2023高考一轮重点难点题型考点突破--12 正余弦定理与解三角形小题归类

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 解三角形基础：角与对边1
\l "_Tc26924" 【题型二】 判断三角形形状3
\l "_Tc12217" 【题型三】 最值与范围1：先判断角5
\l "_Tc30563" 【题型四】 最值与范围2：余弦定理7
\l "_Tc30563" 【题型五】 最值与范围3：辅助角8
\l "_Tc30563" 【题型六】 最值与范围4：均值不等式10
\l "_Tc30563" 【题型七】 最值与范围5：周长最值12
\l "_Tc30563" 【题型八】 面积最值1：消角13
\l "_Tc30563" 【题型九】 面积最值3：正切代换16
\l "_Tc30563" 【题型十】 最值与范围6：建系设点18
\l "_Tc30563" 【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围22
\l "_Tc30563" 【题型十二】 图形1：中线24
\l "_Tc30563" 【题型十三】 图形2: 角平分线27
\l "_Tc30563" 【题型十四】 图形3：高29
\l "_Tc30563" 【题型十五】 图形4：四边形31
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练34
【题型一】解三角形基础：角与对边
【典例分析】
的内角的对边分别为，若(sinB+sinC)2−sin2(B+C)=3sinBsinC，且，则的面积的最大值是
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】由sinB+sinC2−sin2B+C=3sinBsinC，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，再由正弦定理可得a2+b2−c2=bc，从而由余弦定理求得csA=12，再利用基本不等式可得bc≤4，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
∵sinB+C=sinA，且sinB+sinC2−sin2B+C=3sinBsinC，
∴sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得a2+b2−c2=bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12，sinA=32，又∵a=2,∴4=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，即bc≤4，
∴SΔABC=12bc×sinA≤12×4×32=3，即ΔABC最大面积为3，故选B.
【提分秘籍】
基本规律
1.角与角所对应的边长已知
2.一般情况下，对称型多用余弦定理。
3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”
【变式演练】
1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知，
即由正弦定理化简得
即故选：.
2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得，进而可得角B，应用正弦定理有，根据三角形面积公式、三角恒等变换得，即可求面积的最大值.
【详解】由，得，
∴，又，∴，即，又，
∴，又，∴.
，
由，有，则，
，即面积的最大值是.故选：A.
3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则有，由的内角为锐角，可得，
，
由余弦定理可得因此有
故选：D.
【题型二】 判断三角形形状
【典例分析】
已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】由余弦定理，可得，
整理，得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦定理恒等变形：化边或者化角
2.判断边或者角的大小。
【变式演练】
1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系.
解：由得：，且，
∴，且，
∴，
∴，
化简整理得：，即，
∴或，又，∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C.
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】对A,由两边之和大于第三边可得，再进一步用不等式的性质即可判断；
对B，由余弦定理可知，再用正弦定理可知，进一步化简可得B,C的关系，进而可以得到a,b的关系；
对C，结合B代特值即可判断；
对D，结合B，可以得到A,B的关系，进而可以判断.
【详解】
因为，所以，故A正确；
由余弦定理得，，所以，
由正弦定理得，，所以，即，
所以，所以或，
因为，若，可得，所以，
又，所以，此时，，满足，故B正确；
当，时，，故C错误；
由B选项可知，故，即，故D错误．
故选：AB.
3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对
【答案】A
【分析】
由三角函数的有界性得：>,
由三角形的性质可得，设，再结合余弦定理可得>0,即可得解.
【详解】
解：因为存在角使得：则>,
即三边长也可构成一个三角形，不妨假设，由两边之和大于第三边可得：，
即，在中，C最大，由余弦定理>0,
即C为锐角，即为锐角三角形，故选A.
【题型三】 最值与范围1：先判断角
【典例分析】
锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.
解：因为，，所以，
可得：，即，
因为为锐角三角形，则有，即，解得：.
= ，
当时，原式有最大值，此时，
则，，，即，所以.
