专题11 导数与函数的极值、最值（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第11讲  导数与函数的极值、最值

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一、知识梳理

1.函数的极值

一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.

(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.

(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.

(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.

(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在[a，b]上的最值

如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

二、考点和典型例题

1、利用导数求函数的极值

【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【详解】

由导函数在区间内的图象可知，

函数在内的图象与轴有四个公共点，

在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，

在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，

所以函数在开区间内的极小值点有个，

故选：A.

【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

函数的定义域为，

,

令，解得或，

故

所以的极大值为，

故选：B.

【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函数在处有极值10，则（       ）

A．6 B． C．或15 D．6或

【答案】B

【详解】

，

又 时 有极值10

，解得 或

当 时，

此时 在 处无极值，不符合题意

经检验， 时满足题意

故选：B

【训练1-1】（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【详解】

，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．

故选：C

【训练1-2】（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，由函数有两个极值点，

则等价于有两个解，即与有两个交点，

所以.

直线过点

由在点处的切线为，显然直线过点

当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，

，

令，则，

所以单调递增，，即，

故选： D.

【训练1-3】（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数在与时，都取得极值．

(1)求，的值；

(2)若，求的单调增区间和极值．

【答案】(1)，

(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.

【解析】(1)

，由条件可知和，

即，解得：，，

所以，

检验：

经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；

(2)

，解得：，

所以

有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是

，函数的极大值是，函数的极小值是.

【训练1-4】（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值．

（1）求，的值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由题设，，又，，解得，．

（2）由，知，即，

当时，，随的变化情况如下表：

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，

要使对任意恒成立，则只需，解得或，

∴实数的取值范围为．

2、利用导数求函数的最值

【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【详解】

解：，

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值．

故选：A.

【典例2-2】（2022·北京通州·高二期中）设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由得，

令,得，令，得或，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得极小值，为，

因为无最小值，所以，解得.

故选：A

【典例2-3】（2022·上海交大附中高二期中）函数的定义域为，解析式.则下列结论中正确的是（       ）

A．函数既有最小值也有最大值 B．函数有最小值但没有最大值

C．函数恰有一个极小值点 D．函数恰有两个极大值点

【答案】A

【详解】

， ；

令 ，则 或 ；

当 时， ，此时函数 单调递减；

当 时， ，此时函数单调递增；

当 时，，此时函数 单调递减；

当 时，，此时函数单调递增，

在 时取得极小值，在 时取得极大值，故C，D错误；

；

， ；

函数 既有最小值也有最大值；

故答案为：A

【训练2-1】（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知，函数的最小值为，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

方法一：由题意得：；

令，则，在上单调递增，

又，当时，，，使得，

则当时，，即；当时，，即；

在上单调递减，在上单调递增，

；

由得：，

即，

设，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，.

方法二：令，则当时，，

令，则，

当时，；当时，；

则在上单调递减，在上单调递增，

，即.

故选：A.

【训练2-2】（2022·四川·模拟预测（理））对任意，存在，使得，则的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．e

【答案】C

【详解】

由题，令，则所以，令

，则，令，

则，则即在时单调递增，

又，则时时，

所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．

故选：C．

【训练2-3】（2022·北京市第三十五中学高二期中）已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值；

(3)画出的草图(要求尽量精确).

【答案】(1)增区间为，减区间为；

(2)最小值为，最大值为；

【解析】(1)

由题设，

所以、上，上，

所以的单调增区间为、，单调减区间为.

(2)

由（1）可得如下列表：

当时，在的最小值为，

当或时，在的最大值为.

(3)

结合（1）的结论，函数图象如下：

【训练2-4】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为和；

(2)最大值为，最小值为.

【解析】(1)

函数的定义域为，，

由，可得，

当或时，，当时，，

的单调递减区间为，单调递增区间为和.

(2)由（1）知在上单调递减，在上单调递增.

又，

的最大值为，最小值为.

3、综合应用

【典例3-1】（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知函数在处取得极值.

(1)求在上的最小值；

(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

解：因为，所以，

在处取得极值，，即解得，

，所以，所以当或时，当时，

在上单调递增，在上单调递减，

又，

在上的最小值为.

(2)解：由（1）知，，

若函数有且只有一个零点，

则方程有唯一解，即有唯一解，

由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，

又，函数图象如下所示：

或，得或，

即b的取值范围为.

【典例3-2】（2021·天津市第一0二中学高三期中）设函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)求的极大值点与极小值点；

(3)求在区间上的最大值与最小值．

【答案】(1)；(2)极小值点为，极大值点为；

(3)，.

【解析】(1)

由题意得：，则，

又，

在处的切线方程为，即；

(2)令，解得：或，

则变化情况如下表：

的极小值点为，极大值点为；

(3)由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；

又，，，

，.

【训练3-1】（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求的值及在上的解析式；

(2)若在区间上有极值，求的取值范围.

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)

解：因为是定义在上的奇函数，

所以，取得，

即，所以，

所以时.

设，则，所以，

又，所以，所以.

(2)

解：由可知在处取得极值，

所以或，

解得或，即，

所以的取值范围是.