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    专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)
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    专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)

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    这是一份专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用),文件包含专题43应用导数研究函数的极值最值原卷版docx、专题43应用导数研究函数的极值最值解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共50页, 欢迎下载使用。


    【核心素养】
    1.以研究函数的单调性、单调区间、极值(最值)等问题为主,与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合,且有综合化更强的趋势,凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
    2.与函数的图象、曲线方程、导数的几何意义相结合,凸显数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养.
    知识点一
    函数的极值
    (1)函数的极小值:
    函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
    (2)函数的极大值:
    函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
    极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
    知识点二
    函数的最值
    (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
    (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
    常考题型剖析
    题型一:函数极值的辨析
    【典例分析】
    例1-1.(2023·全国·统考高考真题)已知函数的定义域为,,则( ).
    A.B.
    C.是偶函数D.为的极小值点
    【答案】ABC
    【分析】方法一:利用赋值法,结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例即可排除选项D.
    方法二:选项ABC的判断与方法一同,对于D,可构造特殊函数进行判断即可.
    【详解】方法一:
    因为,
    对于A,令,,故正确.
    对于B,令,,则,故B正确.
    对于C,令,,则,
    令,
    又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,
    对于D,不妨令,显然符合题设条件,此时无极值,故错误.
    方法二:
    因为,
    对于A,令,,故正确.
    对于B,令,,则,故B正确.
    对于C,令,,则,
    令,
    又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,
    对于D,当时,对两边同时除以,得到,
    故可以设,则,
    当肘,,则,
    令,得;令,得;
    故在上单调递减,在上单调递增,
    因为为偶函数,所以在上单调递增,在上单调递减,
    显然,此时是的极大值,故D错误.
    故选:.
    例1-2.(2022·全国·统考高考真题)已知函数,则( )
    A.有两个极值点B.有三个零点
    C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线
    【答案】AC
    【分析】利用极值点的定义可判断A,结合的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C;利用导数的几何意义判断D.
    【详解】由题,,令得或,
    令得,
    所以在,上单调递增,上单调递减,所以是极值点,故A正确;
    因,,,
    所以,函数在上有一个零点,
    当时,,即函数在上无零点,
    综上所述,函数有一个零点,故B错误;
    令,该函数的定义域为,,
    则是奇函数,是的对称中心,
    将的图象向上移动一个单位得到的图象,
    所以点是曲线的对称中心,故C正确;
    令,可得,又,
    当切点为时,切线方程为,当切点为时,切线方程为,故D错误.
    故选:AC.
    【规律方法】
    1.函数极值的辨析问题,特别是有关给出图象研究函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是f ′(x)的图象,应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.
    2.f(x)在x=x0处有极值时,一定有f ′(x0)=0,f(x0)可能为极大值,也可能为极小值,应检验f(x)在x=x0两侧的符号后才可下结论;若f ′(x0)=0,则f(x)未必在x=x0处取得极值,只有确认x13.易错提醒
    (1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同;
    (2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
    【变式训练】
    变式1-1.(2023·河北·校联考三模)已知下列各选项是函数的导函数的图象,则是函数的极小值点的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】由极小值点的定义,导函数与原函数的关系,即可选出答案.
    【详解】当时,单调递增,当时,单调递减,
    要使是函数的极小值点,则需,,
    对于AB选项,不是函数的极值点;
    对于C选项,是函数的极小值点,正确;
    对于D选项,是函数的极大值点.
    故选:C
    变式1-2.(2023·上海松江·校考模拟预测)设a、b、c、d,若函数的部分图像如图所示,则下列结论正确的是( )

    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】D
    【分析】由函数的单调性和极值点,判断导函数的图象特征,即可判断选项.
    【详解】,由图象可知,函数有两个极值点,并且函数是先增后减再增,所以极大值点大于极小值点,所以导函数的图象如图所示,

