. PF2=3 D. △PF1F2的面积为25关于函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的叙述中正确的有( )A. 函数f(x)可能为偶函数B. 若直线x=π6是函数f(x)的最靠近y轴的一条对称轴，则ω=1C. 若ω=2，则点(π3,0)是函数f(x)的一个对称点D. 若函数f(x)在区间[0,π]上有两个零点，则53≤ω<83设X∼N(μ,σ12)，Y∼N(μ,σ22)，这两个概率密度曲线(如图)，下列说法正确的是( )A. σ1<σ2B. σ1=σ2C. 对任意实数m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)D. 若P(μ−k1σ1≤X≤μ+k1σ1)>P(μ−k2σ2≤X≤μ+k2σ2)，k∈R+，则k10,b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，圆E：(x−a)2+y2=r2(r>0)与双曲线相交于点A，B(点B，A分别位于平面直角坐标系xOy的第一、二象限)，且双曲线的虚轴长为2，离心率e=52.(1)求双曲线的标准方程；(2)直线AB与两渐近线l1，l2分别交于M，N两点，若△MON的面积为85，求直线AB的斜率．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由(1+i)z=−2i，得z=−2i1+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴|z|=2.故选：A.把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|1x<1}={x|1−xx<0}={x|x(x−1)>0}={x|x<0或x>1}，B={x|log2(−x)≤1}={x|−2≤x<0}，∴A⋂B=[−2,0).故选：D.求出集合A，B，利用交集定义能求出A⋂B.本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：因为|a|=2，b在a上的投影为|b|cosθ=a⋅b|a|=1，a⋅b=|a|=2，则a+b在a上的投影为|a+b|cosα=(a+b)⋅a|a|=a2+b⋅a|a|=22+22=3.故选：C.根据向量投影的定义计算即可．本题考查了平面向量的数量积与投影的计算问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x(ex−e−x)|x|−1的定义域为{x|x≠±1}，f(−x)=−x(e−x−ex)|x|−1=f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除选项A；由f(x)=0，可得x=0，可排除选项C；当00，则f(x)<0，可排除选项B，故选：D.求得f(x)的定义域和奇偶性、零点和f(x)在(0,1)的符号，由排除法可得结论．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性和零点，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S7>0，S8<0，∴S7=7(a1+a7)2=7a4>0，∴a4>0，∵S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)<0，∴a5<−a4<0，∴d=a5−a4<0，∴a4=a1+3d>0a4+a5=2a1+7d<0，解得−720，a4+a5<0，由此能求出a1d的取值范围．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由f(x)=cos2x，得f′(x)=−2sin2x，∴f′(x0)=−2sin2x0=85，即sin2x0=−45，∵x0∈(0,π)，∴x0∈(π2,π)，则sinx0−cosx0=(sinx0−cosx0)2=1−sin2x0=1+45=355.故选：D.求出原函数的导函数，得到函数在x=x0处的导数值，由已知可得sin2x0=−45，再由则sinx0−cosx0=(sinx0−cosx0)2求解．本题考查导数的几何意义及应用，考查三角函数值的求法，是基础题．7.【答案】B【解析】解：展开式中含x2项的系数为C22+C32+...+C82=C33+C32+...+C82=C43+...+C82=C93=84，故选：B.根据二项式定理求出展开式中含x2项的系数，然后根据组合数的运算性质化简即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：设g(x)=x2f(x)，∵f(x)为偶函数，∴g(−x)=g(x)，即g(x)也是偶函数．①∵对任意x∈[0,+∞),都有2f(x)+xf′(x)>0恒成立，∴2f(0)+0⋅f′(0)=2f(0)>0，故A错误；又当x≥0时，g′(x)=2xf(x)+x2⋅f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]≥0，∴函数g(x)在[0,+∞)上为增函数，②由①②得g(−3)=g(3)=9f(3)>12⋅f(1)=g(1)，故B错误；同理可得，g(2)=4f(2)>f(−1)=f(1)=g(1)，故C错误，D正确；故选：D.