2023高考一轮重点难点题型考点突破--14 向量小题归类

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 向量基础：“绕三角形”（基底拆分）1
\l "_Tc26924" 【题型二】 系数未知型“绕三角形”3
\l "_Tc12217" 【题型三】 求最值型“绕三角形”6
\l "_Tc30563" 【题型四】 数量积8
\l "_Tc30563" 【题型五】 非数量积最值型10
\l "_Tc30563" 【题型六】 向良模12
\l "_Tc30563" 【题型七】 投影向量14
\l "_Tc30563" 【题型八】 向量机巧1：极化恒等式16
\l "_Tc30563" 【题型九】 向量机巧2：等和线17
\l "_Tc30563" 【题型十】 向量机巧3：奔驰定理与面积19
\l "_Tc30563" 【题型十一】解析几何中的向量22
\l "_Tc30563" 【题型十二】向量四心24
\l "_Tc30563" 【题型十三】综合以应用25
\l "_Tc30563" 【题型十四】超难小题28
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练33
【题型一】 向量基础：“绕三角形”（基底拆分）
【典例分析】
我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即，解得，即，
故选：B
【提分秘籍】
基本规律
基础拆分的俩个公式，与位置无关。
（1）.
（2）
【变式演练】
1.如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】
为的中点，则，
，，
.
故选：B.
2.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.
【详解】
解：
故选：C.
3.，，为所在平面内三点，且，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
画出图形，根据向量线性运算求解即可.
解：由题知，为中点，为三等分点且靠近点，为中点，如图，
所以．故选：D.
【题型二】 系数未知型“绕三角形”
【典例分析】
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】
因为，设，而，所以且，故，应选答案A．
【提分秘籍】
基本规律
平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
（1）选定基底，则、，是唯一的
（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系 。
【变式演练】
1.如图，正方形中，分别是的中点，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以
又，所以，即.
2.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。故选：B.
3.如图，中，与交于，设，，，则为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延长交于点，由于与交于，可知：点是的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案．
【详解】延长交于点；
与交于，点是的重心，，，
又
，则为；故答案选A
【题型三】 求最值型“绕三角形”
【典例分析】
在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）
2.也可用均值不等式，或者建系设点三角换元
【变式演练】
1.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】因为是内一点，且所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时 所以，即
因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B
2.在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简得到，根据得到，得到的最大值.
【详解】
，
故
故，故.
当时等号成立.故选：.
3.中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解析】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D．
【题型四】 数量积
【典例分析】
已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为( )
A． B．－C． D．－
【答案】A
【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】法一：由题意可得·＝2×2cs＝2，
·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.故选A.
【提分秘籍】
基本规律
1.求解数量积，可以选择有长度或者角度关系的向量作为基底求解。
2..已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
【变式演练】
1.如图，在等腰直角中，，C为靠近点A的线段AB的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，则的值是
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】
根据题意，直接利用向量共线和向量的线性运算及夹角公式求出结果．
【详解】
在等腰直角中，，C为靠近点A的线段AB的四等分点，
过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，
则：，
所以：，，
，．故选B．
2.在中， ，点在上，，是的中点，，，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】,
在和中，由正弦定理可得,
.
3.已知是边长为3的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
用分别表示出和，然后根据向量的数量积计算公式求解出的结果.
【详解】如下图所示：
因为是的中点，所以，
又因为，
所以，故选：D.
【题型五】 数量积最值型
【典例分析】
在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由，可以得到，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形，根据，可知平行四边形是菱形，这样在中，可以求出菱形的边长，求出的表达式，利用，构造函数，最后求出的取值范围.
【详解】
，以为邻边作平行四边形，如下图：
所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中，
，
设，所以当 时，，是增函数，故，因此本题选D.
【变式演练】
1.已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值.
【详解】
如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则△为等腰三角形，又，所以△为等边三角形.
则四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，
因为，易知，即，则，
①当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
②当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
综上，的最小值为；故选：C .
2.如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分析得出点与点重合时，的模最大，即最小，进而得解．
【详解】，由图易知，向量所成的角为钝角，
所以，，，当最小时，的模最大，
数形结合易知点与点重合时，的模最大，即最小，，，
是的中点，则．
故选：．
3.在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为___________.
【答案】
【分析】
由题，设，由余弦定理可求得AB的长，再设，利用向量基本定理表示出，求得其数量积整理是关于n的二次函数，再求其最小值等于，可求得m的值，可求得面积.
【详解】
由题，设，在三角形ABC中，由余弦定理变形可得：