    由导函数的图象可知,,,并且极值点的和,
    得.
    故选:D
    题型二:已知函数求极值点的个数
    例2-1.(2023·全国·高三专题练习)已知是定义域为的偶函数,当时,.那么函数的极值点的个数是( )
    A.5B.4C.3D.2
    【答案】C
    【分析】根据给定条件,利用导数探讨函数在时的性质,再结合偶函数性质即可判断作答.
    【详解】当时,,
    当时,;当时,,当且仅当时取等号,
    因此函数在上单调递减,在上单调递增,
    而是定义域为的偶函数,则函数在上单调递减,在上单调递增,
    所以函数在处取得极小值,在处取得极大值,极值点个数共有3个.
    故选:C
    例2-2.(2023·北京·统考高考真题)设函数,曲线在点处的切线方程为.
    (1)求的值;
    (2)设函数,求的单调区间;
    (3)求的极值点个数.
    【答案】(1)
    (2)答案见解析
    (3)3个
    【分析】(1)先对求导,利用导数的几何意义得到,,从而得到关于的方程组,解之即可;
    (2)由(1)得的解析式,从而求得,利用数轴穿根法求得与的解,由此求得的单调区间;
    (3)结合(2)中结论,利用零点存在定理,依次分类讨论区间,,与上的零点的情况,从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.
    【详解】(1)因为,所以,
    因为在处的切线方程为,
    所以,,
    则,解得,
    所以.
    (2)由(1)得,
    则,
    令,解得,不妨设,,则,
    易知恒成立,
    所以令,解得或;令,解得或;
    所以在,上单调递减,在,上单调递增,
    即的单调递减区间为和,单调递增区间为和.
    (3)由(1)得,,
    由(2)知在,上单调递减,在,上单调递增,
    当时,,,即
    所以在上存在唯一零点,不妨设为,则,
    此时,当时,,则单调递减;当时,,则单调递增;
    所以在上有一个极小值点;
    当时,在上单调递减,
    则,故,
    所以在上存在唯一零点,不妨设为,则,
    此时,当时,,则单调递增;当时,,则单调递减;
    所以在上有一个极大值点;
    当时,在上单调递增,
    则,故,
    所以在上存在唯一零点,不妨设为,则,
    此时,当时,,则单调递减;当时,,则单调递增;
    所以在上有一个极小值点;
    当时,,
    所以,则单调递增,
    所以在上无极值点;
    综上:在和上各有一个极小值点,在上有一个极大值点,共有个极值点.
    【点睛】关键点睛:本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况,充分利用的单调性,寻找特殊点判断即可得解.
    【易错提醒】
    极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.
    【变式训练】
    变式2-1.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知函数,则( )
    A.有两个极值点
    B.有三个零点
    C.若,则
    D.直线是曲线的切线
    【答案】AB
    【分析】对于A:求导,利用导数判断原函数单调性与极值,进而可得结果;对于B:结合函数图象分析判断;对于C:取特值分析判断;对于D:结合导数的几何意义分析判断.
    【详解】对于选项A:函数的定义域为,,
    令,得或,
    当时,,则在和单调递增,
    当时,,则在单调递减,
    所以函数有两个极值点和,故A正确;
    对于选项B:函数的极大值为,极小值为,结合函数图像可知有三个零点,故B正确;