设g(x)=x2f(x)，结合题意，可得偶函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，由g(−3)>g(1)，g(2)>g(−1)可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造函数法的运用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：椭圆x29+y25=1的a=3，b=5，可得c=9−5=2，F1(−2,0)，F2(2,0)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(p2,0)，由题意可得p2=2，即p=4，抛物线的方程为y2=8x，设P的坐标为(n28,n)，n>0，则n464×9+n25=1，解得n2=245(−120舍去)，即P(35,2305)，又抛物线的准线方程为x=−2，可得|PF2|=35+2=135，|PF1|+|PF2|=2a=6，△PF1F2的面积为12×4×2305=4305，故选：AB.求得椭圆的a，b，c，可得抛物线的方程，可判断A；由椭圆的定义可判断B；求得椭圆与抛物线在第一象限的交点，由抛物线的定义和三角形的面积公式，计算可判断CD.本题考查椭圆与抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】BCD【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx+π3)，f(−x)=sin(−ωx+π3)，可知函数f(x)不可能为偶函数，故A错误；因为直线x=π6是函数f(x)的最靠近y轴的一条对称轴，∴T≥4×π6，∴2πω≥2π3，故ω≤3，又ω×π6+π3=kπ+π2，∴ω=1+6k，∴ω=1，故B正确；若ω=2，f(π3)=sin(2×π3+π3)=sinπ=0，故点(π3,0)是函数f(x)的一个对称点，故C正确；x∈[0,π]，∴ωx+π3∈[π3,ωπ+π3]，又函数f(x)在区间[0,π]上有两个零点，∴2π≤ωπ+π3<3π，解得53≤ω<83.故D正确．故选：BCD.利用正弦函数的性质，结合每个选项的条件计算即可．本题考查正弦型函数的性质，函数的零点等，属中档题．11.【答案】AC【解析】解：根据图形可知，两个正态分布曲线φ1(x)与φ2(x)分别为瘦高与矮胖特点，X比Y的分布更集中，所以σ1<σ2，即选项A对，选项B错；由上可知对任意实数m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)，所以C对；因为X比Y的分布更集中，所以当P(μ−k1σ1≤X≤μ+k1σ1)>P(μ−k2σ2≤X≤μ+k2σ2)，k∈R+时，k1>k2，所以D错．故选：AC.根据图形可知，两个正态分布曲线φ1(x)与φ2(x)分别为瘦高与矮胖特点，以此可得σ1<σ2，可判断ABCD；本题考查正态分布曲线特点应用，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A，P为正方形底面ABCD时，三棱锥P−A1B1D1的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A正确；对于B，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(x,y,0)，则D1(0,0,1),A(1,0,0),D1P=(x,y,−1),AD1=(−1,0,1)，若D1P⊥AD1，则D1P⋅AD1=0，即x=−1，与题意矛盾，所以B不正确；对于C,DB1=(1,1,1)，由D1P⊥B1D得x+y=1，所以P的轨迹就是线段AC，所以C正确；对于D，因为BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为平面α⊥平面ACC1A1，所以BD//平面α，以BD为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为22，所以截面周长为32，所以D正确．故选：ACD.结合选项逐个求解，体积问题利用锥体体积公式可得，垂直问题利用向量求解，截面周长根据截面形状可求．本题考查了正方体中的定点问题，属于中档题．13.【答案】sinπ2x(答案不唯一).【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性的性质，注意常见函数的奇偶性，属于基础题． 根据题意，由正弦函数的性质以及图象变换可得答案． 【解答】 解：根据题意，要求 f(x) 为奇函数且其关于直线 x=1 对称， 考虑 f(x) 由正弦函数变形得到，则 f(x)=sinπ2x ， 故答案为： f(x)=sinπ2x ， ( 答案不唯一 )   14.