2023高考一轮重点难点题型考点突破--18 基本不等式归类

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【题型一】基础型
【典例分析】
在下列函数中,最小值是2的是
A. B. C.D.
【提分秘籍】
基本规律
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
【变式演练】
1.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．
2.若都是正数，则的最小值为( ).
A.5B.7C.9D.13
3.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使 恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】 “1”的代换型
【典例分析】
已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为__________
【提分秘籍】
基本规律
“1”代换是基本型，要注意
1.一正二定三相等
2.见分子想分母，见分子想分子。
【变式演练】
1.已知，，，则的最小值为（ ）
A．20B．24C．25D．28
2.已知，，，则的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____
【题型三】 “和”与“积”互消型
【典例分析】
已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．
【提分秘籍】
基本规律
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2
授课时，注意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以用反解代入消参等方法
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知，且，则的最小值为___________．
3.已知，，，则（ 多选题 ）
A．的最大值为2B．的最小值为4
C．的最小值为3D．的最小值为
【题型四】 以分母为主元构造型
【典例分析】
已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
【提分秘籍】
基本规律
构造分母型：
1.以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析
2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2
3.变式3是三项构造，且无条件等式。
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．
2.已知正数、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3.设，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【题型五】 构造分母：待定系数
【典例分析】
已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”
方法：直观凑配或者分母换元
【变式演练】
1.知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知，，，则取到最小值为 ．
【题型六】 分子含参型：分离分子型
【典例分析】
若，则的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
1.分离分子原理题，如典例分析
2.分子二次型换元分离，如变式2
3.分子二次型凑配构造分离，如变式3
【变式演练】
1.已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.若，且，则的最小值为_________
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．
【题型七】 反解代入型:消元法
【典例分析】
已知正数，满足，则的最大值为______．
【提分秘籍】
基本规律
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.若正数，满足，则的最小值是______，此时______.
3.若正实数满足，则的最小值为___________.
【题型八】 因式分解型
【典例分析】
非负实数满足，则的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值等于_______．
2.已知，且，则的最小值是___．
3.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等于_______．
【题型九】 均值用两次
【典例分析】
是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
两次均值，逐次消去，取等条件一致
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）A．B．C．D．
2.已知，，则的最小值为___________.
3.已知正实数，，满足，则的最小值为______.
【题型十】 换元型
【典例分析】
已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为
A.2B.4C.D.
【提分秘籍】
基本规律
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，如变式1
3.齐次分式同除型，可以代数换元，如变式3
【变式演练】
1.若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
2.已知x2−23xy+5y2=1，x,y∈R，则x2+y2的最小值为____.
3.已知为正实数，则的最小值为_________.
【题型十一】 “和”与所求和系数不一致型
【典例分析】
1、已知，，且，则的最小值为
A．B．C．5D．9
【提分秘籍】
基本规律
1.可以简单的反解代入消去，如典例分析
2.可以整体配凑构造（换元），如变式1
3.可以“无中生有”构造消去，如变式2
4.也可以因式分解，参考专题八
【变式演练】
1.若正实数，满足，则的最小值是__________．
2.
3.
【题型十二】 “均值裂项”凑配型
【典例分析】
已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___．
【提分秘籍】
基本规律
利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。
【变式演练】
1.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
2.已知实数满足，则实数的取值范围是_________．
3.已知，，，且，则的最小值为___________．
【题型十三】 整体化同乘方程型
【典例分析】
已知实数，满足，且.则的最大值为_____．
【提分秘籍】
基本规律
求谁设谁，构造方程用均值
【变式演练】
1.已知正数满足，则的最大值为________．
已知为正数，且，则的最大值为 ．
【题型十四】 三元最值型
【典例分析】
已知实数满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式演练】
1.若实数、、，且，则的最小值为
A．B．C．D．
2.已知，且，则的最大值是_______，的最大值是________．
3.若正实数满足，则的最大值为________.
【题型十五】 恒成立求参数型
【典例分析】
对任意正实数不等式恒成立，则（ ）
A．实数有最小值1B．实数有最大值1
C．实数有最小值D．实数有最大值
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
2.正数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.设都是正数，且使，求实数的最大值.
【题型十六】 超难压轴小题
【典例分析】
设为正实数，若则的取值范围是__________．
【变式演练】
1.若，均为正实数，则的最小值为_______.
2.已知a,b∈[0,1]，则S(a,b)=a1+b+b1+a+(1−a)(1−b)的最小值为________．
3.已知，则的最小值为__________．
模拟题
1.已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．10
2.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3.已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．7D．6
4.、设，且，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5.若实数x，y满足x＞y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为______．
6.已知的最小值为 。
7.已知正数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
8.若实数x，y满足，且，则的最小值是_______________.
9.已知x>0,y>0,z>0,x−y+2z=0，则的 ( )
A． 最大值为18 B． 最小值为18 C． 最大值为8 D． 最小值为8
10.知，，，则＋的最小值为____．
11.若，则的最小值为____________．
12.已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _
13.已知，且满足，则的最小值为
14.已如，则的最小值为______.
15.若实数满足，则的最大值为________.