故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
每个角都要判断。如锐角三角形，则三个角都要转化判断。
【变式演练】
1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.
【详解】依题意，由正弦定理得，所以，
由于三角形是锐角三角形，所以.由.
所以，
由于，所以，所以.故选：C
2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是
A．−1,3B．1,3
C．(2,3)D．1,2
【答案】D
【分析】根据在锐角中，每个角都是锐角确定的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.
【详解】在锐角中，{0<2∠B<π20<∠B<π20<π−3∠B<π2可得π6<∠B<π4，csB∈(22,32),cs2B∈(12,34)，
所以由正弦定理可知ABAC=cb=sinCsinB=sin3BsinB=3sinB−4sin3BsinB=3−4sin2B=4cs2B−1∈(1,2)，故选D.
3.锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acsC+ccsA)=3a，则cb的取值范围是（ ）
A．(12,2)B．(33,233)C．(1,2)D．(32,1)
【答案】B
【分析】根据正弦定理，结合2sinA(acsC+ccsA)=3a可求得角B．又由三角形为锐角三角形，求得角C的取值范围，即可求解．
【详解】由正弦定理得，2sinA(sinAcsC+sinCcsA)=3sinA⇒sin(A+C)=32⇒B=π3
又∵A,C∈0,π2∴π6【题型四】 最值与范围2：余弦定理
【典例分析】
在中，内角的对边分别为，若的面积为18c2，则ab+ba的最大值为
A．2B．4C．25D．
【答案】C
【分析】
利用余弦定理可得a2+b2=c2+2abcsC，结合三角形面积为18c2可得c2=4absinC，ab+ba可化为=4sinC+2csC =25sin(C+φ)，从而可得结果.
【详解】由题意得，S=12absinC=18c2，∴c2=4absinC，又c2=a2+b2−2abcsC，
∴a2+b2=c2+2abcsC，
∴ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcsCab =4absinC+2abcsCab=4sinC+2csC =25sin(C+φ)，
则ab+ba的最大值为25，故选C
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理两种基本形式：（1）；（2）
2.一般情况下，边的平方形式，可能就是余弦定理的变形。需要通过构造与问题相关的形式和条件
【变式演练】
1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且sinA=2sinBsinC，则cb+bc取得最大值时，内角的值为
A．B．π4C．D．
【答案】B
【分析】将正弦定理平方处理，即可将恒等式转化为a2=2bcsinA，再代入余弦定理，从而将cb+bc转化为2(sinA+csA)，再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的A值.
【详解】由sinA=2sinBsinC，根据正弦定理，a2sin2A=bcsinBsinC，
可得a2=2bcsinA，再由，得b2+c2=2bc(csA+sinA)，
所以cb+bc=b2+c2bc=2bc(csA+sinA）bc=2(sinA+csA)=22sin(A+π4)，
所以当A=π4时，cb+bc取得最大值，答案为B.
2.满足条件的三角形的面积的最大值是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：设，根据三角形的面积公式和余弦定理，得出关于的面积表达式，再根据的取值范围，即可求解面积的最大值.
详解：设，则，
根据面积公式得，
根据余弦定理得，
代入上式，得，
由三角形的三边关系可得，解得，
故点时，取得最大值，故选D.
3.,则的最大面积为
A．3B．C．2D．无法确定
【答案】B
【详解】
分析：由利用正弦定理得,由余弦定理得到,由平方关系求出,根据面积公式化简的面积的表达式,利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值.
详解： ，由余弦定理及得，，
的面积，
当时，即，的面积有最大值，
的最大面积是，故选B.
【题型五】 最值与范围3：辅助角
【典例分析】
在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，则设所以，即，故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式（同角一次式）
2.引入变量，构造辅助角，借助正余弦有界性求解
【变式演练】
1.若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解．
解：的面积，且，，，
根据余弦定理得：
，即，
可得，，则，
解得：，即边的最小值为.故选：C.
