【最新版】高中数学高三培优小题练第8练　幂函数与二次函数

第8练　幂函数与二次函数

考点一　幂函数

1．已知幂函数f(x)的图象过点(8,2)，则f(27)等于(　　)

A.   B．－

C．－3   D．3

答案　D

解析　设幂函数y＝f(x)＝xa，

∵幂函数f(x)的图象过点(8,2)，

∴ 8a＝2，

解得a＝.

∴ f(x)＝，

∴f(27)＝＝3.

2．(2022·绵阳质检)如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为(　　)

A．2，，－，－2

B．－2，－，，2

C．－，－2,2，

D．2，，－2，－

答案　A

解析　方法一　因为曲线C1，C2过点(0,0)，(1,1)，且在第一象限内为增函数，

所以n>0，即n为2，，

根据图象的增长速度可知，曲线C1对应的函数为y＝x2，曲线C2对应的函数为y＝；

C3，C4过点(1,1)，且在第一象限内为减函数，所以n<0，即n为－，－2，

根据图象的变化速度可知，曲线C3对应的函数为y＝，曲线C4对应的函数为y＝x－2.

方法二　取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，

可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较可得y1>y2>y3>y4，

所以与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.

3．已知幂函数f(x)＝(n∈Z)的图象关于原点对称且在(0，＋∞)上单调递减，则n的取值集合为(　　)

A．{－1,0,1,2}   B．{0,1,2}

C．{2}   D．{0,2}

答案　D

解析　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴2n2－5n－3<0，

解得－<n<3，

又n∈Z，∴n＝0,1,2，

又f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)为奇函数．

经检验n＝0,2满足题意．

4．(2022·开封质检)已知函数f(x)＝(x>0)，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．

答案　(3,5)

解析　易知函数f(x)＝(x>0)是定义域内的减函数，根据题意可得解得据此可得a的取值范围是3<a<5.

考点二　二次函数的图象及性质

5．已知二次函数f(x)，f(0)＝6，且f(3)＝f(2)＝0，那么这个函数的解析式是(　　)

A．f(x)＝x2＋x＋6

B．f(x)＝x2－x＋6

C．f(x)＝x2＋5x＋6

D．f(x)＝x2－5x＋6

答案　D

解析　由题意知，二次函数的对称轴为直线x＝.四个选项中只有D选项对称轴为直线x＝.

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

①b＝－2a；②a＋b＋c<0；③a－b＋c>0；

④abc<0.

A．①③   B．②③

C．②④   D．①④

答案　D

解析　由二次函数图象开口向下知a<0，对称轴为－＝1，即b＝－2a，则b>0，

又f(0)＝c>0，故abc<0，由图象知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0.

7．函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，2]   B．[0,2]

C．[1，＋∞)   D．[1,2]

答案　D

解析　∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，

又∵f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，则a∈[1,2]．

8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a<0，b>0)有两个不同的零点x1，x2，－2和x1，x2三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝x2－5x－4

B．f(x)＝x2＋5x＋4

C．f(x)＝x2－5x＋4

D．f(x)＝x2＋5x－4

答案　C

解析　由题意，函数f(x)＝x2＋ax＋b(a<0，b>0)有两个不同的零点x1，x2，

可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b，则x1>0，x2>0，

又由－2和x1，x2三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，

不妨设x2>x1，则2x1＝x2＋(－2)，x1x2＝4，

解得x1＝1，x2＝4，

所以－a＝x1＋x2＝5，b＝x1x2＝4，

所以f(x)＝x2－5x＋4.

9．(2022·合肥)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c有最小值，且f(1－x)＝f(1)＋f(x)，若f(x)在区间[2m，m＋1]上不单调，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　f(x)＝ax2＋bx＋c有最小值，可得a>0，

∵f(1－x)＝f(1)＋f(x)，

即a(1－x)2＋b(1－x)＋c＝ax2＋bx＋2c＋a＋b，

可得c＝0，b＝－a<0，

对称轴x＝，

∵f(x)在[2m，m＋1]上不单调，即2m<m＋1，

且2m<<m＋1，

解得－<m<.

10．定义在R上的函数f(x)，当x∈(－1,1]时，f(x)＝x2－x，且对任意的x满足f(x－2)＝af(x)(常数a>0)，则函数f(x)在区间(5,7]上的最小值是(　　)

A．－a3   B.a3

C.   D．－

答案　D

解析　当x∈(1,3]，x－2∈(－1,1]，

∴f(x)＝＝[(x－2)2－(x－2)]＝(x－2)·(x－3)，

当x∈(3,5]，x－2∈(1,3]，∴f(x)＝(x－4)(x－5)，

当x∈(5,7]，x－2∈(3,5]，∴f(x)＝(x－6)(x－7)＝(x2－13x＋42)，

∴当x＝6.5时，f(x)min＝－.

11．(2022·泉州模拟)若幂函数f(x)＝x (m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则(　　)

A．m，n是奇数，且<1

B．m是偶数，n是奇数，且>1

C．m是偶数，n是奇数，且<1

D．m是奇数，n是偶数，且>1

答案　C

解析　由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A.

12．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)

A．f(m＋1)≥0   B．f(m＋1)≤0

C．f(m＋1)>0   D．f(m＋1)<0

答案　C

解析　因为f(x)图象的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示；

由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，

所以f(m＋1)>f(0)>0.

13．(2022·遵义模拟)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为(　　)

A．[－3,3]   B．[－1,3]

C．{－3,3}   D．{－1，－3,3}

答案　C

解析　∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为x＝1，

∵在区间[a，a＋2]上的最小值为4，

∴当a≥1时，函数最小值为f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3，

当a＋2≤1，即a≤－1时，函数最小值为f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3，

当a<1<a＋2时，即－1<a<1时，函数最小值为f(1)＝0≠4，

故满足条件的a的取值集合为{－3,3}．

14．(2022·成都模拟)函数f(x)＝x(|x|－1)在[m，n]上的最小值为－，最大值为2，则n－m的最大值为________．

答案　

解析　当x≥0时，f(x)＝x(|x|－1)＝x2－x＝2－≥－，

当x<0时，f(x)＝x(|x|－1)＝－x2－x＝－2＋，

作出函数f(x)的图象如图所示．

当x≥0时，由f(x)＝x2－x＝2，解得x＝2.

当x＝时，f ＝－.

当x<0时，由f(x)＝－x2－x＝－.

即4x2＋4x－1＝0，解得x＝＝，

∴x＝，

∵f(x)在[m，n]上的最小值为－，最大值为2，

∴n＝2，≤m≤，

∴n－m的最大值为2－＝.