【最新版】高中数学高三培优小题练第77练　圆锥曲线小题综合练

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第77练　圆锥曲线小题综合练，共6页。试卷主要包含了已知F1，F2分别是椭圆E，抛物线C，椭圆C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C．1 D．2
答案 B
解析 依题意得双曲线的右顶点坐标是(1,0)，一条渐近线方程是y＝2x，即2x－y＝0，因此右顶点到渐近线的距离为eq \f(|2|,\r(22＋1))＝eq \f(2\r(5),5).
2．已知点P(x，y)的坐标满足eq \r(x－12＋y－12)－eq \r(x＋32＋y＋32)＝±4，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．两条射线 D．以上都不对
答案 B
解析 由题知点P(x，y)的坐标满足eq \r(x－12＋y－12)－eq \r(x＋32＋y＋32)＝±4，且点(1,1)到(－3，－3)的距离为eq \r(1＋32＋1＋32)＝4eq \r(2)>4，因此点P的坐标符合双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线．
3．已知F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，P为椭圆E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作直线l的垂线，交F1P的延长线于点M，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))等于( )
A．10 B．8 C．6 D．4
答案 A
解析 如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线，直线l⊥F2M，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)).
由椭圆方程得a＝5，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2a＝10.
4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A，B两点，其弦AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，则直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案 A
解析 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
∵A，B在抛物线上，
∴yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，
两式相减可得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，
∴2(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2.
则l的方程为y－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，即2x－y－1＝0.
5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2＝8y的准线交于点A和点B，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(3)，则C的实轴长为( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C．2 D．4
答案 C
解析 设等轴双曲线为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1，抛物线x2＝8y的准线方程为y＝－2，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－x2＝a2，,y＝－2，))解得x＝±eq \r(4－a2)，
所以2eq \r(4－a2)＝2eq \r(3)，解得a＝1，
所以实轴长为2.
6．(2022·西安模拟)若直线y＝x＋t与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为( )
A．2 B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
答案 C
解析 联立两个方程得5x2＋8tx＋4t2－4＝0.
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1))，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))2－4x1x2)))
＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－\f(16,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1)))))＝eq \f(4,5)eq \r(10－2t2)，
而Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8t))2－4×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4t2－4))>0，解得0≤t2x2，则下列结论正确的是( )
A．－10)的左、右焦点分别是F1，F2，直线y＝kx与曲线C交于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，且∠F1AF2＝60°，则双曲线C的离心率是________．
答案 eq \f(\r(7),2)
解析 如图所示，根据双曲线和直线y＝kx的对称性可知，|BF1|＝|AF2|，设|AF2|＝m(m>0)，则|AF1|＝3|BF1|＝3m，在△F1AF2中，(2c)2＝m2＋9m2－2×m×3m×eq \f(1,2)，解得m＝eq \f(2,\r(7))c，所以由双曲线定义可得3m－m＝2a，即a＝eq \f(2,\r(7))c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2).
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))的最小值是________．
答案 eq \f(9,4)
解析 由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，b＝1，解得a＝2，c＝eq \r(3)，于是|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))≥eq \f(1,4)(5＋2eq \r(4))＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(8,3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝eq \f(4,3)时等号成立．