2023高考一轮重点难点题型考点突破--13 三角函数与解三角形大题归类

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【题型一】 图像与性质1:给图求解析式和值域（最值）
【典例分析】
1．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求；
(2)将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.


【提分秘籍】
基本规律
1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。
2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系
【变式演练】
1.已知函数的部分图象如图.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.

2.已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式及对称中心坐标：
(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，求的值域．

3.已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，然后将所得函数图象向右平移个单位，最后再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域.

【题型二】 图像与性质2:二倍角降幂公式恒等变形
【典例分析】
已知函数的最小正周期是π.
(1)求ω值；
(2)求f（x）的对称中心和单调递增区间；
(3)将f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范围.

【提分秘籍】
基本规律
1.对于文科学生而言，所谓“见平方就降幂”。要注意最终目标是角度一致
2.二倍角、降幂目的都是“化一”，最终是辅助角
【变式演练】
1.已知函数，在中，角、、所对的边分别为、、，
(1)求函数的最大值，并求出此时的值；
(2)若，且，求的值．

2.已知，其中0＜＜4，且函数的图象关于直线x＝对称．
(1)求的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝2，c＝，求△ABC面积的最大值．

【题型三】 图像与性质3:恒等变形（“打散”-重组-辅助角）
【典例分析】
已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状．

【提分秘籍】
基本规律
1.“打散”：角度不一致，可以拆开
2. “重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”
【变式演练】
1.已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．(1)求的值；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．
条件①：的最小正周期为；
条件②：的最大值与最小值之和为0；
条件③：．

2.已知函数
(1)求函数的最小正周期，及对称轴方程.
(2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.

3.已知，设函数．
(1)若f(x)是偶函数，求的取值集合；
(2)若方程有实数解，求的取值范围．

【题型四】 图像与性质4:零点求参
【典例分析】
已知.(1)求函数的对称中心和单调增区间；
(2)将函数的图象上的各点___________得到函数的图像，当时，方程有解，求实数a的取值范围.
在以下①､②中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果①､②都做，则按①给分.
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位.

【提分秘籍】
基本规律
1.可以直接求解：五点画图法思维
2,可以换元求解
【变式演练】
1.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.

2.已知函数，其中常数．
(1)若，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数的图象，求；
(2)若在，上单调递增，求的取值范围；
(3)对（1）中的，区间，，且满足：在，上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的，中，求的最小值．

3.已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个不同的根，求m的取值范围．

【题型五】 解三角形基础：正弦定理、角与对边
【典例分析】
已知中，角所对的边分别为．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的值．

【提分秘籍】
基本规律
一般大题规律：第一问正余弦定理求出角度，第二问借助角所对应边长。多用余弦定理。此类题，特别是文科若考察解三角形，应用较多。
【变式演练】
1.在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值

2.的内角A，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．

3.的内角的对边分别为，已知.
(1)求角C；
(2)若，求的面积.

【题型六】 解三角形基础2：余弦定理变形
【典例分析】
在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且.
（1）求角；
（2）若，求.

【提分秘籍】
基本规律
1.若式子含有的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和2次齐次式，可构造余弦定理
【变式演练】
1.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.
（1）求的面积；
（2）若，求的最大值.

2.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若同时满足以下四个条件中的三个：①，②，③，④.
（1）条件①②能否同时满足，请说明理由；
（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的面积.

3.已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若角的平分线与交于点，且，求的值.

【题型七】 解三角形1：面积最值
【典例分析】
如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足.
(1)求证：；
(2)若，，求△的面积的最小值.

【提分秘籍】
基本规律
面积最值，一般符合“齐次对称结构”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
【变式演练】
1.三个内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求C；
(2)求的面积S的取值范围．

2.在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若，求三角形面积的最大值.

3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinπ2−C=csinB.
(1)求角C；
(2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值.

【题型八】 解三角形2：周长最值
【典例分析】
在①是和的等差中项；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件 （填写所选条件的序号）．
(1)求角；
(2)若，求锐角的周长的取值范围．

【提分秘籍】
基本规律
“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大
【变式演练】
1.在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围。

2.在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积，求周长的最小值.

