冀教版九年级上册27.3 反比例函数的应用教案设计

27.3反比例函数的应用

教学目标

【知识与能力】

1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系,并求出反比例函数的解析式.

2.能灵活运用反比例函数的图像和性质解决相关的实际问题.

3.能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数知识以及物理等跨学科知识解决相关的实际问题.

【过程与方法】

1.经历“问题情境——建立反比例函数模型——运用反比例函数解决实际问题”的过程,体会数学的价值,增强学好数学的信心.

2.经历利用反比例函数解决实际问题的过程,学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到的问题,体验数学建模的思想.

3.体会数学与实际生活紧密联系,经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会数学中转化和数形结合的思想,增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

【情感态度价值观】

1.通过将反比例函数的有关知识灵活用于实际,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣,并获得成功感.

2.通过小组合作交流学习,共同探究反比例函数在实际中的应用,提高合作意识,培养创新精神.

教学重难点

【教学重点】

从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的图像和性质解决生活实际问题和跨学科问题.

【教学难点】  

根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

【课件展示】

1.我们学习了反比例函数的定义、图像和性质,完成下列填空:

(1)反比例函数的定义是　. 

(2)反比例函数的图像是　　　　　　　　,当k>0时,　　　　　　　　;当k<0时,　　　　　　　　. 

(3)待定系数法求反比例函数表达式的步骤:　　　　　　　　;　; 

　　　　　　　　;　　　　　　　　. 

2.前面学习了一次函数的应用,类比前面的学习过程,我们将继续探究什么?基本方法有哪些?

3.在实际问题中建立函数模型,求解函数表达式的关键是什么?

【师生活动】　学生独立回答,教师关注学生对本节课的学习对象及基本方法是否了解.

导入二:

【课件展示】

你吃过拉面吗?知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗?

(1)体积为20cm3的面团做成拉面,面条的长度y与面条的粗细(横截面积S)有怎样的函数关系?

(2)某家面馆的师傅手艺精湛,她拉的面条粗1mm2,如果面团的体积为10cm3,那么面条总长是多少?

【师生活动】　学生独立完成后,小组交流答案,学生展示结果,教师及时提醒学生注意单位换算,并对结果进行点评.

导入三:

【课件展示】　在一段长为45km的高速公路上,规定汽车行驶的速度最低为60km/h,最高为110km/h.

1.在这段高速公路上,设汽车行驶的速度为v(km/h),时间为t(h),写出v与t之间的函数关系式.

2.某司机开车用了25min匀速通过了这段高速公路,请你判断这辆汽车是否超速,并说明理由.

3.某天,由于天气原因,汽车通过这段高速公路时,要求行驶速度不得超过75km/h.此时,汽车通过该路段最少要用多长时间?

[设计意图]　通过复习反比例函数的概念、图像和性质及实际问题中找等量关系列函数表达式,为本节课的学习做铺垫,由学生熟悉的行程问题导入新课,让学生体会数学与实际问题之间的关系,很自然地构建出新知识,激发学生的兴趣和求知欲望.

二、新知构建：

　　[过渡语]　在我们熟悉的现实生活中,存在着许多反比例关系,如何解决这些问题,就是我们这节课一起探究的内容.

一起探究　反比例函数在实际问题中的应用

导入三中有怎样的反比例关系?让我们一起探讨吧!

思路一

教师提出下列问题,学生思考回答,逐步解决.

(1)在上述问题中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是自变量和因变量?

(2)在行程问题中,路程、速度和时间三者之间的等量关系是什么?

(3)自变量和因变量的乘积是不是常数?两者之间是不是存在着反比例函数关系?

(4)你能否写出v与t之间的函数关系式?

(5)你能根据实际问题求出自变量的取值范围吗?

(6)已知自变量t的值,怎样求因变量v的值?

(7)已知因变量v的值,如何求自变量t的值?

(8)在该反比例函数关系中,已知自变量的取值范围,怎样求因变量的取值范围?

【师生活动】　先让学生认真审题,独立思考,再通过设置的小问题,教师引导学生逐步思考,最后建立函数模型解决问题,学生完成解题过程,教师展示课件,纠正学生解题过程中的错误.

【课件展示】

解:(1)v=.

(2)当t=时,v=108,∵v<110,∴没有超速.

(3)当v=75时,75=,解得t=0.6,

∵45>0,∴v随着t的增大而减小,

∴当t≥0.6时,v≤75,

∴通过该路段最少要用36min.

【思考】

解决问题3时,可以用不等式解决吗?

思路二

【师生活动】　学生认真审题,独立思考,类比前边学过的一次函数解决实际问题的方法,完成该题的解答,然后小组合作交流,讨论疑惑及解题思路和方法,教师巡视中解决学生的质疑,并帮助有困难的学生,最后小组代表板书解题方法.

【课件展示】

解:(1)v=.

(2)当t=时,v=108,∵v<110,∴没有超速.

(3)当v=75时,75=,解得t=0.6,

∵45>0,∴v随着t的增大而减小,

∴当t≥0.6时,v≤75,

∴通过该路段最少要用36min.

追问:

(1)速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像有什么特点?

(图像只有在第一象限的一支)

(2)在实际问题中求函数解析式的关键是什么?

(找等量关系)

(3)已知自变量求函数值、已知函数值求自变量的基本思想是什么?

