【最新版】高中数学高三培优小题练第36练　解三角形小题综合练

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A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
答案 C
解析 ∵a＝3，b＝6，sin A＝eq \f(\r(3),4)，
∴由正弦定理可得，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(6×\f(\r(3),4),3)＝eq \f(\r(3),2)，
又sin A＝eq \f(\r(3),4)解得B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
2．在△ABC中，角A，C的对边分别为a，c，C＝2A，cs A＝eq \f(3,4)，则eq \f(c,a)的值为( )
A．2 B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,2) D．1
答案 C
解析 由正弦定理，得eq \f(c,a)＝eq \f(sin C,sin A)＝eq \f(sin 2A,sin A)＝eq \f(2sin Acs A,sin A)＝2cs A＝2×eq \f(3,4)＝eq \f(3,2).
3．在△ABC中，若2a＝b＋c，sin2A＝sin B·sin C，则△ABC一定是( )
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．非等腰三角形
答案 B
解析 在△ABC中，由正弦定理及sin2A＝sin B·sin C得a2＝bc，因为2a＝b＋c，
则有(b－c)2＝(b＋c)2－4bc＝(2a)2－4a2＝0，
即b＝c，因此得a＝b＝c，
所以△ABC是等边三角形．
4．某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )
A．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),3))) m B．20(1＋eq \r(3)) m
C．10(eq \r(2)＋eq \r(6)) m D．20(eq \r(2)＋eq \r(6)) m
答案 B
解析 如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝20eq \r(3) m．所以CD＝20(1＋eq \r(3)) m.
5．(2022·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs B＋bsin A＝c，若a＝2，△ABC的面积为3(eq \r(2)－1)，则b＋c等于( )
A．5 B．2eq \r(2)
C．16 D．4
答案 D
解析 因为acs B＋bsin A＝c.
所以由正弦定理可得，sin Acs B＋sin Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋sin Bcs A.
因为sin B≠0，
所以sin A＝cs A，即tan A＝1，又0所以A＝eq \f(π,4)，
因为S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(2),4)bc＝3(eq \r(2)－1)，
所以bc＝6(2－eq \r(2))．
因为a＝2，
所以由余弦定理可得，
a2＝4＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－2bc－eq \r(2)bc＝(b＋c)2－6(2－eq \r(2))(2＋eq \r(2))＝(b＋c)2－12，
故b＋c＝4.
6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(eq \r(2)＋eq \r(6))n mile/h
B．20(eq \r(6)－eq \r(2))n mile/h
C．20(eq \r(3)＋eq \r(6))n mile/h
D．20(eq \r(6)－eq \r(3))n mile/h
答案 B
解析 由题意知SM＝20 n mile，∠NMS＝45°，
∴SM与正东方向的夹角为75°，
MN与正东方向的夹角为60°，
∴∠SNM＝105°
∴∠MSN＝30°，
在△MNS中，利用正弦定理可得，eq \f(MN,sin 30°)＝eq \f(20,sin 105°) ，
MN＝eq \f(10,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝10(eq \r(6)－eq \r(2))n mile,
∴货轮航行的速度
v＝eq \f(10\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝20(eq \r(6)－eq \r(2))n mile/h.
7．已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD＝CD＝2，AB＝1，sin∠BDC＝2sin∠CBD，则四边形ABCD的面积为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(3\r(7),4) C.eq \r(7) D.eq \f(5\r(7),4)
答案 D
解析 在△BCD中，由正弦定理得
eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，
因为CD＝2，sin∠BDC＝2sin∠CBD，所以BC＝4，
由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs C＝20－16cs C，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs A＝5－4cs A，
所以20－16cs C＝5－4cs A.
因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以A＋C＝π，
所以cs A＝cs(π－C)＝－cs C，
所以20－16cs C＝5＋4cs C，
所以cs C＝eq \f(3,4)，cs A＝－eq \f(3,4)，
所以sin A＝sin C＝eq \f(\r(7),4)，
所以四边形ABCD的面积为
S＝eq \f(1,2)×AB×AD×sin A＋eq \f(1,2)×BC×CD×sin C＝eq \f(5\r(7),4).
8．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝n＋1，b＝n，c＝n－1，n∈N*，且A＝2C，则△ABC的最小角的余弦值为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
答案 D
解析 ∵A＝2C，由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)，
即eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin 2C)＝eq \f(a,2sin Ccs C)，
∴cs C＝eq \f(a,2c)＝eq \f(n＋1,2n－1)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(n＋12＋n2－n－12,2nn＋1)＝eq \f(n＋4,2n＋1)，
∴eq \f(n＋1,2n－1)＝eq \f(n＋4,2n＋1)，
解得n＝5，由大边对大角定理可知角C是最小角，
∴cs C＝eq \f(6,2×4)＝eq \f(3,4).