因为点为线段上一动点，再设，此时
即
因为
所以
令关于n的二次函数
所以其最小值为： 解得
所以
三角形ABC的面积： 故答案为
【题型六】 向量模
【典例分析】
若向量，，，且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】应用向量的坐标运算及垂直的坐标表示可得，再由向量模的坐标表示可得将问题转化为求定点到直线的距离即可.
【详解】由题设，，，又，
∴，则，
又，则，
∴要求的最小值，即求定点到直线的距离，
∴.故答案为：
【提分秘籍】
基本规律
1.向量的模是线段的长度
2.可以借助几何意义，也可以建系设点
【变式演练】
1.已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.
【答案】
【分析】
先设，且，再根据向量模化简，最后化简整理结合柯西不等式即可求出结果.
【详解】设，且，而，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，
故答案为：.
2.已知向量满足，且，则______.
【答案】
【分析】设，由已知条件求出，所以，可直接求出.
【详解】设，∵向量满足，且，
∴∴，即，解得：，
又∵，即所以故答案为：
3.设，为单位向量，则的最大值是________
【答案】
【分析】
用坐标表示，，化简，利用柯西不等式求得最大值.
【详解】
依题意，为单位向量，设，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
【题型七】 投影向量
【典例分析】
已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为___________.
【答案】
【分析】应用数形结合法，结合题设作出，，且，进而判断终点的轨迹，即可求在方向上的投影的最小值.
【详解】如下图，若，，且，
∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上，
∴要使在方向上的投影的最小，即最大，此时，则，
∴在方向上的投影的最小值为.
故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
1.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

2.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.
3.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.
【变式演练】
1.已知点、、、,则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为,所以，。向量在方向上的投影为，选A.
2.已知向量满足则在上的投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C因为，所以，又，所以，设在的夹角为，则，即，所以，故选C．
3.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D向量，的夹角为，且，，所以，．又，所以，则，所以向量在向量方向上的投影为，故选：D．
【题型八】 向量技巧1：极化恒等式
【典例分析】
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则的值是________.
【答案】【解析】解法一：基底法
令，则，则
，
则
由，可得，因此，
因此.
解法二：极化恒等式
，
解得：所以.
【提分秘籍】
基本规律
基础知识：
在△中，是边的中点，则.
【变式演练】
1.已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

