2022九年级数学上册第24章解直角三角形24.3锐角三角函数第1课时教案新版华东师大版

24.3 锐角三角函数

第1课时

教学目标

1．理解正弦、余弦、正切的概念；

2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．

教学重难点

【教学重点】

正弦、余弦、正切的概念.

【教学难点】

用锐角三角函数的概念进行有关计算.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入

 牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．

二、合作探究

探究点一：锐角三角函数

【类型一】 正弦函数

如图，sinA等于(　　)

A．2  B.  C.  D.

解析：根据正弦函数的定义可得sinA＝，故选C.

方法总结：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝＝.

【类型二】 余弦函数

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝＝.故选C.

方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．

【类型三】 正切函数

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝＝.故选D.

方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．

探究点二：求三角函数值

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值．

解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．

解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝ .

方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若sinC＝，BC＝36，求AD的长．

解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tanB＝，cos∠DAC＝，再利用tanB＝cos∠DAC得到＝，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC＝＝，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.

(1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝.∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD；

(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝＝.设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.

三、板书设计

锐角三角函数

1．正弦的定义

2．余弦的定义

3．正切的定义

4．求三角函数值

四、教学反思

本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.