2.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可得，化简即可求解
解：，，，，
整理可得，，
则故选：．
3.已知中， ， ， 成等比数列，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由已知可知，即，，即 ， ，
原式等于 ，设
即原式等于 ，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.
【题型六】 最值与范围4：均值不等式
【典例分析】
锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(）B．(）
C．[)D．[，1)
【答案】C
先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.
【详解】
由题意得，（当且仅当时取等号），
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，
因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理形式可以用均值。一般式对称构造
2.其他形式中边的关系可以用均值
【变式演练】
1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【分析】由可解得，结合基本不等式，知；经过变形化简可将原式整理为，令，则，，，结合函数的单调性即可得解．
【详解】由可知，，解得，由基本不等式得，．
，
令，则，，
，在，上单调递增，
（4），即的最小值为．故选：．
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，(a>b>c)，已知不等式1a−b+1b−c≥ta−c恒成立，则当实数t取得最大值T时，TcsB的取值范围是
A．0,125B．2,125C．[2,23]D．(2,4)
【答案】B
【解析】
把不等式1a−b+1b−c≥ta−c变形为t≤a−ca−b+a−cb−c=2+b−ca−b+a−bb−c，
用基本不等式可以求出，当b=a+c2时，实数t的最大值T=4，用余弦定理表示出 TcsB=3a2+3c2−2ac2ac，在锐角中，由a>b>c，b=a+c2，可以求出ca的取值范围，利用函数y=m+1m的单调性，可以求出TcsB的取值范围.
【详解】
1a−b+1b−c≥ta−c⇒t≤a−ca−b+a−cb−c∵a−ca−b+a−cb−c=a−b+b−ca−b+a−b+b−cb−c=2+b−ca−b+a−bb−c
当且仅当a−b=b−c即时（此时b=a+c2）取得最小值4，
∴t≤4，∴T=4，
∴TcsB=4csB=4×a2+c2−b22ac=2×a2+c2−a+c22ac=3a2+3c2−2ac2ac，
因为a>b>c，所以b2+c2>a2，代入化简得5ca2+2ca−3>0⇔35令m=ca，35∴23.已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.
【详解】
解：，又，
= =，当且仅当时，等号成立.
故选：B.
【题型七】最值与范围5：周长最值
【典例分析】
已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用正弦定理将条件中的边化成角的关系，从而求得的值，再利用三角形的面积公式和余弦定理可求得的值，即可得答案；
【详解】
由已知可得，由正弦定理可得.；．
∵角为锐角，．
的面积为2，，．
由余弦定理可得，
即．
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.角与对边型：正弦定理
2.对称边，可以余弦定理+均值不等式
【变式演练】
1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据余弦的和角公式及辅助角公式，可求得角A的值；利用余弦定理结合基本不等式即可求得a的取值范围，进而得到周长的取值范围．
【详解】
∵，，可得，
，解得，
∵，
∴由余弦定理可得
∵由， ，得，
∴，即．
∴周长．
故选A
2.在中，角所对的边分别为，若sinA+cs(A+π6)=32，b+c=4，则周长的取值范围是
A．[6,8)B．[6,8]C．[4,6)D．(4,6]
【答案】A
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（A+π3）=32，结合的范围可求，再由余弦定理求得a2=16−3bc ，再由基本不等式，求得bc的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围．
【详解】
∵sinA+cs(A+π6)=32，∴sinA+32csA−12sinA=32，
可得：sin（A+π3）=32，
∵A∈（0，π），A+π3∈（π3，4π3），∴A+π3=2π3，解得A=π3，
∵b+c=4，
∴由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=（b+c）2−2bc−bc=16−3bc，
∵由b+c=4，b+c≥2bc ，得0＜bc≤4，∴4≤a2＜16，即2≤a＜4．
∴周长L=a+b+c=a+4∈[6，8） ．故选A．
3..在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】因为，故可得，又，故可得.
因为，故可得
整理得，则.故可得，
因为，故可得.则
故可得.故选：C.