3.在①acsA=b+ccsB+csC，②向量m=(a+c,b)与n=(c−a,b−c)，且m⊥n， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，内角所对的边分别为，已知______.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为18abc，求周长的取值范围.

【题型九】 解三角形3：边长最值
【典例分析】
在①bcsπ2−C=3ccsB；②2S△ABC=3BA⋅BC；③tanA+tanC+3=3tanAtanC，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且c=4，求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【提分秘籍】
基本规律
用正线定理，要注意角度的范围。
【变式演练】
1.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acsC−bcsC=ccsB.
(1)求角C；
(2)若a+b=2，求c的取值范围.

2.在中，角，，所对应的边分别为，，，a−b=bcsC.
(1)求证：sinC=tanB；
(2)若，为锐角，求的取值范围.

3.设函数f(x)=cs2x+2π3+2cs2x .
(1)求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
(2)已知中，角的对边分别为，若f(A)=32， b+c=2，求的最小值.

【题型十】 解三角形4：不对称型最值
【典例分析】
在中，分别是角所对的边，满足．
(1)求角B大小；
(2)求的取值范围．

【提分秘籍】
基本规律
“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点
【变式演练】
1.在①，②3a=3ccsB+bsinC，③cs2A−cs2C=sin2B−sinAsinB，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c=3，____________，求a+2b的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2.在①cs2A−3sinAsinC=cs2B+sin2C，②2bcs(A+π3)=c， ③(a−b−c)(a+b−c)+(2+3)ac=0，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B
(2)若b=2，求3c+2a的取值范围.

3.中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.

【题型十一】 解三角形5：中线
【典例分析】
在中，，且边上的中线长为，
(1)求角的大小；
(2)求的面积.

【提分秘籍】
基本规律
1.可以利用向量法
2.中线可延长，补成对称图形
3.中线可借助补角。
【变式演练】
1.在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)判断△ABC的形状；
(2)在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.

2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.

3.在中，角所对的边分别为，且满足csC=ab−c2b
（1）求角;
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为172，求的面积

【题型十二】 解三角形6：角平分线
【典例分析】
在中，已知D是BC上的点，AD平分，且.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.

【提分秘籍】
基本规律
角平分线，多借助面积和
【变式演练】
1.已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

2.已知的内角A，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）csC+ccsA=0.
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.

【题型十三】 三角形存在个数
【典例分析】
设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=6,b2−bc+c2=36．
(1)求；
(2)从以下三个条件：①b=8；②sinB=33；③边上的高BH=112中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．

【变式演练】
1.在中，.
(1)求；
(2)若，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值.
条件①：
条件②：
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，记的面积为S.
(1)求a；
(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的的个数，并说明理由.
条件：①，②，③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3.记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2t−1，b=4t，c=4t+1t>1．
(1)当t=3时．求；
(2)是否存在正整数，使得角C为钝角？如果存在，求出的值，并求此时的面积；如果不存在．说明理由．

【题型十四】 四边形转化为解三角形
【典例分析】
如图，在四边形中，.
(1)求证：；
(2)若，求的长.

【提分秘籍】
基本规律
四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件
【变式演练】
1.如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
(1)求的正弦值；
(2)求AB的长及的面积．

2.如图，在中，对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若为外接圆劣弧上一点，且，求四边形的面积.

3.如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，．
(1)求的值；
(2)求的周长．

【题型十五】 解三角形：四边形求最值
【典例分析】
如图，在凸四边形中，为定点，,为动点，满足．
（1）写出与的关系式；
（2）设和的面积分别为和，求的最大值．

【变式演练】
1.在平面四边形中，，，，
（1）求的长；
（2）求的最大值．

2.在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，， 求的取值范围.


3.如图，在四边形中，CD=33，BC=7，cs∠CBD=−714.
（1）求；
（2）若∠A=π3，求△ABD周长的最大值.