【答案】70【解析】解：(x+1x+2)4=(x+1)8x4的展开式的通项公式为Tr+1=C8r⋅x8−rx4=C8r⋅x4−r，令4−r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项是C84=70，故答案为：70.先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，配方是关键，属于基础题．15.【答案】3−1【解析】解：取B1C1的中点Q，A1D1的中点S，连接PQ，SQ，∵P−A1B1C1D1为正四棱锥，∴∠PQS为二面角θ的平面角，由正方体的结构特征可知，该组合体外接球的球心O为正方体的中心，连接OP交SQ于点M，则构成直角三角形PMQ，∴tanθ=tan∠PQS=|PM||MQ|，∵外接球的半径为R，∴正方体的体对角线长为2R，且|OP|=R，∴正方体的棱长为233R，∴|MP|=|OP|−|OM|=R−233R×12=3−33R，|QM|=|OM|=233R×12=33R，∴tanθ=3−33R33R=3−33=3−1，故答案为：3−1.取B1C1的中点Q，A1D1的中点S，连接PQ，SQ，则∠PQS为二面角θ的平面角，根据正方体的结构特征可知该组合体外接球的球心O为正方体的中心，进而求出正方体的棱长，在直角三角形PMQ中，由tanθ=tan∠PQS=|PM||MQ|即可求出结果．本题主要考查了正方体的外接球问题，考查了正四棱锥的结构特征，属于中档题．16.【答案】(−43,−1]【解析】解：由1−(x−2)2≥0，解得1≤x≤3，又y=kx+1关于直线y=1的对称直线为y=−kx+1，则题设等价于函数f(x)=1−(x−2)2+2的图像和y=−kx+1的图像有两个交点．易得y=f(x)=1−(x−2)2+2等价于(x−2)2+(y−2)2=1(1≤x≤3)，画出y=f(x)和y=−kx+1的图像，设直线y=−kx+1和y=f(x)相切，由|−2k−2+1|k2+1=1，解得k=−43或k=0(舍)，又当直线y=−kx+1过点(1,2)时，k=−1，结合图像可知，当k∈(−43,−1]时，函数f(x)=1−(x−2)2+2的图像和y=−kx+1的图像有两个交点．故答案为：(−43,−1].将题设转化为函数f(x)=1−(x−2)2+2的图像和y=−kx+1的图像有两个交点，求出直线y=−kx+1和y=f(x)相切时k的值以及直线y=−kx+1过点(1,2)时k的值，结合图像即可求解．本题考查了直线与圆的位置关系，也查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)设PB的中点为G，连接GF，GE，因为点G，点F分别为PB，PC的中点，所以GF//BC，且GF=12BC，又DE//BC且DE=12BC，所以GF//DE且GF=DE，所以四边形GFDE为平行四边形，所以DF//GE，又GE⊂平面PBE，DF⊄平面PBE，所以DF//平面PBE；(2)取BE的中点O，连接PO，过点O作AB，AD的平行线作为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(−22,−22,0)，C(22,322,0)，D(−22,322,0)，P(0,0,1)，所以PC=(22,322,−1)，PD=(−22,322,−1)，设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则PC⋅n=22x+322y−z=0PD⋅n=−22x+322y−z=0，令z=1，则n=(0,23,1)，又AD=(0,22,0)，∴点A到平面PCD的距离为d=|AD⋅n||n|=41111.【解析】(1)利用线线平行证明线面平行；(2)取BE的中点O，连接PO，过点O作BE⊥y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离．本题考查线面平行的证明，点到面的距离的求法，属中档题．18.【答案】解：选①：an+2−an=4，只能说明数列{an}的奇数项和偶数项分别构成等差数列，已知a1=1，数列的奇数项可以确定，但a2未知，故数列的偶数项不确定，因此数列{an}不确定，题设的两个条件均无法求解；选②：an+1+an=4n，由an+1+an=4n得：an+1−(2n+1)=−[an−(2n−1)]，因为a1=1，所以a1−(2×1−1)=a1−1=0，故an−(2n−1)=0，即an=2n−1；选③：Sn=nan+1−n(n+1)，由Sn=nan+1−n(n+1)得：a2−2=S1=1，故a2=3，当n≥2时，Sn−1=(n−1)an−(n−1)n，两式相减得：an+1−an=2，又因为a2−a1=2，满足an+1−an=2，综上：对所有的n∈N*，均有an+1−an=2，所以{an}为首项为1，公差为2的等差数列，故an=2n−1；(2)由(1)知：an=2n−1，所以Sn=n(a1+an)2=n(1+2n−1)2=n2，故(−1)2k−1S2k−1+(−1)2kS2k=(2k)2−(2k−1)2=4k−1，所以T20=(−S1+S2)+(−S3+S4)+⋯+(−S19+S20)=3+7+⋯+39=(3+39)×102=210.