解析：取的中点，连接，，取的中点，连接，
由△是边长为2的等边三角形，为中线的中点，
则 ，
所以 .
2.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为
A．2B．C．3D．
【答案】B
【详解】.故选B.
3、已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由球的半径为1， 是球面上的两点，且，可得 ，
,故选B.
【题型九】 向量技巧2：等和线
【典例分析】
在ΔABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，则λ＝
A．−13 B．−23 C．13 D．23
【答案】D
【解析】因为A,D，B三点共线，所以13+λ=1,λ=23。选D.
【提分秘籍】
基本规律
等和线原理：
【变式演练】
1.如图，在ΔOMN中，A、B分别是OM、ON的中点，若OP=xOA+yOB（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则y+1x+y+2的取值范围是（ ）
A．13,23B．13,34C．14,34D．14,23
【答案】C详解：由题意，当P在线段AB上时，x+y=1，当P点在线段MN上时，x+y=2，∴当P在四边形ABNM内（含边界）时，x+y≥1x+y≤2x≥0y≥0（＊），又y+1x+y+2=1x+1y+1+1，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，
y+1x+1表示可行域内点(x,y)与P(−1,−1)连线的斜率，由图形知kPB=0−(−1)2−(−1)=13，kPC=2−(−1)0−(−1)=3，即13≤y+1x+1≤3，∴13≤x+1y+1≤3，14≤1x+1y+1+1≤34，故选C.
2.如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】，因为三点共线，所以，因此，选B.
3.如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x、y∈R)，则x+y的取值范围是（ ）
A．1,4+23 B．4−23,4+23 C．1,2+3 D．2−3,2+3
【答案】B
【解析】
连接AM并延长分别交圆M于Q、T，连接DE，DE与AM交于R，显然AR=12AD+12AE，此时x+y=1，分别过Q、T作DE的平行线，由于AD=AE=1,∠BAC=1200 ，则AM=2,DM=3，则AQ=2−3，AR=12 ，
AQ=2−312=(4−23)AR=(2−3)AD+(2−3)AE ，此时x+y=4−23 ，同理可得：AT=(2+3)AD+(2+3)AE，x+y=4+23，选B.
【题型十】 向量技巧3：奔驰定理与面积
【典例分析】
设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.
【详解】
不妨设，如图所示，
根据题意则，即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.故选：D
【提分秘籍】
基本规律
为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
【变式演练】
1.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据面积比得出，的关系，根据，从而可以，表示出，利用共线原理列方程，解出即可得到答案
【详解】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，如图所示与的面积之比为
根据三角形相似可知，则
即由平行四边形法则得
根据待定系数法有，则故选
2.为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．
解：由，
如图设，即是的重心
同理可得，
所以．故选：．
3.已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，
因为三点共线，所以即，
所以，则，故且，
又，故，所以，
所以，所以，故选C.
【题型十一】 解析几何中的向量
【典例分析】
已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C设，则，由题意有，所以
所以，当时，有最大值，当时，有最小值，故选C.
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A. B. C. D.
【答案】D由题意可得，设＜＞＝θ，θ∈[0，π]
则∵
两边同时平方可得，即
∴csθ=−∵∴且＞0∴
设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d，则，即
2.如图所示，已知椭圆：的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到，使得，，是椭圆上一点，延长到，若，则（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【答案】A根据椭圆的定义和比例，有.
3.已知点为坐标原点，点在双曲线上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为 。
【答案】.设点，则，直线为；由题意得，解得点；从而，，所以.
故答案为：.
【题型十二】 向量四心
【典例分析】
已知O，N，P在所在平面内，且，，则点O，N，P依次是的 （ ）
A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 内心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
【答案】C由题：即O点到各顶点的距离相等，为外心.
，由向量加法得：N为中线的交点，为重心.
，得：同理可得：P点为垂心.
【提分秘籍】
基本规律
在中：
1.重心：
2.外心：
3.内心：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)
4.垂心：
【变式演练】
1.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C在三角形中，，
是圆心，，因为，所以，同理可得，故选D．
2.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：由已知得，∴
== 0，
∴AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B.
3.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：设BC的中点为D，则，则由已知得，
∴== 0，∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C .
【题型十三】 综合应用
【典例分析】
已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．[−2,12]B．[−2,0]C．[−4,12]D．[−4,0]
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设出坐标，求出AC,BD，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围.
【详解】解：如图建立平面直角坐标系.
设D(csθ,sinθ),−π≤θ≤π，∠CAB=α,AC=(a,b),−π2<α<π2，则tanα=ba，a=2cs2α,b=2csαsinα.
AC⋅BD=(a,b)⋅(csθ−1,sinθ)=acsθ+bsinθ−a=a2+b2sin(θ+ϕ)−a，其中tanϕ=ab=1tanα，∴α+ϕ=π2,−π2<ϕ<π2，从而−3π2<θ+ϕ<3π2.
AC⋅BD=a2+b2sin(θ+ϕ)−a的最大值为：a2+b2−a，最小值为：−a2+b2−a.
a2+b2−a=(2cs2α)2+(2csαsinα)2−2cs2α=2csα−2cs2α=−2(csα−12)2+12当α=π3时，取最大值.
−a2+b2−a=−2csα−2cs2α=−2(csα+12)2+12，当α=0时，取最小值.
故的取值范围是为[−4,12].
故选：.
【变式演练】
1.．已知向量a,满足|a|=2，〈a,b〉=60°，且c=−12a+tb(t∈R)，则|c|+c-a的最小值为（ ）
A．934B．4C．213D．13
【答案】D
【分析】
由题意知，可设a=OA=2,0,tb=BO，C−1,0,D−3,0，由向量的坐标运算可得c=BC，c−a=BD，可转为在直线y=3x上取一点B，使得BC+BD最小，利用化曲为直的思想即可得到答案.
【详解】由题意知，可设a=OA=2,0,tb=BO,因为〈a,b〉=60°，则点B在直线y=3x上，如图，C−1,0,D−3,0,则−12a=−1,0=OC,c=−12a+tb=BO+OC=BC,c−a=−32a+tb=OD+BO=BD,则|c|+c-a=BC+BD的最小值,可转化为在直线y=3x上取一点B，使得BC+BD最小，作点C关于直线y=3x的对称点C',则BC+BD的最小值即为DC',设点C'x,y，则yx+1=−13y2=3⋅x−12，解得x=12，y=−32，
则C'D=12+32+−32−02=13,即最小值为13，
故选：D
2.设，，为非零不共线向量，若a−tc+1−tb≥a−ct∈R，则（ ）
A．a+b⊥a−cB．a+b⊥b+c
C．a+c⊥a+bD．a−c⊥b+c
【答案】D
【分析】
因为对任意的实数t∈R，不等式a−tc+1−tb≥a−ct∈R恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式，根据二次不等式恒成立，等价转化即可求得结果.
【详解】因为，，为非零不共线向量，若a−tc+1−tb≥a−ct∈R，
则a−c+1−tc+b≥a−c，∴a−c+1−tb+c2≥a−c2，
化简得，1−t2b+c2+21−tb+c⋅a−c≥0，
即b+c2t2−2b+c2+b+ca−ct+b+c2+2b+ca−c≥0，
∴Δ=4[(b+c)(a−c)]2≤0
∴b+ca−c=0，∴b+c⊥a−c.故选：D.
3.已知平面向量akk=1,2,...,6满足：ak=kk=1,2,...,6，且a1+a2+...+a6=0，则a1+a2⋅a5+a6的最大值是（ ）
A．9B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】
设b1→=a1→+a2→,b3→=a3→+a4→,b3→=a5→+a6→,b1→≤3,b2→≤7,b3→≤11，且b1→+b2→+b3→=0→，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果.
【详解】设b1→=a1→+a2→,b3→=a3→+a4→,b3→=a5→+a6→,b1→≤3,b2→≤7,b3→≤11，且b1→+b2→+b3→=0→，如图所示：
则a1→+a2→⋅a5→+a6→=b1→⋅b3→≤b1→⋅b'3→≤b1→b2→−b1→≤b1→7−b1→≤12，且等号可以取到.
故选：C.