【题型十六】 三角形中证明题
【典例分析】
在平面四边形中，已知AD//BC，∠CBD=∠BDC=α，∠ACD=β.
（1）若α=30∘，β=75∘，3AC+2CD=5，求的长；
（2）若α+β>90∘，求证：AB
【变式演练】
1.在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，
（1）若，求角B的最大值；
（2）若a+c=mbm>1，
（i）证明：tanA2tanC2=m−1m+1；
（可能运用的公式有sinα+sinβ=2sinα+β2csα−β2）
（ii）是否存在函数φm，使得对于一切满足条件的m，代数式csA+csC+φmφmcsAcsC恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φm，并证明之；若不存在，请给出一个理由.

2.在中，A为定角且，求证：．

3.在中，为上一点，，，是线段的延长线上一点．
（1）证明：∠MEG=∠HEG；
（2）若HG=3，EH=2，求EG．

【题型十七】 解三角形综合
【典例分析】
D为边上一点，满足，，记，．
(1)当时，且，求CD的值；
(2)若，求面积的最大值．

【变式演练】
1.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，点D为边BC上一点，.
(1)求的大小；
(2)若，，求|AB|.

2.如图，在中，，，D，E分别在边BC，AC上，，且．
(1)求；
(2)求的面积．

3.如图，在ΔABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=1，为ΔABC内一点，∠BPC=90°.
（1）若PC=32，求PA；
（2）若∠APB=120°，求ΔABP的面积.

【题型十八】 建模应用
【典例分析】
北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若，求花卉种植区域总面积（电动步道的面积忽略不计）.

【变式演练】
1.某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，AO、OB为直线岸线，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3.
(1)求岸线上点与点之间的直线距离；
(2)如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益.记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）

2.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝，.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.
（1）当θ＝时，求∠OPQ的大小；
（2）当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．

3.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线，所成角为，现欲在海岸线，上分别取点，修建海堤，以便围成三角形陆地，已知海堤长为6千米.
（1）如何选择，的位置，使得的面积最大；
（2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤的另一侧选取点，修建海堤，围成四边形陆地.当海堤与的长度之和为10千米时，求四边形面积的最大值.

模拟题
1.函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)先将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的单调递增区间．


2.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标：
(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.


3.函数，．
(1)把的解析式改写为(，)的形式；
(2)求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值；
(3)把图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有个零点，求的最小值．


4.已知函数的最小正周期是π.
(1)求f（x）的对称中心和单调递增区间；
(2)将f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范围.


5.从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①；②；③且为锐角.在中，内角，，的对边分别为，，，面积为，若， ______，.
(1)求角；
(2)求的周长.
注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.

6.在中，角、、所对的边分别为、、，向量m=a+b,sinA−sinC，向量n=c,sinA−sinB，且m∥n．
(1)求角的大小；
(2)若b=2，求面积的最大值．


7.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs2A−3sinA+2=0.
(1)求A；
(2)若b+c=63，求外接圆面积的最小值.


8.在①a(sinA−sinC)=(b−c)(sinB+sinC)，②2bcs(C−π3)=a+c， ③向量m=(1+csB,3sinC)与n=(−c,b)，且m⊥n，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，分别是内角所对的边，且___________.
(1)求角的大小;
(2)若是钝角三角形，且，求的取值范围.


9.在①3ac=2+csAsinC，②sin2B+sin2C−sin2A=−233sinAsinBsinC， ③c(acsB+12b)=a2−b2，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________.
(1)求角A的大小;
(2)若3(b+c)=2a，求a2bc+b2ac+c2ab的值.


10.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求证：B为钝角；
(2)若△ABC同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③；④．请证明使得△ABC存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b的值．


11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，∠B＝45°．
(1)求边BC的长以及三角形ABC的面积；
(2)在边BC上取一点D，使得，求tan∠DAC的值．


12.如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，．
(1)求的值；(2)求AD的长度．


13.在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足.
(1)判断的形状；
(2)若边上的中线长为2，求周长的最大值.


14.如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的最小面积分别设为，，则和哪一个更小？