【最新版】高中数学高三培优小题练第77练　圆锥曲线小题综合练

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第77练　圆锥曲线小题综合练，共6页。试卷主要包含了已知F1，F2分别是椭圆E，抛物线C，椭圆C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C．1 D．2
答案 B
解析 依题意得双曲线的右顶点坐标是(1,0)，一条渐近线方程是y＝2x，即2x－y＝0，因此右顶点到渐近线的距离为eq \f(|2|,\r(22＋1))＝eq \f(2\r(5),5).
2．已知点P(x，y)的坐标满足eq \r(x－12＋y－12)－eq \r(x＋32＋y＋32)＝±4，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．两条射线 D．以上都不对
答案 B
解析 由题知点P(x，y)的坐标满足eq \r(x－12＋y－12)－eq \r(x＋32＋y＋32)＝±4，且点(1,1)到(－3，－3)的距离为eq \r(1＋32＋1＋32)＝4eq \r(2)>4，因此点P的坐标符合双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线．
3．已知F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，P为椭圆E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作直线l的垂线，交F1P的延长线于点M，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))等于( )
A．10 B．8 C．6 D．4
答案 A
解析 如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线，直线l⊥F2M，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)).
由椭圆方程得a＝5，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2a＝10.
4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A，B两点，其弦AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，则直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案 A
解析 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
∵A，B在抛物线上，
∴yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，
两式相减可得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，
∴2(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2.
则l的方程为y－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，即2x－y－1＝0.
5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2＝8y的准线交于点A和点B，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(3)，则C的实轴长为( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C．2 D．4
答案 C
解析 设等轴双曲线为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1，抛物线x2＝8y的准线方程为y＝－2，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－x2＝a2，,y＝－2，))解得x＝±eq \r(4－a2)，
所以2eq \r(4－a2)＝2eq \r(3)，解得a＝1，
所以实轴长为2.
6．(2022·西安模拟)若直线y＝x＋t与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为( )
A．2 B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
答案 C
解析 联立两个方程得5x2＋8tx＋4t2－4＝0.
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1))，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))2－4x1x2)))
＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－\f(16,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1)))))＝eq \f(4,5)eq \r(10－2t2)，
而Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8t))2－4×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4t2－4))>0，解得0≤t2<5.
∴取t2＝0得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))max＝eq \f(4\r(10),5).
7．(2022·山东师大附中模拟)过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
答案 B
解析 当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6，故共有3条．
8．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝8x
C．y2＝32x D．y2＝24x
答案 A
解析 由题意可得该圆的圆心是线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，所以圆心横坐标为eq \f(p,4)，半径r＝eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3p,4)，又该圆的面积为36π，则r＝6，所以eq \f(3p,4)＝6，p＝8，则该抛物线方程为y2＝16x.
9．(2022·滕州模拟)椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4
B．椭圆C上不存在点P，使得eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0
C．椭圆C的离心率为eq \f(1,2)
D．P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最大距离为3
答案 D
解析 对于选项A，由椭圆定义，可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，因此△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8，故A错误；
对于选项B，设P(m，n)，则eq \f(m2,4)＋n2＝1，且－2≤m≤2.又F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，所以eq \(PF1,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)－m，－n)，eq \(PF2,\s\up6(—→))＝(eq \r(3)－m，－n)，因此eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)－m)·(eq \r(3)－m)＋n2＝m2－3＋1－eq \f(m2,4)＝eq \f(3m2,4)－2＝0，解得m＝eq \f(2\r(6),3)∈[－2,2]，故B错误；
对于选项C，因为a2＝4，b2＝1，所以c2＝4－1＝3，即c＝eq \r(3)，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，故C错误；
对于选项D，设P(x1，y1)，则点P到圆x2＋y2＝1的圆心的距离为|PO|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(4－4y\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(4－3y\\al(2,1)).因为－1≤y1≤1，所以|PQ|max＝|PO|max＋1＝eq \r(4－0)＋1＝3，故D正确．
10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴交于点M，经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1>x2，则下列结论正确的是( )
A．－1B．y1y2＝8x1x2
C．∠AFB不可能为直角
D．当k2＝eq \f(1,2)时，△AFB的面积为16
答案 D
解析 依题意知F(2,0)，M(－2,0)，直线l的方程为y＝k(x＋2)，联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝kx＋2，))
消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2≠0，,4k2－82－16k4>0，))解得－1因为x1x2＝eq \f(4k2,k2)＝4，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝8x1×8x2＝64×4＝256，由于y1，y2同号，所以y1y2＝16，于是y1y2＝4x1x2，故选项B错误；
由于eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，
所以eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2·eq \f(8－4k2,k2)＋4＋16＝32－eq \f(16,k2)，
当k2＝eq \f(1,2)时，eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝0，∠AFB为直角，故选项C不正确；
△AFB的面积S＝S△MFA－S△MFB
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y1－y2))
＝2eq \r(y1＋y22－4y1y2)，
当k2＝eq \f(1,2)时，
y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)＝k(x1＋x2＋4)＝16k，因此S＝2eq \r(16k2－4×16)＝16，故D正确．
11．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝2|PF2|，则△F1PF2的面积为________．
答案 2eq \r(3)
解析 |PF1|＋|PF2|＝6，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2eq \r(7)，在△F1F2P中，
由余弦定理可得cs∠F1PF2＝eq \f(4＋16－28,2×2×4)＝－eq \f(1,2)，所以sin∠F1PF2＝eq \f(\r(3),2)，所以△F1PF2的面积为eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).
12．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|FB|＝8，则p＝______.
答案 2
解析 方法一 由题意知，直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，得x＝y＋eq \f(p,2)代入抛物线方程，得y2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(p,2)))，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，|AF|·|FB|＝eq \r(2)|y1|·eq \r(2)|y2|＝2|y1y2|＝2p2＝8，得p＝2.
方法二 由题意可知，eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)，得|FA|＋|FB|＝eq \f(2,p)|FA|·|FB|＝eq \f(16,p)，即|AB|＝eq \f(2p,sin245°)＝eq \f(16,p)，得p＝2.
13．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，直线y＝kx与曲线C交于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，且∠F1AF2＝60°，则双曲线C的离心率是________．
答案 eq \f(\r(7),2)
解析 如图所示，根据双曲线和直线y＝kx的对称性可知，|BF1|＝|AF2|，设|AF2|＝m(m>0)，则|AF1|＝3|BF1|＝3m，在△F1AF2中，(2c)2＝m2＋9m2－2×m×3m×eq \f(1,2)，解得m＝eq \f(2,\r(7))c，所以由双曲线定义可得3m－m＝2a，即a＝eq \f(2,\r(7))c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2).
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))的最小值是________．
答案 eq \f(9,4)
解析 由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，b＝1，解得a＝2，c＝eq \r(3)，于是|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))≥eq \f(1,4)(5＋2eq \r(4))＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(8,3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝eq \f(4,3)时等号成立．