    对于选项C:例如,
    可得,但,故C不正确;
    对于选项D:令,得或,
    且,可得:
    曲线在点处的切线方程为,即;
    在点处的切线方程为,即;
    综上所述:直线不是曲线的切线,故D不正确;
    故选:AB.
    【点睛】结论点睛:若,则三次函数的对称中心为.
    变式2-2.(2023·河南·襄城高中校联考模拟预测)已知正数,满足,则函数()的极小值点的个数为______.
    【答案】1012
    【分析】由已知构造函数(),利用的单调性得,从而,,再利用导数判断单调性可得答案.
    【详解】因为,即,
    所以,所以,
    令(),则,
    所以在上单调递增,
    所以,即,
    所以,,
    所以,
    令,得,,
    当,时,,,则;
    当,时,,,
    则,
    所以在,上单调遂减,
    在,上单调递增,
    故在,处取得极小值,
    因为,所以,则,
    又,所以可以取0,1,…,1011,共1012个取值,
    所以的极小值点的个数为1012.
    故答案为:1012.
    题型三:已知函数求极值(点)
    【典例分析】
    例3-1.(2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)若的一个极值点是,则的极大值为( ).
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】由题意可的可求出的值,代入,对求导得出的单调性,即可求出的极大值.
    【详解】,
    因为是的极值点,所以
    则,令,解得或,
    则当或时,,单减,当时,,单增,
    故的极大值为.
    故选:C.
    例3-2.(2023·全国·高三对口高考)设函数,则的极大值点和极小值点分别为( )
    A.,4B.4,C.,2D.2,
    【答案】C
    【分析】利用导数,判断函数的单调性,再求函数的极值点.
    【详解】,
    令,得,
    当,,函数单调递增,当,,函数单调递减,
    当,,函数单调递减,当,函数单调递增,
    所以函数的极大值点是,函数的极小值点是.
    故选:C
    【方法技巧】
    (1)求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
    (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
    【变式训练】
    变式3-1.(2023·全国·高三对口高考)函数的极值点是( )
    A.B.C.或或0D.
    【答案】D
    【分析】求导后令,再分析导函数各零点是否满足极值点定义即可.
    【详解】,令有或或0,
    但当取或左右邻域的值时,同号,故函数的极值点是.
    故选:D
    变式3-2. (2021秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末)函数的极值点是( )
    A. B. C.或D.
    【答案】B
    【分析】求函数的导函数,再求其零点,分析导数在零点两侧的导数值符号,由此确定其极值点.
    【详解】函数的定义域为,导函数为,
    令,可得或,
    当时,,函数在上单调递减,
    当时,,函数在上单调递减,
    当时,,函数在上单调递增,
    所以当时,函数取极小值,函数没有极大值,
    所以函数的极值点是.
    故选:B.
    题型四:已知极值(点),求参数的值或取值范围
    【典例分析】
    例4-1.(2022·全国·统考高考真题)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是____________.
    【答案】
    【分析】法一:依题可知,方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,构造函数,利用指数函数的图象和图象变换得到的图象,利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率,根据几何意义可得出答案.
    【详解】[方法一]:【最优解】转化法,零点的问题转为函数图象的交点
    因为,所以方程的两个根为,
    即方程的两个根为,
    即函数与函数的图象有两个不同的交点,
    因为分别是函数的极小值点和极大值点,
    所以函数在和上递减,在上递增,
    所以当时,,即图象在上方
    当时,,即图象在下方
    ,图象显然不符合题意,所以.
    令,则,
    设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为,
    则切线的斜率为,故切线方程为,
    则有,解得,则切线的斜率为,
    因为函数与函数的图象有两个不同的交点,
    所以,解得,又,所以,
    综上所述,的取值范围为.
    [方法二]:【通性通法】构造新函数,二次求导
    =0的两个根为
    因为分别是函数的极小值点和极大值点,
    所以函数在和上递减,在上递增,
    设函数,则,
    若,则在上单调递增,此时若,则在
    上单调递减,在上单调递增,此时若有和分别是函数
    且的极小值点和极大值点,则,不符合题意;
    若,则在上单调递减,此时若,则在上单调递增,在上单调递减,令,则,此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点,且,则需满足,,即故,所以.
    【整体点评】法一:利用函数的零点与两函数图象交点的关系,由数形结合解出,突出“小题小做”,是该题的最优解;
    法二:通过构造新函数,多次求导判断单调性,根据极值点的大小关系得出不等式,解出即可,该法属于通性通法.
    例4-2.(2023·全国·统考高考真题)已知函数.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)是否存在a,b,使得曲线关于直线对称,若存在,求a,b的值,若不存在,说明理由.
    (3)若在存在极值,求a的取值范围.
    【答案】(1);
    (2)存在满足题意,理由见解析.
    (3).
    【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式,然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标,最后求解切线方程即可;
    (2)首先求得函数的定义域,由函数的定义域可确定实数的值,进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程,解方程可得实数的值,最后检验所得的是否正确即可;
    (3)原问题等价于导函数有变号的零点,据此构造新函数,然后对函数求导,利用切线放缩研究导函数的性质,分类讨论,和三中情况即可求得实数的取值范围.
    【详解】(1)当时,,
    则,
    据此可得,
    函数在处的切线方程为,
    即.
    (2)由函数的解析式可得,
    函数的定义域满足,即函数的定义域为,
    定义域关于直线对称,由题意可得,
    由对称性可知,
    取可得,
    即,则,解得,
    经检验满足题意,故.
    即存在满足题意.
    (3)由函数的解析式可得,
    由在区间存在极值点,则在区间上存在变号零点;
    令,
    则,
    令,
    在区间存在极值点,等价于在区间上存在变号零点,
    当时,,在区间上单调递减,
    此时,在区间上无零点,不合题意;
    当,时,由于,所以在区间上单调递增,
    所以,在区间上单调递增,,
    所以在区间上无零点,不符合题意;
    当时,由可得,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    故的最小值为,
    令,则,
    函数在定义域内单调递增,,
    据此可得恒成立,
    则,
    令,则,
    当时,单调递增,
    当时,单调递减,
    故,即(取等条件为),
    所以,
    ,且注意到,
    根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
    当时,,单调减,
    当时,,单调递增,
    所以.
    令,则,
    则函数在上单调递增,在上单调递减,
    所以,所以,
    所以

