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初中数学沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用备课课件ppt
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这是一份初中数学沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用备课课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了观察与思考，导入新课，ihl，水平面，讲授新课，知识回顾，练一练，i12，典例精析，i13等内容，欢迎下载使用。
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
☆与坡度、坡角有关的实际问题
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度.2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
例2 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
例3:已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
证明：由α是锐角，可知直线y=kx+b是上升的，即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.
如图，x1＜x2,则y1＜y2.过点P1,P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得 ∠P2P1R=α.
在Rt△P2P1R中，
∵P1,P2都在直线y=kx+b上，
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)．
3.如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角α和β的值（精确到1°）.
解：过点作CF⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵ BE=5.8 m
∴ AE=9.28 m ，DF=14.5 m.
∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6 m.
解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E、F． 由题意可知 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
4. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°， 求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ).
在Rt△BCF中，同理可得因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．答： 路基下底的宽约为22.93米．
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
☆与坡度、坡角有关的实际问题
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度.2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
例2 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
例3:已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
证明：由α是锐角，可知直线y=kx+b是上升的，即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.
如图，x1＜x2,则y1＜y2.过点P1,P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得 ∠P2P1R=α.
在Rt△P2P1R中，
∵P1,P2都在直线y=kx+b上，
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)．
3.如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角α和β的值（精确到1°）.
解：过点作CF⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵ BE=5.8 m
∴ AE=9.28 m ，DF=14.5 m.
∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6 m.
解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E、F． 由题意可知 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
4. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°， 求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ).
在Rt△BCF中，同理可得因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．答： 路基下底的宽约为22.93米．
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