【题型八】 面积1:消角
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
解：在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
1.已知或者求出一角，则可以利用另外俩角和定值来消角
2.广义消角：已知或者求得一角（非特殊角）三角函数值，可以利用两角和的正余弦来“消角”
【变式演练】
1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】
∵为锐角三角形，且，∴，
∴，，又∵，
∴，又∵，，∴，由，
即，
∴，
令，则，又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，故选：C
2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．
【答案】
【分析】
根据正弦定理、余弦定理化简得到，再利用正弦定理与三角恒等变换将化简为，再根据存在最大值，分析的范围列式即可
【详解】
由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，
，其中，又，
若存在最大值，即有解，即，
解得，即的范围是．
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
【答案】
【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.
【详解】
由题设，，则，
∴，又 B为钝角即为锐角，
∴，即，又，
∴且，
而，
∴当时，的最大值为.
故答案为：
【题型九】 面积2：正切代换
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）．A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
解：中，由余弦定理得，，且的面积为，由，
得，化简得；又，，
所以，化简得，解得或（不合题意，舍去）；
因为所以，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，所以；设，其中，
所以，
又，所以时，取得最大值为，时，，时，，且，
所以，即的取值范围是．故选：．
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式，可以正切代换
2.万能公式形式也可以正切代换
【变式演练】
1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角形边角关系，将转化为关于边的方程，解得边，进而由三角形的面积公式，直接求出面积即可.
【详解】
如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，
所以
又因为
所以，即，解得：或（舍）
所以.故选：B.
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．
解：△ABC中，，由，得，∴；
即，∵，∴，∴，∴ ，
∴，∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，∴,
∴， 故选：D．
【题型十】 最值与范围6：建系设点
【典例分析】
已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最大距离，代入三角形面积公式计算.
【详解】
以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，设，因为，所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最大距离为：，所以面积的最大值为.
故选：C
【提分秘籍】
基本规律
1.满足圆锥曲线定义，特别是“阿波罗尼斯圆”，可以适当的建系设点
2.利用正余弦平方形式可以建系设点
3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等。可以适当的建系设点
【变式演练】
1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】C
【分析】
应用正弦定理把中的“角”转化为“边”，利用余弦定理求出角的值，接下来有两个思路．思路一：先根据面积为求得的值，从而利用基本不等式求得，再把周长用表示出来，最后利用函数的单调性求出的周长的最小值；思路二：建立恰当的平面直角坐标系，设出点和点的坐标，根据面积为，得到两个变量之间的关系，从而用其中一个变量表示出的周长，再利用基本不等式求出的周长的最小值．
【详解】
解法一：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，由，得，
由得，则，所以，
因为，所以，则，当且仅当时等号成立，的周长为，易知是关于的增函数，所以当时，的周长最小，为；
解法二：因为，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因为，所以，
建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6．
故选：C
2.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______
【答案】
【分析】
利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】
（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，
故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得， 又，故可得，
当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.
3.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点, 分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且∠BAC=90°, AB=AC=4,那么, 两点间距离的
A．最大值是42,最小值是4B．最大值是8,最小值是4
C．最大值是42,最小值是D．最大值是8,最小值是
【答案】A
【分析】设BC与x轴的夹角为（0≤θ≤π），通过数形结合，分情况分析 , 两点间距离，进而得解.
【详解】设BC与x轴的夹角为（0≤θ≤π），E 为△ABC的中点，当θ=0时，如图：
易知OA=4 ；
当0<θ<π4 时，A,O,E三点构成如图三角形，根据题意，可知∠OBC=∠BOE ，∠AEB=π2,AE=OE=22 ，
则∠AEO=π2+2θ,∴cs∠AEO=csπ2+2θ=−sin2θ,2θ∈0,π2，
∴OA2=OE2+AE2−2OE⋅AEcs∠AEO=16+16sin2θ即 16当θ=π4时，如图,四边形ABOC是正方形，OA=42
当π4<θ<π 时，A,O,E三点构成如图三角形，
∴∠AEO=π2+π−2θ,∴cs∠AEO=csπ2+π−2θ=−sin2θ，2θ∈π2，π
同理可求得4当θ=π时，易求得OA=4。故OA的最大值是，最小值是4
故选A
【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围
【典例分析】
在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．
【详解】
∵，∴所以
因此
设，∵是锐角三角形，∴，∴
∴，在上单调递增，
∴，
故选：C
【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：
1.切化弦
2.在三角形中，有
【变式演练】
1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】
首先由正弦定理和三角恒等变形得到，再根据正切公式得到，最后再换元，利用基本不等式求最小值.
