高中数学第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用习题ppt课件

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例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
法二　如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得
证明两直线平行的方法(1)平行直线的传递性.(2)基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.(3)坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
训练1 长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
证明　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：
则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0).假设在棱PD上存在符合题意的点E，
解　分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0.
∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示；(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证；(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
训练2 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
证明　如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系.
设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，
例3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB.
证明　如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).
∴y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，则x1＝2，y1＝－2.∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1).同理可得平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1).∵m＝n，∴m∥n，又平面AMN与平面EFDB无公共点，∴平面AMN∥平面EFDB.
证明面面平行问题可由以下方法：(1)转化为相应的线线平行或线面平行；(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.本题采用的是第二种方法，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法.
训练3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.
证明　如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1).
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量，
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1).
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1).于是有m＝n，所以m∥n，又平面EFG与平面HMN无公共点，故平面EFG∥平面HMN.