【解析】(1)选①时，a2未知，故数列的偶数项不确定，无法求解；选②，变形为an+1−(2n+1)=−[an−(2n−1)]，且a1−(2×1−1)=a1−1=0，从而求出an=2n−1；选③：利用Sn与an的关系式得到an+1−an=2，利用等差数列求出通项；(2)在第一问的基础上，求出(−1)2k−1S2k−1+(−1)2kS2k=(2k)2−(2k−1)2=4k−1，从而分组进行求和．本题考查了等差数列的基本量计算以及数列的递推关系，属于中档题．19.【答案】解：(1)由tanB=12，∴12=sinA2−cosA，∴2sinA+cosA=2sin2A+cos2A=1，∴sinA=35或sinA=1，当sinA=35时，tanA=34，tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−2；当sinA=1时，tanC=1tanB=2；(2)tanB=sinBcosB=sinA2−cosA，∴sinC=2sinB，即c=2b，由角平分线定理可得，ABAC=BNCN=cb=2，BN=2CN，又MN=1，BM=CM，所以BM=3，CN=2，由中线定理可知，4AM2+36=2(b2+c2)，∴b2=365，∠A=π2，∴S△ABC=12bc=12b×2b=b2=365.【解析】(1)利用题中的条件，可解出tanA，进而即可解出；(2)利用角平分线性质定理以及中线定理，即可解出．本题考查了解三角形，角平分线的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率p=13×13×3×12=16，X∼B(3,16)，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，P(X=k)=C3k(16)k(56)3−k，k=0，1，2，3，故X的分布列为：故E(X)=3×16=12.(2)证明：①第n次传球之前在甲脚下的概率为pn，则当n≥2时，第n−1次传球之前球在甲脚下的概率为pn−1，第n−1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−pn−1，故pn=pn−1⋅0+(1−pn−1)⋅13=−13pn−1+13，即pn−14=13(pn−1−14)，又∵p1−14=34，∴{pn−14}是以34为首项，公比为−13的等比数列，②由①可知，pn=34(−13)n−1+14，p10=34(−13)9+14<14，q10=13(1−p10)>14，故p100，所以f′(1)=−1，所以f(1)=−1，即切点坐标为(1,−1)，所以f(x)图像在x=1处的切线方程为：y+1=−(x−1)，即x+y=0.(2)因为f(x)=xlnx−aex−x2，所以f′(x)=lnx+1−aex−2x，x>0，令h(x)=f′(x)=lnx+1−aex−2x，因为f′(x)在(0,+∞)上单调递增，所以h′(x)=1x−aex−2≥0对任意的x>0恒成立，即a≤1−2xxex对任意的x>0恒成立，令k(x)=1−2xxex，则k′(x)=(2x+1)(x−1)x2ex，所以当x>1时，k′(x)>0，k(x)单调递增；当00恒成立，构造函数k(x)=1−2xxex，利用导数判断其单调性和最值，进而得出a的取值范围；再由|f(x)|≥x对任意的x∈[1,+∞)恒成立，即a≤xlnx−x2−xex对任意的x∈[1,+∞)恒成立，构造函数m(x)=xlnx−x2−xex，则m′(x)=(x−1)(x−lnx)e2x≥0，利用导数判断其单调性和最值，进而得出a的另一取值范围，进而得出a的取值范围．本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．22.【答案】解：(1)由题意得，b=1,e=ca=52，c2=a2−b2，得a=2，所以双曲线的标准方程为x24−y2=1.(2)由题意得，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x24−y2=1(x−2)2+y2=r2，得54x2−4x+3−r2=0，所以x1+x2=165.设直线−BB为y=kx+b，则y=kx+bx24−y2=1，得(1−4k2)x2−8kbx−4b2−4=0，所以x1+x2=8kb1−4k2=165，所以kb1−4k2=25①，由y=kx+by=12x得xN=2b1−2k，由y=kx+by=−12x得xM=−2b1+2k，所以S△MON=12⋅b⋅(2b1−2k+2b1+2k)=2b21−4k2=85②．由①②得，b=2k③，③代入①式得，k=±13；由于点A、B分别位于第一、二象限，所以b=2k>0，所以k=13.【解析】(1)利用虚轴和离心率可求双曲线的方程；(2)先联立双曲线和圆的方程，再联立直线和双曲线的方程，结合韦达定理求出k，b的关系，利用面积可得AB的斜率．本题考查直线与双曲线的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．X 0 12 3 P 125216 2572 5721216