2023高考一轮重点难点题型考点突破-- 05 复合二次型和镶嵌函数零点

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目录
【题型一】 一元二次复合型基础型：可因式分解
【典例分析】
已知函数fx=xlnx，若关于x的方程fx2+afx+a-1=0有且仅有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )
A．-2e,1-eB．1-e,0C．-∞,1-eD．1-e,2e
【答案】C
【分析】首先利用导函数求f(x)的单调性，根据其单调性作出f(x)的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.
【详解】因为fx=xlnx，所以f'x=lnx-1lnx2，当x∈0,1∪1,e，f'x0，
所以f(x)在1,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，
当x=2时，f(x)取得极小值f2=2-2ln2，且f1=1，当x→+∞时，f(x)→+∞；
当0≤x01-m+n0,则可行域如图所示,设z=2m+3n,即n=-23m+13z,
平移直线n=-23m+13z,与点B相交时截距最小,与点A相交时截距最大,因为点B1,0,点A3,2,所以2m+3n∈2,12；
③t1=1,t2∈0,1,则g0>0g1=0001-t-30，解得-12π-1>0，
所以f'(x)=2x+sinx+xcsx=x(1+csx)+x+sinx＞0，
即函数f(x)=x2+xsinx在x∈[0,+∞)单调递增，x∈(-∞,0]单调递减，
f(0)=0，g(x)=lnx+x+1xex,x>0g'(x)=(1x+1)xex-(lnx+x+1)(x+1)ex(xex)2=(x+1)ex(-lnx-x)(xex)2，x>0
考虑h(x)=-lnx-x在x∈(0,+∞)单调递减，h(1e)=1-1e,h(1)=-1
所以必存在x0使得h(x0)=0，x0=-lnx0,ex0=1x0，则h(x)=-lnx-x，x∈(0,x0),h(x)=-lnx-x>0，
x∈(x0,+∞)，h(x)=-lnx-x0，f(t)=m,两根t1,t2，设t1=-t2
g(x)=t1,g(x)=-t1一共有四个根，当t1>1,g(x)=t1，无解，
当t1=1,g(x)=1，g(x)=-1，一共四个不同实根，此时m=f(1)=1+sin1，
00时，f(x)=ex-12为增函数，所以当x≤0时，t=f(x)为减函数，
所以tmin=f(0)=e0-12=12，即t≥12，当x>0时，g(x)=x-1lnx，
则g'(x)=lnx+1xx-1=lnx-1x+1，令g'(x)=0，解得x=1，
所以当x∈(0,1)时，g'(x)