【详解】由正弦定理可知,
又因为，
所以，
因为是锐角三角形，所以,
上式两边同时除以，可得，①
又因为，
,
，
令，由①可知
所有，，
当且仅当时，即时，取等号，此时，
所以的最小值是8.故选：D
2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcsC=3b2，则的最小值是_______．
【答案】6
【分析】
先根据正余弦定理对原式进行化简得2(sin2A−sin2B)=sin2C，再利用正弦平方差定理化简可得sinAcsB=3csAsinB⇒tanA=3tanB，然后tanA=x,tanB=3x，表示出tanC=4x3x2−1，构造函数求最值即可得出答案.
【详解】根据题意，已知a2+2abcsC=3b2，由余弦定理得a2+2aba2+b2−c22ab=3b2 ，化简得2(a2−b2)=c2
由正弦定理：2(sin2A−sin2B)=sin2C 即2sin(A+B)sin(A−B)=sin2C （正弦平方差）
整理可得：2sinAcsB−2csAsinB=sinAcsB+csAsinB 即sinAcsB=3csAsinB⇒tanA=3tanB
设tanA=x,tanB=3x因为为锐角三角形，所以 tanA>0,x>0此时tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB 即tanC=4x3x2−1 所以tanAtanBtanC=12x33x2−1 令f(x)=12x33x2−1(x>0)f'(x)=36(x2+1)(x2−1)(3x2−1)2
当f'(x)>0,x>1，f(x)递增；当f'(x)<0,0所以f(x)min=f(1)=6 故tanAtanBtanC的最小值是6。故答案为6
3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据正弦定理的边化角公式以及两角和的正弦公式，得出，再将化简为，利用换元法以及导数，即可得出的取值范围.
【详解】由，得整理得
，又，
令，因为，所以
则令，则
；即函数在上单调递减，在上单调递增，即故选B
【题型十二】 图形1：中线
【典例分析】
以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】
设D为AC中点，在和分别运用余弦定理得，再表示的面积，运用二次函数的性质可得选项.
【详解】如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，，
在中，，∴
，
当时，S有最大值，此时，即腰长，
故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理
2.中线可延伸补形得平行四边形
【变式演练】
1.已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则csA的取值范围是
A．B．C．[D．
【答案】D
【解析】设△ABC的内角所对的边分别为，设交于点，连接，延长交于，则为的中点，由直角三角形的性质可得，分别在三角形和三角形中，运用余弦定理可得，由锐角三角形可得，再由余弦定理可得关于的式子，由换元法和对勾函数的单调性，计算可得所求范围
解：设△ABC的内角所对的边分别为，设交于点，连接，延长交于，则为的中点，由CD丄BE，可得，在中，,
在中，，因为，
所以上面两式相加，得，因为△ABC为锐角三角形，可得，
可得，则，即，又，当且仅当，取等号，
设（），则在递减，在递增，
因为，则，故选：D
2.如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
先求得，再由，求得，求得，过点作，求得，设，进而求得，根据，即可求解.
【详解】因为，，所以为等腰直角三角形，又因为，为中线，所以，，所以.因为，所以，所以，
即，所以.过点作交于点，所以，因为，设，则，所以，解得，
所以.故选：D
3.在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出，再设，根据余弦定理得，再得出，由三角形的面积公式表示的面积，根据二次函数的最值可得选项.