    所以函数在区间上存在变号零点,符合题意.
    综合上面可知:实数得取值范围是.
    【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导,合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
    (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领:①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
    【总结提升】
    由函数极值(个数)求参数的值或范围.
    讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.
    【特别提醒】已知函数极值(个数),确定函数解析式中的参数时,注意以下两点:
    (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
    (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
    【变式训练】
    变式4-1.(2021·全国·统考高考真题)设,若为函数的极大值点,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否变号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到所满足的关系,由此确定正确选项.
    【详解】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.
    有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.
    当时,由,,画出的图象如下图所示:

    由图可知,,故.
    当时,由时,,画出的图象如下图所示:

    由图可知,,故.
    综上所述,成立.
    故选:D
    【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质,利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
    变式4-2.(2018·北京高考真题(文))设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex.
    (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;
    (Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.
    【答案】(Ⅰ)12;(Ⅱ)(1,+∞)
    【解析】
    (Ⅰ)因为f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex,
    所以f'(x)=[ax2−(a+1)x+1]ex.
    f'(2)=(2a−1)e2,
    由题设知f'(2)=0,即(2a−1)e2=0,解得a=12.
    (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得f'(x)=[ax2−(a+1)x+1]ex=(ax−1)(x−1)ex.
    若a>1,则当x∈(1a,1)时,f'(x)<0;
    当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
    所以f(x)在x=1处取得极小值.
    若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax−1≤x−1<0,
    所以f'(x)>0.
    所以1不是f(x)的极小值点.
    综上可知,a的取值范围是(1,+∞).
    方法二:f'(x)=(ax−1)(x−1)ex.
    (1)当a=0时,令f'(x)=0得x=1.
    f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
    ∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
    (2)当a>0时,令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
    ①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x−1)2ex≥0,
    ∴f(x)在R上单调递增,
    ∴f(x)无极值,不合题意.
    ②当x1>x2,即0∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
    ③当x11时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
    ∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.
    (3)当a<0时,令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
    f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
    ∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
    综上所述,a的取值范围为(1,+∞).
    题型五:利用导数求函数的最值
    【典例分析】
    例5-1.(2022·全国·统考高考真题)函数在区间的最小值、最大值分别为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】利用导数求得的单调区间,从而判断出在区间上的最小值和最大值.
    【详解】,
    所以在区间和上,即单调递增;
    在区间上,即单调递减,
    又,,,
    所以在区间上的最小值为,最大值为.
    故选:D
    例5-2.(2019·全国高考真题(文))已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围.
    【答案】(1)见详解;(2) .
    【解析】
    (1)对求导得.所以有
    当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增;
    当时,区间上单调递增;
    当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
    (2)
    若,在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为.而,故所以区间上最大值为.
    所以,设函数,求导当时从而单调递减.而,所以.即的取值范围是.
    若,在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为而,故所以区间上最大值为.
    所以,而,所以.即的取值范围是.
    综上得的取值范围是.
    【总结提升】
    求函数最值的四个步骤:第一步求函数的定义域;第二步求f′(x),解方程f′(x)=0;第三步列出关于x,f(x),f′(x)的变化表;第四步求极值、端点值,比较大小,确定最值.
    特别警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
    【易错提醒】
    求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
    【变式训练】
    变式5-1.(2021·全国·统考高考真题)函数的最小值为______.
    【答案】1
    【分析】由解析式知定义域为,讨论、、,并结合导数研究的单调性,即可求最小值.
    【详解】由题设知:定义域为,
    ∴当时,,此时单调递减;
    当时,,有,此时单调递减;
    当时,,有,此时单调递增;
    又在各分段的界点处连续,
    ∴综上有:时,单调递减,时,单调递增;