【题型十四】 超难小题
【典例分析】
已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【答案】C
【分析】
①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.
【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
【变式演练】
1.已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是___．
【答案】
【分析】
设向量，的单位方向向量，用所设的单位向量作为基底，表示出已知条件，进而表示出，继而求得答案.
【详解】设与 方向相同的单位向量是 ，且 ，
设与 方向相同的单位向量是 ，且 ，
又. 注意到.
，
，
∵c−12a−13b=μ1u+μ2v−λ1u−λ2v=μ1−λ1u+μ2−λ2v，
∴
设
y'μ1=2μ1−λ1+μ2−λ2+δ2=0 1 y'μ2=2μ2−λ2+μ1−λ1+δ2=0 2
(1)与(2)联立得： (7)
(3)与(4)联立得： (8)
将(8)代入(5)中得：，
∴μ1−μ2=λ1−λ2=5189，与联立得：，
对应，故,
故答案为：
2.已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________.
【答案】##
【分析】
建立直角坐标系，根据已知条件求出终点的轨迹方程，由此即可求解.
【详解】
如图在直角坐标系中，设，∵，∴A的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，设，由可知，设，
则，，
设，则
，
，
∴ ①
②
①＋②得：，
则B的轨迹是以G(－1，)为圆心，1为半径的圆，
则.故答案为：.
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．
【答案】
【分析】
设出边长，通过做辅助线，将转化为，然后利用解三角形的知识，把和表示出来，建立函数关系求解最值即可.
【详解】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．
设，，
，
在中，由勾股定理得，则，
BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等边中，F为MN中点，则，，
，
在中，由余弦定理得
，
当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，
当且仅当时等号成立．
∵关于b的函数在上单调递增，
∴，当且仅当时等号成立．
∴，当且仅当，时等号成立.故答案为：．
模拟题
1.如图所示，在中，设，的中点为，的中点为，的中点恰为，则（）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】
由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出．
【详解】如图，连接，则，①.②
①②，得.③又，④
将④代入③，得，解得.故选C.
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且，AE与BF交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】设出，求得，再利用向量相等求解即可.
【详解】连接AF，因为B，P，F三点共线，所以，
因为，所以，所以.
因为E是BC的中点，所以.因为，
所以，则，解得.故选：A
3.如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）
A．3B．C．4D．