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有( )
A．若△ABC是锐角三角形，则sin AB．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
C．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定为锐角三角形
D．若B＝eq \f(π,3)，a＝2且该三角形有两解，则b的取值范围是(eq \r(3)，2)
答案 D
解析 对于A选项，C＝π－A－Beq \f(π,2)－B，sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，故A选项不正确；
对于B选项，由于sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，由于A，B是三角形的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，所以△ABC可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项不正确；
对于C选项，由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)>0，可得C为锐角，但A或B可能为钝角，故C选项不正确；
对于D选项，B＝eq \f(π,3)，a＝2，且该三角形有两解，
所以asin B10．(2022·福州模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋2abcs C＝3b2，则eq \f(tan A,tan B·tan C)＋eq \f(6,tan A)的最小值为( )
A.eq \f(7\r(3),3) B.eq \f(3\r(5),2) C.eq \f(3\r(3),2) D.eq \f(3,2)
答案 B
解析 由余弦定理及a2＋2abcs C＝3b2，
可得a2＋a2＋b2－c2＝3b2，
即2a2－b2＝b2＋c2，得2a2－b2＝a2＋2bccs A，
整理得a2＝b2＋2bccs A.
∵a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴b2＋2bccs A＝b2＋c2－2bccs A，得c＝4bcs A.
由正弦定理得sin C＝4sin Bcs A，
又sin C＝sin(A＋B)，
∴sin(A＋B)＝4sin Bcs A，
整理得sin Acs B＝3sin Bcs A.
易知在锐角△ABC中，cs A≠0, cs B≠0，
∴tan A＝3tan B, 且tan B>0.
∵A＋B＋C＝π，
tan C＝－tan(A＋B)＝－eq \f(tan A＋tan B,1－tan A·tan B)＝eq \f(4tan B,3tan2B－1)，
∴eq \f(tan A,tan B·tan C)＋eq \f(6,tan A)＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3tan2B－1)),4tan B)＋eq \f(2,tan B)＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3tan B＋\f(5,3tan B)))≥eq \f(3,4)×2eq \r(5)＝eq \f(3\r(5),2)，
当且仅当tan B＝eq \f(\r(5),3)时等号成立．
11．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝______.
答案 eq \f(5\r(6),2)
解析 在△ACD中，由余弦定理可得
cs C＝eq \f(49＋9－25,2×7×3)＝eq \f(11,14)，则sin C＝eq \f(5\r(3),14).
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，
∴AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(7×\f(5\r(3),14),\f(\r(2),2))＝eq \f(5\r(6),2).
12．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为______海里/小时．
答案 eq \f(17\r(6),2)
解析 在△MNP中，由正弦定理可得
eq \f(sin N,MP)＝eq \f(sin∠MPN,MN)，则MN＝eq \f(68 sin 120°,sin 45°)＝eq \f(68\r(6),2)＝34eq \r(6)(海里)，
则这艘船的航行速度v＝eq \f(34\r(6),4)＝eq \f(17\r(6),2)(海里/小时)．
13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin eq \f(B＋C,2)＝asin B，且△ABC的内切圆面积为9π，则△ABC面积的最小值为________．
答案 27eq \r(3)
解析 由题设，sin Bsin eq \f(B＋C,2)＝sin Asin B，而sin B≠0且eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2)，
∴cseq \f(A,2)＝sin A＝2sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2)，0则sin eq \f(A,2)＝eq \f(1,2)，
∴A＝eq \f(π,3)，
由题设△ABC内切圆半径r＝3，又S△ABC＝eq \f(ra＋b＋c,2)＝eq \f(1,2)bcsin A，
∴2eq \r(3)(a＋b＋c)＝bc，
而a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc≥bc，
即a≥eq \r(bc)，
∴bc≥6eq \r(3)·eq \r(bc)，
可得bc≥108，当且仅当a＝b＝c＝6eq \r(3)时等号成立．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≥27eq \r(3).
14．(2022·衡水中学模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcs C＋3ccs B＝5asin A，且A为锐角，则当eq \f(a2,bc)取得最小值时，eq \f(a,b＋c)的值为________．
答案 eq \f(\r(10),10)
解析 由正弦定理将3bcs C＋3ccs B＝5asin A变形可得3sin Bcs C＋3sin Ccs B＝5sin2A，
即3sin(B＋C)＝5sin2A，
由sin(B＋C)＝sin A>0可得sin A＝eq \f(3,5)，
而A是锐角，所以cs A＝eq \f(4,5)，
则由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－eq \f(8,5)bc，
则eq \f(a2,bc)＝eq \f(b2＋c2－\f(8,5)bc,bc)＝eq \f(b2＋c2,bc)－eq \f(8,5)≥eq \f(2bc,bc)－eq \f(8,5)＝eq \f(2,5)，
当且仅当b＝c时取等号，即eq \f(a2,bc)取得最小值eq \f(2,5)，
故a2＝eq \f(2,5)b2，故a＝eq \f(\r(10),5)b，
所以eq \f(a,b＋c)＝eq \f(\r(10),10).