【最新版】高中数学高三培优小题练第4练　函数的概念及表示

专题2　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第4练　函数的概念及表示

考点一　函数的概念

1．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.

1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝，N＝，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　)

A．y＝2x   B．y＝x＋2

C．y＝2x   D．y＝x2

答案　D

解析　在A中，当x＝4时，y＝8∉N，故A错误；

在B中，当x＝1时，y＝3∉N，故B错误；

在C中，当x＝－1时，y＝∉N，故C错误；

在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．

2．以下四组函数中表示相同函数的是(　　)

A．f(x)＝|x|，g(x)＝

B．f(x)＝，g(x)＝()2

C．f(x)＝，g(x)＝x＋1

D．f(x)＝·，g(x)＝

答案　A

解析　对于A，两个函数的定义域都为R，而且g(x)＝＝|x|，所以这两个函数是相同函数；

对于B，f(x)＝的定义域为R，

而g(x)＝()2的定义域为，定义域不相同，

所以这两个函数不是相同函数；

对于C，f(x)＝的定义域为，而g(x)＝x＋1的定义域为R，定义域不相同，所以这两个函数不是相同函数；

对于D，f(x)＝·的定义域为，而g(x)＝的定义域为∪，定义域不相同，所以这两个函数不是相同函数．

考点二　求函数的解析式

3．已知f(x)是一次函数，f(f(x))＝4x＋3，则f(x)等于(　　)

A．2x＋1

B．－2x－3

C．4x＋3

D．2x＋1或－2x－3

答案　D

解析　由题意设f(x)＝ax＋b，则f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，

∴ 解得或

∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.

4．已知f(＋1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为__________．

答案　f(x)＝x2－1

解析　f＝x＋2＝2－1，

令t＝＋1≥1，

∴f(t)＝t2－1(t≥1)，

则f(x)＝x2－1(x≥1)．

5．已知f ＝x2＋－2，则f(x)的解析式为____________________________________．

答案　f(x)＝x2－4，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析　∵f ＝x2＋－2

＝2－4，

令t＝x＋，当x>0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，

当x<0时，t＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，

∴f(t)＝t2－4，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞),

∴f(x)＝x2－4，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

考点三　函数的定义域

6．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．(－1,0)∪(0,2]   B．[－2,0)∪(0,2]

C．[－2,2]   D．(－1,2]

答案　A

解析　因为f(x)＝＋，所以解得－1<x<0或0<x≤2，即函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．

7．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．

答案　[－1,1]

解析　由题意得

得

解得－1≤x≤1，

所以函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1,1]．

考点四　分段函数

8．已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　)

A．－   B．2

C．4   D．11

答案　C

解析　因为f(1)＝12＋2＝3，

所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.

9．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．

答案　(4，＋∞)

解析　当a≥0时，f(a)＝a－1>1，

解得a>4，符合a≥0；

当a<0时，f(a)＝>1，无解．

故a>4.

10．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝________.

答案　6

解析　当0<a<1时，a＋1>1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，

∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，

解得a＝或a＝0(舍去)，

∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6；

当a≥1时，a＋1≥2，

∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，

∴2(a－1)＝2a，无解．

综上，f ＝6.

11．已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(2x)＋lg(2x＋1)的定义域为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　令－x2＋x＋2≥0，解得－1≤x≤2，

所以f(x)的定义域为[－1,2]，

要使g(x)有意义，则

解得－<x≤1.

12．(2022·长沙模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则(　　)

A．f(x)的最小值为2

B．∃x0∈R，>2

C．f(x)的最大值为2

D．∀x∈R，>2

答案　D

解析　因为2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，①

所以用－x代换x得2f(－x)＋f(x)＝3x2－2x＋6.②

①×2－②得3f(x)＝3x2＋6x＋6，

即f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，

从而f(x)只有最小值，没有最大值，且最小值为1，故A，C错误；

＝

＝＝2－<2，

故B错误；

＝

＝＝2＋>2，

故D正确．

13．(2022·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：

①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；

③h(x)＝x；④φ(x)＝ln x.

其中是一阶整点函数的是(　　)

A．①②③④   B．①③④

C．①④   D．④

答案　C

解析　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数；

对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数；

对于函数h(x)＝x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数；

对于函数φ(x)＝ln x，它的图象(图略)只经过一个整点(1,0)，所以它是一阶整点函数．

14．若函数f(x)满足a≤f(x)≤b，定义b－a的最小值为f(x)的值域跨度，则下列函数中值域跨度为2的是________．(填序号)

①f(x)＝cos 2x＋1；②f(x)＝；

③f(x)＝|x|－；④f(x)＝.

答案　①③

解析　∵－1≤cos 2x≤1，∴0≤cos 2x＋1≤2，

即函数f(x)＝cos 2x＋1的值域为，值域跨度为2；

∵－x2＋2x＋1＝－2＋2≤2，

∴f(x)＝的值域为，值域跨度为；

∵f(x)＝|x|－＝

∴函数f(x)＝|x|－的值域为，值域跨度为2；

∵f(x)＝＝1－，

又∵2x∈(0，＋∞)，

∴∈(0,1)，

∴1－∈(0,1)，值域跨度为1.