2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷（word、含解析）

2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 化简，下列结果中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，正方体展开图错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

6. 下列命题中是假命题的是(    )

A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

7. 如图，线段在平面直角坐标系内，点坐标为，线段绕原点逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 学校组织学生进行知识竞赛，名参赛选手的得分分别为：，，，，下列说法中正确的是(    )

A. 该组数据的中位数为 B. 该组数据的方差为
C. 该组数据的平均数为 D. 该组数据的众数为和

9. 有一个容积为的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用分钟．设细油管的注油速度为每分钟，由题意列方程，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 小王同学从家出发，步行到离家米的公园晨练，分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离单位：米与出发时间单位：分钟的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

12. 如图，在矩形中，是边上的一个动点，连接，，过点作射线，交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，，其中则下列结论中，正确的个数为(    )
    与的关系式为；
    当时，∽；
    当时，．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

13. 一个不透明的箱子中有个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为______个．
14. 因式分解：______．
15. 不等式组的解集为，则的取值范围为______．
16. 已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为______．
17. 设与为一元二次方程的两根，则的值为______．
18. 定义一种运算：
    ，
    ．
    例如：当，时，，则的值为______．
19. 如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点，则的度数为______度．

20. 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买件，其中甲种奖品每件元，乙种奖品每件元．则有______种购买方案．
21. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使按照此规律，线段的长为______．

22. 在长为，宽为的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形第一次操作；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形第二次操作；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共54分）

23. 已知：．
    尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心只保留作图痕迹，不写作法和证明
    如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积．

24. 如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼的处用仪器测得；向百货大楼的方向走，到达处时，测得，仪器高度忽略不计，求广告牌的高度．结果保留小数点后一位
    参考数据：，，，

25. 在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
    求一次函数与反比例函数的解析式．
    当时，求的取值范围．
    若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．

26. 我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
    如图一，在等腰中，，边上有一点，过点作于，于，过点作于利用面积证明：．
    如图二，将矩形沿着折叠，使点与点重合，点落在处，点为折痕上一点，过点作于，于若，，求的长．
    如图三，在四边形中，为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．
     

27. 如图所示，在的内接中，，，作于点，交于另一点，是上的一个动点不与，重合，射线交线段的延长线于点，分别连接和，交于点．
    求证：∽．
    若，，求的长．
    在点运动过程中，当时，求的值．

28. 如图，抛物线交轴于点，并经过点，过点作轴交抛物线于点，抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点的运动时间为秒，过点作于，以为对角线作正方形．
    求抛物线的解析式；
    当点随着点运动到达上时，求此时的值和点的坐标；
    在运动的过程中，是否存在以，，和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意，
，
选项B不符合题意，
，
选项C符合题意，
，
选项D不符合题意，
故选：．
利用合并同类项法则，幂的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，立方根，算术平方根，掌握合并同类项法则，幂的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项都不符合题意．
故选：．
根据正方形的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命题，不符合题意；
如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故C是真命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；
故选：．
由三角形中位线定理，邻补角定义，切线长定理，直角三角形性质逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，

点坐标为，
，．
由题意：，．
．
，
．
在和中，
，
≌．
，，
．
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了图形的旋转与坐标的变化，点的坐标的特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、将这组数据从小到大排列为：，，，，，中位数为，故A选项不符合题意；
C、平均数，故C选项不符合题意；
B、方差，故B选项不符合题意；
D、该组数据的众数为和，故D选项符合题意；
故选：．
根据中位数的定义判断选项；根据算术平均数的计算方法判断选项；根据方差的计算方法判断选项；根据众数的定义判断选项．
本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
设细油管的注油速度为每分钟，则粗油管的注油速度为每分钟，
依题意得：．
故选：．
设细油管的注油速度为每分钟，则粗油管的注油速度为每分钟，利用注油所需时间注油总量注油速度，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的部分函数图象开口向上，
，
二次函数的部分函数图象顶点在轴下方，开口向上，
二次函数的图象与轴有两个交点，，
一次函数的图象经过第一，二，三象限，
由二次函数的部分函数图象可知，点在轴上方，
，
的图象经过第一，三象限，
据此可知，符合题意的是，
故选：．
由二次函数的部分函数图象判断，及的符号，即可得到答案．
本题考查一次函数，二次函数，反比例函数的图象，解题的关键是掌握三种图象的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
小明的速度为米分钟，
爸爸的速度为：米分钟，
设小明出发分钟两人第一次相遇，出发分钟两人第二次相遇，
，，
解得，，
，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，

