人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀复习练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀复习练习题，共9页。

1．已知边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝ eq \f(\r(3),6) x B．y2＝－ eq \f(\r(3),3) x
C．y2＝± eq \f(\r(3),6) x D．y2＝± eq \f(\r(3),3) x
C [设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).又A(± eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) )(取点A在x轴上方)，则有 eq \f(1,4) ＝± eq \f(\r(3),2) a，解得a＝± eq \f(\r(3),6) ，所以抛物线方程为y2＝± eq \f(\r(3),6) x.]
2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
C [抛物线x2＝4y的准线为y＝－1.因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.]
3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
D [设切线方程为2x－y＋m＝0，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,2x－y＋m＝0，)) 得x2－2x－m＝0.由Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.]
4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 eq \r(13) B．2 eq \r(15) C．2 eq \r(17) D．2 eq \r(19)
B [设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，)) 得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.
∴|AB|＝ eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝ eq \r(（1＋4）（16－4）) ＝ eq \r(5×12) ＝2 eq \r(15) .]
5．(多选题)过点(－2，1)作直线l，与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则下列直线l的方程满足条件的是( )
A．y＝1 B．x＋2y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－2y＋4＝0
ACD [由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x＋2).
由方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－1＝k（x＋2），,y2＝4x，)) (*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝ eq \f(1,4) ，
这时，直线l与抛物线只有一个公共点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)) ，此时直线l的方程为y＝1.
当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).
当Δ＝0时，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝ eq \f(1,2) ，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．
此时直线l的方程为y－1＝－1(x＋2)或y－1＝ eq \f(1,2) (x＋2)，
即x＋y＋1＝0或x－2y＋4＝0.]
6．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于( )
A．2 eq \r(17) B． eq \r(17) C．2 eq \r(15) D． eq \r(15)
C [设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x，)) 得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A，B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.
又 eq \f(x1＋x2,2) ＝ eq \f(2（k＋2）,k2) ＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去).
∴|AB|＝ eq \r(1＋k2) |x1－x2|
＝ eq \r(1＋22) · eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝ eq \r(5（42－4）) ＝2 eq \r(15) .]
7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ eq \r(3) ，那么|PF|＝________．
8 [设准线交x轴于点B，O为坐标原点．依题意kAF＝－ eq \r(3) ，则∠AFO＝60°.又|BF|＝4，所以|AB|＝4 eq \r(3) ，则点P的纵坐标为4 eq \r(3) ，所以(4 eq \r(3) )2＝8xP，得xP＝6，即点P的横坐标为6.所以|PF|＝|PA|＝8.]
8．(多空题)已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
eq \f(5\r(2),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) [设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝ eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2)) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,2)－y0＋3)),\r(2)) ＝ eq \f(|（y0－1）2＋5|,2\r(2)) ，当y0＝1时，dmin＝ eq \f(5,2\r(2)) ＝ eq \f(5\r(2),4) ，此时x0＝ eq \f(1,2) ，所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) .]
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ eq \r(17) ，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))) .
∵|AF|＝3，∴y0＋ eq \f(p,2) ＝3.
∵|AM|＝ eq \r(17) ，∴x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(p,2))) eq \s\up12(2) ＝17，
∴x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝8，代入方程x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝2py0，得8＝2p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2))) ，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 eq \r(3) B．4 C．6 D．4 eq \r(3)
D [据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，
∴PM⊥抛物线的准线．设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,4)，m)) ，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋ eq \f(m2,4) .又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋ eq \f(m2,4) ＝ eq \r(（1＋1）2＋m2) ，得m2＝12，∴等边三角形的边长为4，其面积为4 eq \r(3) .]
