数学必修 第一册5.5 三角恒等变换习题ppt课件

培优课　三角恒等变换及其应用

类型一　灵活变角

1.用已知的角来表示未知的角，再利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式展开，进而解决此类问题.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.

2.与半角或倍角有关的三角函数，要注意倍角公式的活用.

例1 已知sin＝，求cos的值.

解　由于sin＝，

所以cos 2＝1－2sin2＝.

又－2α＋2＝π，

∴cos＝－cos 2＝－.

例2 已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为________.

答案　－

解析　因为0<β<<α<π，

所以－<－β<，<α－<π，

所以cos＝＝，

sin＝＝，

所以cos ＝cos

＝coscos＋sin·sin

＝×＋×＝，

所以cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.

类型二　常数“1”的活用

1.在三角函数的化简求值中也常用三角函数代换某些常数，使代换后能运用相关的公式，把这种代换称为常数代换.

2.“1”的代换最为常见，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°，1＝cos 0°等.再如，，，，等常数均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数代换为三角函数值.

例3 (1)＝________.

答案　

解析　＝

＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.

(2)已知3sin α＝－cos α，求1＋sin αcos α的值.

解　由3sin α＝－cos α可得，

tan α＝＝－，

∴1＋sin αcos α＝

＝

＝＝＝.

类型三　公式的逆用与变形运用

例4 (1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值为(　　)

A.   B.－

C.   D.－

答案　A

解析　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°

＝cos 20°cos 40°cos 80°

＝

＝

＝＝＝.

(2)化简：＝________.

答案　tan θ

解析　原式＝

＝

＝＝＝tan θ.

类型四　方程(组)思想的应用

例5 已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.

(1)求；

(2)设AB＝3，求AB边上的高.

解　(1)因为sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，

所以sin Acos B＋cos Asin B＝，①

sin Acos B－cos Asin B＝，②

联立①②，得sin Acos B＝，

且cos Asin B＝，

因此＝＝2.

(2)因为<A＋B<π，sin(A＋B)＝，

所以tan(A＋B)＝－，

即＝－，

将tan A＝2tan B代入上式并整理得，

2tan2B－4tan B－1＝0，

解得tan B＝(负值舍去)，

所以tan A＝2tan B＝2＋.

设AB边上的高为CD，

则AB＝AD＋DB＝＋＝，

由AB＝3，得CD＝2＋，

所以AB边上的高等于2＋.

类型五　三角恒等变换的实际应用

例6 如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.

(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；

(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)

解　(1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD.

设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ.

所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)

＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)

＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)

＝R2sin －R2，θ∈.

(2)因为θ∈，所以2θ＋∈，

所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值.

Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).

故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.