【详解】
因为分别是边，的中点，所以，所以，
又，设，则，
又因为，所以，设，
所以在中，，所以，
所以，当时，面积取得最大值，
故选：C.
【题型十三】 图形2：角平分线
【典例分析】
在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解
【详解】
如图，设设，，则由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式联立可得，则，则，
对，由余弦定理可得，
则
，
当时，有最大值，，所以，
故选：C
【提分秘籍】
基本规律
1.角平分线，可以借助面积“和”构造等量关系
2.角平分线也是两边的“对称轴”
3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用
【变式演练】
1.如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】B
【分析】
设,由边角关系及余弦定理可求得与.再利用二倍角公式求得.由三角形面积公式求得,则根据即可得解.
【详解】设。则在三角形中,
在三角形中,由余弦定理可知。代入可得
化简可得,解得 所以,则
由二倍角公式可得
由三角形面积公式可得
则
故选:B
2.如图所示，在，已知∠A:∠B=1:2，角的平分线把三角形面积分为3:2两部分，则csA等于
A．13B．C．34D．0
【答案】C
【分析】由两个三角形的面积比，得到边ACCB=32，利用正弦定理BCsinA=ACsinB求得csA的值.
【详解】∵角的平分线， ∴∠ACD=∠BCD∵SΔACDSΔBCD=12AC⋅CDsin∠ACD12CB⋅CDsin∠BCD=ACCB=32，设AC=3x,CB=2x，
∵∠A:∠B=1:2，设∠A=α,∠B=2α，在中，利用正弦定理2xsinα=3xsin2α=3x2sinαcsα，解得：csα=34.
3.在中，，M为边上的一点，且BM=2，若BM为的角平分线，则2AM−1CM 的取值范围为
A．−32,3B．−32,3
C．−12,3D．−12,3
【答案】A
【解析】
先根据正弦定理用角A,C表示2AM，1CM，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】
因为B=π3，BM为∠ABC的角平分线，所以∠ABM=∠CBM=π6，
在ΔABM中，BMsinA=AMsin∠ABM，因为BM=2，所以2AM=sinAsinπ6=2sinA，
在ΔCBM中，BMsinC=CMsin∠CBM，因为BM=2，所以2CM=sinCsinπ6=2sinC，所以1CM=sinC，
则2AM−1CM=2sinA−sinC=2sinA−sin2π3−A
=32sinA−32csA=3sinA−π6,
因为0所以−12即2AM−1CM的取值范围为−32,3.选A.
【题型十四】 图形3：高
【典例分析】
.△ABC中，BD是AC边上的高，A=，csB=-，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式和正弦定理分别求出，，从而确定的比值．
解：
由正弦定理可知
，即
故选A．
【提分秘籍】
基本规律
1.一般给高，基本就与求面积联系起来
2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值
【变式演练】
1.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______
【答案】817
【分析】设三条高分别为ℎa,ℎb,ℎc，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为最大来求解.
【详解】依题意可知，三条高分别为ℎa,ℎb,ℎc，根据三角形面积公式有12aℎa=112bℎb=112cℎc=1，故ℎa=2，ℎa⋅ℎb⋅ℎc=8abc=8bc，而12bcsinA=1，即1bc=sinA2，所以ℎa⋅ℎb⋅ℎc=8bc=4sinA.故当取得最大值时，三条高的乘积取得最大值.作平行于且与距离为的平行直线，作的垂直平分线，交直线于.过上一点作圆，使圆经过三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时取得最大值，也即sin∠BAC取得最大值.在三角形中，AB=AC=172,BC=1，由余弦定理得cs∠BAC=174+174−12×172×172=1517，sin∠BAC=1−cs2∠BAC=817.即三角形的三条高的乘积取最大值时sinA=817.
2.在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，由正弦定理得到，根据边上的高为，结合正弦定理有，再由余弦定理可得 ，即，由，再根据取最小值时求解.
