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    【最新版】高中数学高三培优小题练第54练 不等式小题综合练

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    【最新版】高中数学高三培优小题练第54练 不等式小题综合练

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    这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第54练 不等式小题综合练,共7页。试卷主要包含了在R上定义运算⊗等内容,欢迎下载使用。
    A.a-c>b-d B.a+c>b+d
    C.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) D.ac>bd
    答案 B
    解析 当a=5>b=4,c=3>d=1时,
    a-c=2,b-d=3,则a-cb,c>d,两式相加得a+c>b+d,
    故B项一定成立;
    当a=2>b=1,c=1>d=-1时,eq \f(a,d)=-2,eq \f(b,c)=1,
    则eq \f(a,d)b=-2,c=-3>d=-4时,
    ac=3,bd=8,
    则ac2或ay,
    但x-y=1+1=2,eq \f(1,x)-eq \f(1,y)=1+1=2,x-y=eq \f(1,x)-eq \f(1,y),故C错误;
    D项,∵x>y,∴[x]≥[y]成立,故D正确.
    6.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是( )
    A.(-∞,7]
    B.[-1,7]
    C.(-∞,3]
    D.(-∞,-1]∪[7,+∞)
    答案 A
    解析 由题意可得(x-a)⊗x=(x-a)(1-x)≤a+2,
    即a(x-2)≤x2-x+2对任意x>2恒成立,
    ∵x>2,∴x-2>0,
    ∴a≤eq \f(x2-x+2,x-2)对任意x>2恒成立,
    设f(x)=eq \f(x2-x+2,x-2)
    =eq \f(x-22+3x-2+4,x-2)
    =(x-2)+eq \f(4,x-2)+3,x>2,
    则f(x)≥2eq \r(x-2·\f(4,x-2))+3=7
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x-2=\f(4,x-2),即x=4时取等号)),
    即f(x)min=7,∴a≤7,即a∈(-∞,7].
    7.已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式eq \f(2,x)+eq \f(m,y)≥4恒成立,则m的取值范围是( )
    A.[eq \r(2),+∞) B.[2,+∞)
    C.(0,eq \r(2)] D.(0,2]
    答案 B
    解析 因为m>0,xy>0,x+y=2,
    所以eq \f(2,x)+eq \f(m,y)=eq \f(1,2)(x+y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)+\f(m,y)))
    =eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(mx,y)+\f(2y,x)+m+2))≥eq \f(1,2)(2eq \r(2m)+m+2).
    因为不等式eq \f(2,x)+eq \f(m,y)≥4恒成立,
    所以eq \f(1,2)(2eq \r(2m)+m+2)≥4,
    整理得(eq \r(m)+3eq \r(2))(eq \r(m)-eq \r(2))≥0,
    解得eq \r(m)≥eq \r(2),即m≥2.
    8.某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成;③后续保养的费用是每单位eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(600,x)-30))元(试剂的总产量为x单位,50≤x≤200),则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为( )
    A.60单位 B.70单位
    C.80单位 D.90单位
    答案 D
    解析 设每生产1单位试剂的成本为y元,
    因为试剂总产量为x单位,
    则由题意可知,原料总费用为50x元,
    职工的工资总额为(7 500+20x)元,后续保养总费用为xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(600,x)-30))元,
    则y=eq \f(50x+7 500+20x+x2-30x+600,x)
    =x+eq \f(8 100,x)+40≥2eq \r(x·\f(8 100,x))+40=220,
    当且仅当x=eq \f(8 100,x),
    即x=90时取等号,
    满足50≤x≤200,
    所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.
    9.(2022·郑州模拟)若x,y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x-5y+15≥0,,y≤-x+11,,y≥1,))当且仅当x=5,y=6时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(5,3)))
    B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5),1))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(3,5)))
    D.(-∞,-1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5),+∞))
    答案 C
    解析 作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x-5y+15≥0,,y≤-x+11,,y≥1))所表示的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,
    联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x-5y+15=0,,y=-x+11,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=5,,y=6,))
    即点A(5,6),由题意可知,当直线z=ax-y过点A时,直线z=ax-y的截距最大,此时z=ax-y取得取小值,
    直线y=-x+11的斜率为-1,直线3x-5y+15=0的斜率为eq \f(3,5),
    而直线z=ax-y的斜率为a,所以-1c,n∈N,且eq \f(1,a-b)+eq \f(10,b-c)≥eq \f(n2,a-c)恒成立,则n的最大值是( )
    A.2 B.3 C.4 D.5
    答案 C
    解析 eq \f(1,a-b)+eq \f(10,b-c)≥eq \f(n2,a-c)等价于
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-b)+\f(10,b-c)))(a-c)≥n2,
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-b)+\f(10,b-c)))(a-c)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-b)+\f(10,b-c)))(a-b+b-c)
    =11+eq \f(b-c,a-b)+eq \f(10a-b,b-c)
    ≥11+2eq \r(10·\f(b-c,a-b)·\f(a-b,b-c))
    =11+2eq \r(10).
    故11+2eq \r(10)≥n2,n∈N,则n的最大值是4.
    11.已知正数a,b满足a2+b2=6,则beq \r(a2+4)的最大值为____________.
    答案 5
    解析 a2+b2=6,beq \r(a2+4)≤eq \f(b2+a2+4,2)=5,
    当且仅当b=eq \r(a2+4),即a=1,b=eq \r(5)时等号成立.
    12.已知0-2;
    ③lg2(b-a)1.
    答案 ③④
    解析 ∵0

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