【答案】C
【分析】
设，可以用表示和，从而得到与的关系，再利用均值不等式求解.
【详解】设因为
所以
所以，所以
当且仅当，即取等，此时，与重合，符合题意.故选：C.
4.边长为6的正三角形中，为中点，在线段上且，若与交于，则（ ）
A．-12B．-9C．D．

【答案】D
【分析】首先取的中点，连接，根据题意易证为的中点，再以为坐标原点，，分别为，轴，建立直角坐标系，求出，的坐标，利用数量积公式计算即可.
【详解】如图所示：取的中点，连接，
因为，所以为的中点.又因为为中点，所以，即.
因为为的中点，所以为的中点.以为坐标原点，，分别为，轴，建立直角坐标系，如图所示：因为正三角形的边长为，
所以，，，，
，，所以.故选：D
5.如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.
【详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，
因此，
因此，设
所以
当时，最小值为选B.
6.如图，在平面四边形中，为的中点，且，．若， 则的值是 ．
【答案】9【解析】
7.已知点P为ABC内一点，，则，，的面积之比为（ ）
A．B．C．D．

【答案】D
【分析】先将已知向量化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义、三角形面积公式确定面积比.
【详解】如图所示，延长PC至点E使得，连接BE，取BE的中点为F，连接PF交BC于点G，
延长PB至点H使得，连接AH，取AH的中点为I，连接PI交AB于点J，
因为，所以，则A、P、F三点共线，且，因为FC为的中位线，所以，，则，所以，即，，
所以,，设、的高分别为、，，即.同理由可推出，
则，所以.故选：D
8.已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得，
∴，即，由上题的结论知O点是△ABC的重心. 故选C .
9.在中，边上的高线为，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
【答案】D因为所以，，所以.因为，所以所以，即，故选项为D.
10.是边长为6的正三角形，点C满足，且，，，则的取值范围是__________．

【答案】
【分析】根据题意建立坐标系，写出点坐标，表示出，再求向量，再根据已知，，得，，代入得，再根据二次函数的性质求解即可.
解：如图，建立平面直角坐标系，∴ ，，，
∴ ，∴
∴，∵ ，，
∴ ，，∴，
∴ 由二次函数的性质知，∴ 故答案为：.
11.已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________.

【答案】
【详解】由得，又，则
由，可知，即向量满足，且夹角为
取，，，分别是线段，的中点，
则,，
由可知，点在直线上.又与的夹角为
要使得最大，则取圆过点、且与直线相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又
，
则有，，解之得故答案为：
12.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】
由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．
【详解】解：由题意，设，所以，解得，
所以抛物线的方程为，，，，
所以直线的方程为，
设圆心坐标为，，所以，解得，即，
圆的方程为，
不妨设，设直线的方程为，则，
根据，解得，
由，解得，
设，所以，
因为，
所以．故选：B．