【详解】因为，所以，因为边上的高为，所以，即，
由余弦定理得：，所以，即，，即，
解得，所以的最小值为，此时，又，，
所以.故选：
【题型十五】 图形4：四边形
【典例分析】
在平面四边形中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】画出该平行四边形，结合图形分析讨论AB取最值时，点A、D的位置.再结合正弦定理求出AB取值范围.
【详解】延长、交于点，平移
①当、点与点重合时，最长∴，，
则；
②当点与点重合时，最短∴，，则
即：.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.四边形可以“劈成”俩三角形。
2.四边形可以“补成”三角形
【变式演练】
1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27B．16C．10D．25
【答案】A
【分析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立直角坐标系，求出A点轨迹方程，再根据圆的性质求最值.
【详解】
以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，
因此对角线的最大值为
故选：A
2.在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正弦定理，可求得，即角或，分类讨论， 由，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
因为与互补，，且四点共圆.

所以，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，所以，
得，所以或.
设四边形的外接圆半径为，则，解得.
（1）设.
当，则，故，此时，且，在中，，所以，即.
所以四边形面积，当且仅当时，四边形面积取得最大值为
（2）当，则，故，所以.因为，所以，则在中由余弦定理得，
所以，即.所以，
此时，四边形面积.
综上，四边形面积的最大值等于，
故选：B.
3.凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为
A．3B．4C．D．
【答案】C
【分析】
设，，利用余弦定理与正弦定理，表示出与
，在中，由余弦定理求得的表达式，根据三角函数值的有界性即可求得最大值．
【详解】
设，
在中，由余弦定理可得
所以，即
在中，由正弦定理可得 ，则，
在中，由余弦定理可得
而由条件可知，，
所以
即
结合，代入化简可得
所以当时，取得最大值为
此时取得最大值为所以选C
模拟题
1.锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】利用正弦定理对所给等式进行角化边，再利用余弦定理可求得从而求得角A，由正弦定理可得，则，利用两角和与差的正弦、余弦公式将等式化简为关于B的正弦型函数，由锐角三角形求出角B的范围即可利用正弦函数的值域求得的取值范围.
【详解】因为由正弦定理可得，即，
所以，又，所以，由正弦定理可知，所以，则
，因为为锐角三角形且，所以，解得，
当时，，，
所以.故选：B
2.( 河南省开封市五县2021-2022学年上学期期中联考数学试题)已知的三个内角所对的边分别为，满足cs2A−cs2B+cs2C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1，则的形状为
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为150∘的等腰三角形D．顶角为120∘的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数基本关系得sin2A+sin2C−sin2B=−sinAsinC，结合正余弦定理得a2+c2−b22ac=−12进而得B,再利用sinA+sinπ3−A=1化简得sinA+π3=1,得A值进而得C,则形状可求
【详解】
由题1−sin2A−1−sin2B+1−sin2C=1+sinAsinC
即sin2A+sin2C−sin2B=−sinAsinC，由正弦定理及余弦定理得a2+c2−b22ac=−12
即csB=−12,∵B∈0,π∴B=23π
故 sinA+sinπ3−A=1整理得sinA+π3=1 ，故A=π6,∴B=π6
故为顶角为120∘的等腰三角形
故选D
3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为
A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．D．

【答案】A
【分析】
根据以及面积公式可得,可得,可得,可得,再利用正弦定理可得,转化为,根据的范围可得答案.
【详解】由,得 ,所以,
所以,所以,又,所以,
所以,
因为,所以,所以,所以,
所以的取值范围为.故选:A
4.已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于 ( )
A．B．C．D．

【答案】A
【解析】
【详解】
分析：已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值即可求出三角形的面积.
详解：已知等式利用正弦定理化简得：，两边平方得：，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，此时，则的最小值为，此时C最大，且，则的面积，故选A.
5.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．

【答案】D
【分析】由余弦定理，求得，再结合基本不等式和函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，因为，所以，
又由，得，则所以，令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
又，，所以.
故选：D.