11．(2020·湖南怀化市高二期末)已知抛物线x2＝ eq \f(1,2) y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点F的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))
B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ eq \f(1,16)
C．若 eq \(MF,\s\up6(→)) ＝λ eq \(NF,\s\up6(→)) ，则| eq \(MN,\s\up6(→)) |的最小值为 eq \f(1,2)
D．若|MF|＋|NF|＝ eq \f(3,2) ，则线段MN的中点P到x轴的距离为 eq \f(5,8)
BCD [易知点F的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8))) ，选项A错误；
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－ eq \f(1,16) ，选项B正确；
若 eq \(MF,\s\up6(→)) ＝λ eq \(NF,\s\up6(→)) ，则MN过点F，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MN,\s\up6(→)))) 的最小值即抛物线通经的长，为2p，即 eq \f(1,2) ，选项C正确，
抛物线x2＝ eq \f(1,2) y的焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8))) ，准线方程为y＝－ eq \f(1,8) ，过点M，N，P分别作准线的垂直线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MM′)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF)) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NN′)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF)) .
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MM′)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NN′)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF)) ＝ eq \f(3,2) ，所以线段 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PP′)) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MM′))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NN′)),2) ＝ eq \f(3,4)
所以线段MN的中点P到x轴的距离为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PP′)) － eq \f(1,8) ＝ eq \f(3,4) － eq \f(1,8) ＝ eq \f(5,8) ，选项D正确．故选B、C、D.]
12．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于________．
2 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝4x1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2).
∵x1≠x2，∴ eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝ eq \f(4,y1＋y2) ＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.将其代入y2＝4x，得A(0，0)，B(4，4).∴|AB|＝4 eq \r(2) .又F(1，0)到y＝x的距离为 eq \f(\r(2),2) ，
∴S△ABF＝ eq \f(1,2) × eq \f(\r(2),2) ×4 eq \r(2) ＝2.]
13．(多空题)(2020·山东泰安市高三期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝________， eq \f(|NF|,9) － eq \f(4,|MF|) 的最小值为________．
8 eq \f(1,3) [∵ 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，∴p＝8，
∴抛物线的方程为y2＝16x.
设直线l的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝16x,x＝my＋4)) 得y2－16my－64＝0，
∴y1＋y2＝16 m，y1y2＝－64.由抛物线的定义得
eq \f(1,|MF|) ＋ eq \f(1,|NF|) ＝ eq \f(1,x1＋4) ＋ eq \f(1,x2＋4) ＝ eq \f(x2＋4＋x1＋4,（x1＋4）（x2＋4）) ＝ eq \f(my2＋4＋my1＋4＋8,（my1＋8）（my2＋8）)
＝ eq \f(m（y1＋y2）＋16,m2y1y2＋8m（y1＋y2）＋64) ＝ eq \f(16m2＋16,－64m2＋128m2＋64)
＝ eq \f(16（m2＋1）,64（m2＋1）) ＝ eq \f(1,4) ，
∴ eq \f(|NF|,9) － eq \f(4,|MF|) ＝ eq \f(|NF|,9) －4( eq \f(1,4) － eq \f(1,|NF|) )＝ eq \f(|NF|,9) ＋ eq \f(4,|NF|) －1≥2 eq \r(\f(|NF|,9)×\f(4,|NF|)) －1＝ eq \f(1,3) ，当且仅当 eq \f(|NF|,9) ＝ eq \f(4,|NF|) 即|NF|＝6时，等号成立．]
14．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于 eq \r(10) 时，求k的值．
(1)证明 如图所示，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝－x，,y＝k（x＋1），)) 消去x，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－ eq \f(1,k) .
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝－x1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝－x2，∴y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ·y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝x1x2.
∵kOA·kOB＝ eq \f(y1,x1) · eq \f(y2,x2) ＝ eq \f(y1y2,x1x2) ＝ eq \f(1,y1y2) ＝－1，∴OA⊥OB.
(2)解 设直线与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，得x＝－1，即N(－1，0).
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝ eq \f(1,2) |ON||y1|＋ eq \f(1,2) |ON||y2|＝ eq \f(1,2) |ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝ eq \f(1,2) ·1· eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)
＝ eq \f(1,2) eq \r(（－\f(1,k)）2＋4) .∵S△OAB＝ eq \r(10) ，
∴ eq \r(10) ＝ eq \f(1,2) eq \r(\f(1,k2)＋4) ，解得k＝± eq \f(1,6) .