2023高考一轮重点难点题型考点突破--14 向量小题归类

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 向量基础：“绕三角形”（基底拆分）1
\l "_Tc26924" 【题型二】 系数未知型“绕三角形”3
\l "_Tc12217" 【题型三】 求最值型“绕三角形”6
\l "_Tc30563" 【题型四】 数量积8
\l "_Tc30563" 【题型五】 非数量积最值型10
\l "_Tc30563" 【题型六】 向良模12
\l "_Tc30563" 【题型七】 投影向量14
\l "_Tc30563" 【题型八】 向量机巧1：极化恒等式16
\l "_Tc30563" 【题型九】 向量机巧2：等和线17
\l "_Tc30563" 【题型十】 向量机巧3：奔驰定理与面积19
\l "_Tc30563" 【题型十一】解析几何中的向量22
\l "_Tc30563" 【题型十二】向量四心24
\l "_Tc30563" 【题型十三】综合以应用25
\l "_Tc30563" 【题型十四】超难小题28
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练33
【题型一】 向量基础：“绕三角形”（基底拆分）
【典例分析】
我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即，解得，即，
故选：B
【提分秘籍】
基本规律
基础拆分的俩个公式，与位置无关。
（1）.
（2）
【变式演练】
1.如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】
为的中点，则，
，，
.
故选：B.
2.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.
【详解】
解：
故选：C.
3.，，为所在平面内三点，且，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
画出图形，根据向量线性运算求解即可.
解：由题知，为中点，为三等分点且靠近点，为中点，如图，
所以．故选：D.
【题型二】 系数未知型“绕三角形”
【典例分析】
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】
因为，设，而，所以且，故，应选答案A．
【提分秘籍】
基本规律
平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
（1）选定基底，则、，是唯一的
（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系 。
【变式演练】
1.如图，正方形中，分别是的中点，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以
又，所以，即.
2.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。故选：B.
3.如图，中，与交于，设，，，则为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延长交于点，由于与交于，可知：点是的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案．
【详解】延长交于点；
与交于，点是的重心，，，
又
，则为；故答案选A
【题型三】 求最值型“绕三角形”
【典例分析】
在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）
2.也可用均值不等式，或者建系设点三角换元
【变式演练】
1.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】因为是内一点，且所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时 所以，即
因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B
2.在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简得到，根据得到，得到的最大值.
【详解】
，
故
故，故.
当时等号成立.故选：.
3.中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解析】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D．
【题型四】 数量积
【典例分析】
已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为( )
A． B．－C． D．－
【答案】A
【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】法一：由题意可得·＝2×2cs＝2，
·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.故选A.
【提分秘籍】
基本规律
1.求解数量积，可以选择有长度或者角度关系的向量作为基底求解。
2..已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
【变式演练】
1.如图，在等腰直角中，，C为靠近点A的线段AB的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，则的值是
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】
根据题意，直接利用向量共线和向量的线性运算及夹角公式求出结果．
【详解】
在等腰直角中，，C为靠近点A的线段AB的四等分点，
过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，
则：，
所以：，，
，．故选B．
2.在中， ，点在上，，是的中点，，，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】,
在和中，由正弦定理可得,
.
3.已知是边长为3的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
用分别表示出和，然后根据向量的数量积计算公式求解出的结果.
【详解】如下图所示：
因为是的中点，所以，
又因为，
所以，故选：D.
【题型五】 数量积最值型
【典例分析】
在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由，可以得到，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形，根据，可知平行四边形是菱形，这样在中，可以求出菱形的边长，求出的表达式，利用，构造函数，最后求出的取值范围.
【详解】
，以为邻边作平行四边形，如下图：
所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中，
，
设，所以当 时，，是增函数，故，因此本题选D.
【变式演练】
1.已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值.
【详解】
如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则△为等腰三角形，又，所以△为等边三角形.
则四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，
因为，易知，即，则，
①当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
②当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
综上，的最小值为；故选：C .
2.如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分析得出点与点重合时，的模最大，即最小，进而得解．
【详解】，由图易知，向量所成的角为钝角，
所以，，，当最小时，的模最大，
数形结合易知点与点重合时，的模最大，即最小，，，
是的中点，则．
故选：．
3.在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为___________.
【答案】
【分析】
由题，设，由余弦定理可求得AB的长，再设，利用向量基本定理表示出，求得其数量积整理是关于n的二次函数，再求其最小值等于，可求得m的值，可求得面积.
【详解】
由题，设，在三角形ABC中，由余弦定理变形可得：

因为点为线段上一动点，再设，此时
即
因为
所以
令关于n的二次函数
所以其最小值为： 解得
所以
三角形ABC的面积： 故答案为
【题型六】 向量模
【典例分析】
若向量，，，且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】应用向量的坐标运算及垂直的坐标表示可得，再由向量模的坐标表示可得将问题转化为求定点到直线的距离即可.
【详解】由题设，，，又，
∴，则，
又，则，
∴要求的最小值，即求定点到直线的距离，
∴.故答案为：
【提分秘籍】
基本规律
1.向量的模是线段的长度
2.可以借助几何意义，也可以建系设点
【变式演练】
1.已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.
【答案】
【分析】
先设，且，再根据向量模化简，最后化简整理结合柯西不等式即可求出结果.
【详解】设，且，而，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，
故答案为：.
2.已知向量满足，且，则______.
【答案】
【分析】设，由已知条件求出，所以，可直接求出.
【详解】设，∵向量满足，且，
∴∴，即，解得：，
又∵，即所以故答案为：
3.设，为单位向量，则的最大值是________
【答案】
【分析】
用坐标表示，，化简，利用柯西不等式求得最大值.
【详解】
依题意，为单位向量，设，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
【题型七】 投影向量
【典例分析】
已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为___________.
【答案】
【分析】应用数形结合法，结合题设作出，，且，进而判断终点的轨迹，即可求在方向上的投影的最小值.
【详解】如下图，若，，且，
∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上，
∴要使在方向上的投影的最小，即最大，此时，则，
∴在方向上的投影的最小值为.
故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
1.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

