【最新版】高中数学高三培优小题练第39练　平面向量基本定理及坐标表示

第39练　平面向量基本定理及坐标表示

考点一　平面向量基本定理的应用

1．已知在▱ABCD中，＝2，＝2，＝2，则等于(　　)

A.＋   B.＋

C.＋   D.＋

答案　C

解析　如图所示，

因为＝，

＝，

所以＝＋＝－＝－，

又＝2，

所以＝＋＋＝＋＋＝＋＋

＝＋.

2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　A

解析　∵AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，

∴BD＝ABcos 60°＝1，

∴＝，

又O是AD的中点，

∴＝＝(＋)＝＋×＝＋，

而＝λ＋μ，

∴λ＝，μ＝，

∴λ＋μ＝.

3．在▱ABCD中，点E，F分别满足＝，＝.若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　由题意，设＝a，＝b，如图，

在▱ABCD中，

因为＝，＝，

所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且CF＝2DF，

所以＝a＋b，＝a＋b，

又因为＝λ＋μ，且＝－＝b－a，

所以－a＋b＝λ＋μ＝λ＋μ＝a＋b，

所以解得所以λ＋μ＝.

考点二　平面向量的坐标运算

4．(2022·长沙模拟)已知点A，B，则与向量同方向的单位向量是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　与向量＝同方向的单位向量是＝＝

＝.

5．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.

答案　－2

解析　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

∴m＋n＝－2.

6．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝________.

答案　－2或6

解析　由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y)．

由||＝2||，可得＝±2，

则当＝2时，有

解得此时x＋y＝－2；

当＝－2时，有

解得此时x＋y＝6.

综上可知，x＋y＝－2或6.

考点三　向量共线的坐标表示

7．已知向量m＝(4，－1)，n＝(－5,2)，且∥，则实数x等于(　　)

A．1   B．－1

C.   D．－

答案　B

解析　m＋n＝，

xm－n＝，

因为∥，所以×－＝0，

解得x＝－1.

8．设＝，＝，＝(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)

A．4  B.  C．8  D．9

答案　D

解析　＝－＝，＝－＝，因为A，B，C三点共线，所以∥，所以2－＝0，即2a＋b＝1，则＋＝＝5＋≥5＋2＝9.当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．故＋的最小值为9.

9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)．则第四个顶点的坐标不可能为(　　)

A．(0，－1)   B．(6,15)

C．(2，－3)   D．(2,3)

答案　D

解析　设第四个顶点的坐标为D(x，y)，

当＝时，(x－3，y－7)＝(－3，－8)，

解得x＝0，y＝－1，此时第四个顶点的坐标为(0，－1)；

当＝时，(x－3，y－7)＝(3,8)，

解得x＝6，y＝15，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；

当＝时，(1，－1)＝(x－1，y＋2)，

解得x＝2，y＝－3，此时第四个顶点的坐标为(2，－3)．

∴第四个顶点的坐标为(0，－1)或(6,15)或(2，－3)．

10．(2022·潍坊模拟)已知向量＝，＝，＝，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不可以为(　　)

A．－2   B.

C．1   D．－1

答案　C

解析　若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，则向量，不共线，

由于向量＝，＝，＝，

故＝－＝(－3,4)，＝－＝(t＋5，t－9)，

∵A，B，C三点不共线，∴ －3(t－9)－4(t＋5)≠0，

∴t≠1.

11．(2022·威海模拟)向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有着重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝

(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A(1,2)，点B(1－，2＋2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为(　　)

A．(1,3)   B．(－3,1)

C．(2,5)   D．(－2,3)

答案　C

解析　∵A(1,2)，B(1－，2＋2)，

∴＝(－，2)，

∵点B绕点A沿顺时针方向旋转等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转，

∴＝

＝(1,3)，

∴P(2,5)．

12.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)   D．(－1,0)

答案　D

解析　由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，

则＝＋λ＝λ＋(1－λ).

又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，

则＝－－·(λ>1，μ>1)，

所以m＝－，n＝－，

则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．

13.(2022·哈尔滨模拟)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由题意建立如图所示的直角坐标系，

因为AB＝3，BC＝4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)．

设E(a,3)，则＝(4，－3)，＝(a,3)，

因为BE⊥AC，所以·＝4a－9＝0，

解得a＝，

由＝λ＋μ，得＝λ(0,3)＋μ(4,0)，

所以解得

所以λ＋μ＝.

14．(2022·成都模拟)如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，＝λ＋μ，则λ－μ的最小值为______．

答案　－1

解析　以AB为x轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，

设P(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤150°，

则A(0,0)，B(1,0)，C，

∵＝λ＋μ，

∴(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ

＝，

∴cos θ＝λ－μ，sin θ＝，

∴λ＝cos θ＋sin θ，μ＝2sin θ，

∴λ－μ＝cos θ＋3sin θ－2sin θ

＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋60°)，

∵0°≤θ≤150°，

∴60°≤θ＋60°≤210°，

∴当θ＝150°时，2sin(θ＋60°)＝－1，

即λ－μ的最小值为－1.