四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，，
．
，，
∽，
，
．
．
．
的结论正确；
当时，，
，，
．
，
．
的结论正确；
由知：当时，∽，
．
，
．
．
．
．
由知：，
，．
，
．
，
解得：，
，
的结论错误，
综上，正确的结论为：，
故选：．
利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理对每个选项的结论进行判断即可：过点作于点，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；利用相似三角形的判定定理解答即可；利用，的结论利用勾股定理和平行线分线段成比例定理求得，，再利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，灵活应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设箱子中黄球的个数为个，根据题意可得：
，
解得：，
故答案为：．
直接利用概率公式得出，进而得出答案．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
将看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
本题考查了因式分解运用公式法，考查整体思想，掌握是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：圆锥的高为，母线长为，
由勾股定理得，底面半径，
侧面展开图的面积．
故答案为：．
利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了勾股定理和圆锥的计算，圆锥的侧面积就是展开后扇形的面积，即．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，



，
故答案为：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
把看成是与的差，再代入公式计算得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

正六边形的中心角为，
正五边形的中心角为，
．
故答案为：．
求出正六边形的中心角和正五边形的中心角，即可得出的度数．
本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故答案为：．
设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
当时，，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到的式子，从而可以写出线段的长．
本题考查图象的变化类，解答本题的关键是发现的变化特点．
 

22.【答案】或者 

【解析】解：第一次操作后的两边长分别是和，第二次操作后的两边长分别是和．
当时，有，解得，
当时，有，解得．
故答案为：或者．
本题中的与不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．
主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．
 

23.【答案】解：如图，点即为所求；

由题意，的面积 

【解析】作，的角平分线交于点，点即为所求；
的面积计算即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键掌握三角形的内心是角平分线的交点，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：在中，，米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
广告牌的高度约为米． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用已知求出的长，然后在在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

25.【答案】解：一次函数与坐标轴分别交于，两点，
，解得．
一次函数的解析式为：．
的面积为，
，
，
点在一次函数图象上，
令解得，

点在反比例函数的图象上，
．
一次函数的解析式为：反比例函数的解析式为：．
令，解得或，
，
由图象可知，当时，的取值范围为：或．
如图，作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，



，
直线的解析式为：．
令，解得．
．


．
当最小时，的面积为． 

【解析】根据待定系数法可求出直线的解析式，根据的面积可得出点的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点的坐标，结合图象可直接得出的取值范围；
作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
 

26.【答案】证明：连接，

，
，
，
；
解：将矩形沿着折叠，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
等腰中，边上的高为，
由知，；
解：延长、交于，作于，

，，
∽，
，
，
，
设，
由勾股定理得，，
解得，
，
，
． 

【解析】连接，根据，可得结论；
利用翻折的性质得，，由勾股定理得，，则等腰中，边上的高为，由知，；
延长、交于，作于，利用∽，得，则，设，利用勾股定理列方程可得的长，从而得出，利用中结论可得答案．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明等腰三角形，利用中结论是解决问题、的关键．
 

27.【答案】证明：连接，如图：

四边形是的内接四边形，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：连接，如图：

由，设，则，
为直径，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
由知∽，
，即，
；
解：连接交于，连接，如图：

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
而，
，
设，则，
，
，
． 

【解析】连接，由四边形是的内接四边形，得，由，，可得，即可得，从而，可证∽；
连接，由，可得，，由面积法得，即得，根据，可得是等腰直角三角形，，即得，，又∽，可得；
连接交于，连接，由，可得，根据，得，有，即知、、、四点共圆，可得，从而，设，则，而，得，故．
本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 

28.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线的解析式为：，
将点解析式可得，，
．
抛物线的解析式为：．
轴，，
点的坐标为．
，
，且，
是等腰直角三角形，．
，
，
是等腰直角三角形．
，
，
，．
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
是的角平分线，点是的中点．
，．
，，
直线的解析式为：．
当点随着点运动到达上时，有
解得．

存在，理由如下：
，，．
，
，
．
若以，，和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则是直角三角形，
分以下三种情况：
当点为直角顶点时，，
，
解得，
；
当点为直角顶点时，，
，
解得，
；
当点为直角顶点时，，
，
解得或，
或；
综上，存在以，，和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或或或 

【解析】根据抛物线的对称轴为直线，可得出抛物线与轴的另一个交点的坐标为，列出交点式，再将点可得出抛物线的解析式；
根据可得出是等腰直角三角形，再根据点的运动和正方形的性质可得出点，，的坐标，根据点，的坐标可得出直线的解析式，将点代入直线的解析式即可；
若存在，则是直角三角形，则需要分类讨论，当点为直角顶点，当点为直角顶点，当点为直角顶点，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论等知识，解题关键是由点的坐标得出点，，的坐标．本题第问当点和点为直角顶点时，也可通过一次函数和几何结合求解．