2.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.
3.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.
【变式演练】
1.已知点、、、,则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为,所以，。向量在方向上的投影为，选A.
2.已知向量满足则在上的投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C因为，所以，又，所以，设在的夹角为，则，即，所以，故选C．
3.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D向量，的夹角为，且，，所以，．又，所以，则，所以向量在向量方向上的投影为，故选：D．
【题型八】 向量技巧1：极化恒等式
【典例分析】
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则的值是________.
【答案】【解析】解法一：基底法
令，则，则
，
则
由，可得，因此，
因此.
解法二：极化恒等式
，
解得：所以.
【提分秘籍】
基本规律
基础知识：
在△中，是边的中点，则.
【变式演练】
1.已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

解析：取的中点，连接，，取的中点，连接，
由△是边长为2的等边三角形，为中线的中点，
则 ，
所以 .
2.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为
A．2B．C．3D．
【答案】B
【详解】.故选B.
3、已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由球的半径为1， 是球面上的两点，且，可得 ，
,故选B.
【题型九】 向量技巧2：等和线
【典例分析】
在ΔABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，则λ＝
A．−13 B．−23 C．13 D．23
【答案】D
【解析】因为A,D，B三点共线，所以13+λ=1,λ=23。选D.
【提分秘籍】
基本规律
等和线原理：
【变式演练】
1.如图，在ΔOMN中，A、B分别是OM、ON的中点，若OP=xOA+yOB（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则y+1x+y+2的取值范围是（ ）
A．13,23B．13,34C．14,34D．14,23
【答案】C详解：由题意，当P在线段AB上时，x+y=1，当P点在线段MN上时，x+y=2，∴当P在四边形ABNM内（含边界）时，x+y≥1x+y≤2x≥0y≥0（＊），又y+1x+y+2=1x+1y+1+1，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，
y+1x+1表示可行域内点(x,y)与P(−1,−1)连线的斜率，由图形知kPB=0−(−1)2−(−1)=13，kPC=2−(−1)0−(−1)=3，即13≤y+1x+1≤3，∴13≤x+1y+1≤3，14≤1x+1y+1+1≤34，故选C.
2.如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】，因为三点共线，所以，因此，选B.
3.如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x、y∈R)，则x+y的取值范围是（ ）
A．1,4+23 B．4−23,4+23 C．1,2+3 D．2−3,2+3
【答案】B
【解析】
连接AM并延长分别交圆M于Q、T，连接DE，DE与AM交于R，显然AR=12AD+12AE，此时x+y=1，分别过Q、T作DE的平行线，由于AD=AE=1,∠BAC=1200 ，则AM=2,DM=3，则AQ=2−3，AR=12 ，
AQ=2−312=(4−23)AR=(2−3)AD+(2−3)AE ，此时x+y=4−23 ，同理可得：AT=(2+3)AD+(2+3)AE，x+y=4+23，选B.
【题型十】 向量技巧3：奔驰定理与面积
【典例分析】
设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.
【详解】
不妨设，如图所示，
根据题意则，即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.故选：D
【提分秘籍】
基本规律
为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
【变式演练】
1.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据面积比得出，的关系，根据，从而可以，表示出，利用共线原理列方程，解出即可得到答案
【详解】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，如图所示与的面积之比为
根据三角形相似可知，则
即由平行四边形法则得
根据待定系数法有，则故选
2.为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．
解：由，
如图设，即是的重心
同理可得，
所以．故选：．
3.已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，
因为三点共线，所以即，
所以，则，故且，
又，故，所以，
所以，所以，故选C.
【题型十一】 解析几何中的向量
【典例分析】
已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C设，则，由题意有，所以
所以，当时，有最大值，当时，有最小值，故选C.
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A. B. C. D.
【答案】D由题意可得，设＜＞＝θ，θ∈[0，π]
则∵
两边同时平方可得，即
∴csθ=−∵∴且＞0∴
设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d，则，即
2.如图所示，已知椭圆：的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到，使得，，是椭圆上一点，延长到，若，则（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【答案】A根据椭圆的定义和比例，有.
3.已知点为坐标原点，点在双曲线上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为 。
【答案】.设点，则，直线为；由题意得，解得点；从而，，所以.
故答案为：.
【题型十二】 向量四心
【典例分析】
已知O，N，P在所在平面内，且，，则点O，N，P依次是的 （ ）
A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 内心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
【答案】C由题：即O点到各顶点的距离相等，为外心.
，由向量加法得：N为中线的交点，为重心.
，得：同理可得：P点为垂心.
【提分秘籍】
基本规律
在中：
1.重心：
2.外心：
3.内心：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)
4.垂心：
【变式演练】
1.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C在三角形中，，
是圆心，，因为，所以，同理可得，故选D．
2.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：由已知得，∴
== 0，
∴AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B.
3.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：设BC的中点为D，则，则由已知得，
∴== 0，∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C .
【题型十三】 综合应用
【典例分析】
已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．[−2,12]B．[−2,0]C．[−4,12]D．[−4,0]
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设出坐标，求出AC,BD，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围.
【详解】解：如图建立平面直角坐标系.
设D(csθ,sinθ),−π≤θ≤π，∠CAB=α,AC=(a,b),−π2