6.在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】
根据正弦定理进行边角互化，可得，再进行边角互化，可得，再由余弦定理可求，由，利用基本不等式，即可求解最值问题.
【详解】由正弦定理，可得，即，
即，进一步由正弦定理，可得，
再由余弦定理，可得，即，所以
，当且仅当，，时取等号，
又因为，所以，所以的最大值为.故选A.
7.( 安徽省六安市第二中学2022届高三上学期第三次月考数学试题)在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围．
【详解】
因为，由余弦定理得，所以，
，
由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，，，
由A,B,C∈0,π2，得A∈π6,π4，B∈π3,π2，
=csAsinA−csBsinB=sinBcsA−csBsinAsinAsinB=sin(B−A)sinAsinB=sinAsinAsinB=1sinB，
sinB∈32,1，所以1tanA−1tanB∈1,233．
故答案为：．
8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）
A．B．2C．1D．

【答案】A
【解析】
结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范围，最后用基本不等式求最值.
【详解】
因为，即，
所以，因为，
所以，由余弦定理，
可得，
再由正弦定理得，
因为，
所以，所以或，
得或（舍去）.因为是锐角三角形，
所以，得，即，
所以，
当且仅当，取等号.故选:A
9.( 甘肃省兰州第一中学2021-2022学年上学期数学试题)在中,B=30∘,BC=3,AB=23,点在边上,点B,C关于直线的对称点分别为B',C',则ΔBB'C'的面积的最大值为
A．9−332B．637C．937D．332
【答案】D
【分析】
解三角形，建立坐标系，设AD斜率为k，用k表示出B′纵坐标，代入面积公式得出面积关于k的函数，根据k的范围和函数单调性求出面积最大值．
【详解】由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csB＝12+9﹣2×23×3×32=3，
∴AC=3，且AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，以C为原点，以CB，CA为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设直线AD的方程为y＝kx+3，当D与线段AB的端点重合时，B，B'，C'在同一条直线上，不符合题意，
∴则k＜−33，设B′（m，n），显然n＜0，则n2=k⋅m+32+3nm−3=−1k，解得n=6k+23k2+1，∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C=12⋅BC⋅|n|=12×3×−6k−23k2+1=−9k+33k2+1，令f（k）=−9k+33k2+1（k＜−33），则f′（k）=3(3k2+23k−3)(k2+1)2，
令f′（k）＝0可得k=−3或k=33（舍），∴当k＜−3时，f′（k）＞0，当−3＜k＜−33时，f′（k）＜0，
∴当k=−3时，f（k）取得最大值f（−3）=332．故选D．
10..在中，分别是角的对边，若，则的值为（ ）
A．2018B．1C．0D．2019

【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理，结合题设可得，利用同角三角函数关系：，即得解.
【详解】，
故选：A
11.( 江西省万安中学2021-2022学年学期开学考试数学（理）试题)如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，由可得，，则，由可得，从而得，再利用结合余弦定理可得结果
【详解】
由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，因为，
所以，，
所以，
又由题目条件可知，，
所以，，
所以，
所以．故选：B
12.在中，，边上的高等于，则
A．B．C．D．

【答案】B
【解析】
【详解】
设边上的高为，由于，故，由勾股定理计算得，由余弦定理得.
13.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180°的四边形，在平面凸四边形中，∠A=30°，∠B=135°，AB=3，AD=2，设CD=t，则t的取值范围是（ ）
A．1,3+3B．1,3+3C．22,3+1D．22,3+1

【答案】D
【分析】
先利用余弦定理计算DB=1，设∠DCB=θ，将CD=t表示为的函数，再求取值范围.
【详解】如图所示：BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcsA=3+4−6=1⇒BD=1
∠DBA=90°⇒∠DBC=45° 在ΔDBC中，利用正弦定理：tsin45°=BDsinθ⇒t=22sinθ(15°<θ<135°)
当θ=90°时，有最小值为 当θ=15°时，有最大值为 （不能取等号）
t的取值范围是22,3+1故答案选D