(代入函数解析式,用方程思想求解)

[设计意图]　通过教师引导,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的关系.解决实际问题首先建立函数模型,从两个变量的相依关系和变化规律,借助函数的图像,利用函数意义或性质解决问题,体会数学建模思想和数形结合思想的应用,培养学生的应用意识.

例题讲解

【课件展示】

　(教材138页例)气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的质量(kg).现有某种气体7kg.

(1)某储气罐的容积为V(m3),将这7kg的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ(kg/m3),写出用V表示ρ的函数表达式.

(2)当把这些气体装入容积为4m3的储气罐中时,它的密度为多大?

(3)要使气体的密度ρ=2kg/m3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中?

(4)在下图所示的直角坐标系中,画出这个函数的图像,并根据图像回答:

①当这些气体的体积增大时,它的密度将怎样变化?

②把这些气体装入容积不超过2m3的容器中,气体的密度ρ在什么范围内?

思路一

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流解题思路,再独立完成解答过程,小组代表板书,教师给学生充足的时间合作交流,巡视中帮助有困难的学生,对学生的解答进行点评,规范书写过程,师生通过回忆解题思路,共同归纳建立反比例函数模型解决跨学科问题的一般思路.

归纳:根据物理学知识公式找到实际问题中的等量关系,建立反比例函数模型,列出函数表达式,已知自变量的值(函数值)代入函数表达式,解方程可得对应的函数值(自变量的值),根据函数表达式描点法画函数图像,利用数形结合思想可解关于函数值的不等式.

解:(1)用V表示ρ的函数表达式为:ρ=.

(2)当V=4m3时,ρ==1.75(kg/m3).

(3)当ρ=2kg/m3时,2=,解得V=3.5(m3).

(4)函数ρ=的图像如图所示.

①由反比例函数的图像可以看出,当这些气体体积增大时,它的密度减小.

②把这些气体装入容积不超过2m3的容器中,气体的密度ρ≥3.5kg/m3.

思路二

教师引导思考:

(1)在物理学中,物体的密度ρ(kg/m3)、体积V(m3)、质量m(kg)之间的等量关系是什么?

(2)你能根据上边的等量关系写出物体的密度ρ(kg/m3)与体积V(m3)之间的函数表达式吗?

(3)在函数表达式中已知自变量如何求对应的函数值?已知函数值如何求对应的自变量?

(4)根据反比例函数图像,密度ρ(kg/m3)随着体积V(m3)的增大怎样变化?

(5)当体积V(m3)取最大值时,对应的函数值ρ(kg/m3)是最小值还是最大值?

(6)根据已知,自变量V的取值范围是什么?对应的函数值ρ的取值范围是什么?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同探究解题过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.

课件展示解题过程.(同思路一)

追问:

你能归纳建立反比例函数模型解决跨学科实际问题的一般思路吗?

【师生活动】　学生独立思考后小组交流,教师对学生的回答点评,师生共同归纳.

归纳:根据物理学知识公式找到实际问题中的等量关系,建立反比例函数模型,列出函数表达式,已知自变量的值(函数值)代入函数表达式,解方程可得对应的函数值(自变量的值),根据函数表达式描点法画函数图像,利用数形结合思想可解关于函数值的不等式.

[设计意图]　通过物理学科中已学过的密度公式,建立公式与反比例函数之间的联系,用反比例函数知识解决跨学科问题,感受数学在现实生活中的应用,激发学生学习数学的兴趣,提高学生应用数学解决问题的能力.

　　[过渡语]　我们共同探究了运用反比例函数解决简单实际问题的一般方法,让我们检查一下学习的效果吧.

做一做:

【课件展示】　厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时,面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数,其图像经过A(4,32),B(m,80)两点(如图所示).

(1)写出y与S的函数关系式.

(2)求出m的值,并解释m的实际意义.

(3)如果厨师做出的面条最细时的横截面面积能达到3.2mm2,那么面条总长度不超过多少米?

【师生活动】　学生独立完成,小组代表板书解答过程,小组内交流答案,教师对学生的展示点评并规范解题过程.

解:(1)y=,S>0.

(2)m=1.6,当面条的总长度是80m时,面条的横截面面积是1.6mm2.

(3)当S=3.2时,y=40.

∵k=128>0,∴y随S的增大而减小,

∴当S最小为3.2mm2时,面条的长度不超过40m.

[设计意图]　通过学生运用反比例函数独立完成生活实际问题,既与导入二做到首尾呼应,又进一步训练学生建立反比例函数模型的能力,鼓励学生从函数图像、不等式、方程等多角度思考问题,进而把函数、方程、不等式联系起来,培养学生不同角度看问题,体会数学知识之间的联系,提高用不同方法解决问题的能力.

[知识拓展]　

1.在利用反比例函数解决实际问题时,要根据题目的实际意义或物理、化学等学科中的公式建立函数关系式,再根据需要进行变形或计算.

2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.

三、课堂小结：

1.建立反比例函数模型,解决跨学科问题的一般步骤:

(1)审题:弄清题意,分析问题中的等量关系;

(2)建模:根据等量关系,将实际问题转化为数学问题,利用反比例函数知识建立数学模型;

(3)解模:根据反比例函数的图像和性质解决问题.

2.在解决实际问题中,根据题意写出函数表达式是解决的关键.

3.综合运用函数、方程、不等式及数形结合思想解复杂的实际问题.