    故答案为:1.
    变式5-2.(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知,若点为曲线:与曲线:的交点,且两条曲线在点处的切线重合,则实数的最大值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】设点的横坐标为,则由可得,,
    又可得,,
    所以,解得或(舍去),
    由点为曲线:与曲线:的交点,
    所以与为同一点,
    所以,即,
    令,
    则,
    令可得,
    由知,当时,,当时,,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以,
    故实数的最大值为.
    故选:B
    题型六:根据函数的最值求参数的值(范围)
    【典例分析】
    例6-1.(2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测)已知是奇函数,当时,,当时,的最小值为1,则a的值等于( )
    A.B.C.D.1
    【答案】D
    【分析】由奇函数性质知,当时,的最大值为-1,再利用导数求出函数的单调性求出,即得解.
    【详解】由奇函数性质知,当时,的最大值为.
    令.
    当0当时,,在递减.
    ∴.
    故选:D
    例6-2.(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知函数.
    (1)若a=0,求函数的最值;
    (2)若a=1,函数在上的最大值在区间内,求整数m的值.
    【答案】(1)函数有最大值,无最小值
    (2)
    【分析】(1)根据导数确定函数单调性即可求解;(2)根据函数的隐零点和零点范围以及对号函数特点即可求解.
    【详解】(1)若a=0,
    则,
    所以,
    令,解得,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    所以函数有最大值.
    (2)若a=1,则,
    所以,
    当时,,
    画出函数的函数的大致图像如下,

    令,设根为,所以,所以,
    因为,所以,
    ,所以,
    ,所以,,所以,
    所以时,,,单调递增;
    时,,,单调递减.
    所以

    根据对号函数性质知,
    当时,,所以,
    又函数在上的最大值在区间内,且为整数,
    所以.
    【易错提醒】
    1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故含参数时,需注意是否分类讨论.
    2.已知函数最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决.
    【变式训练】
    变式6-1.(2023·北京·北京市第十中学校考三模)设函数.
    ①若存在最大值,则实数的一个取值为___________.
    ②若无最大值,则实数的取值范围是___________.
    【答案】 (答案不唯一,满足即可)
    【分析】利用导数可求得的单调性和极值,由此可得与的图象,结合图象分析即可得到结果.
    【详解】令,则,
    当时,;当时,;
    在上单调递增,在上单调递减,
    极大值为,极小值为;
    令,即,解得:或;
    由此可作出与图象如下图所示,
    对于①,结合图象可知:若存在最大值,则,的一个取值为;
    对于②,若无最大值,只需,解得:,即;
    故答案为:(答案不唯一,满足即可);.
    变式6-2.(2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测)设函数.
    (1)求的极值;
    (2)已知,有最小值,求的取值范围.
    【答案】(1)极大值为,无极小值
    (2)
    【分析】(1)求导后,根据正负可得单调性,结合极值定义可求得结果;
    (2)由可得,令,可将表示为;构造函数,求导后,分别在和的情况下,讨论得到单调性,进而确定符合题意的的取值范围.
    【详解】(1)由题意知:定义域为,,
    ,,
    当时,;当时,;
    在上单调递增,在上单调递减;
    的极大值为,无极小值.
    (2)可化为,
    为单调递增函数,
    由可得:,即,
    令,则,,,,

    令,

    令,

    ①当时,恒成立,在上单调递增,
    ,即,在上单调递增,
    此时在上不存在最小值,即不存在最小值,不合题意;
    ②当时,若,则;若,则;
    在上单调递减,在上单调递增,
    又,,又,
    存在,使得,且当时,,即;当时,,即;
    在上单调递减,在上单调递增,
    ,即有最小值;
    综上所述:实数的取值范围为.
    【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解;求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量,将利用来表示,从而减少变量个数,将问题转化为关于的函数的单调性的讨论问题.
    一、单选题
    1.(2022·全国·统考高考真题)当时,函数取得最大值,则( )
    A.B.C.D.1
    【答案】B
    【分析】根据题意可知,即可解得,再根据即可解出.
    【详解】因为函数定义域为,所以依题可知,,,而,所以,即,所以,因此函数在上递增,在上递减,时取最大值,满足题意,即有.
    故选:B.
    2.(2023·全国·高三专题练习)设和是函数的两个极值点.若,则( )
    A.0B.1C.2D.3
    【答案】D
    【分析】求导,由题意和是方程的两根,结合已知条件与韦达定理即可求出结果.
    【详解】函数,

    又和是函数的两个极值点,
    则和是方程的两根,
    故,,
    又,则,
    即,则,经检验判别式大于0.
    故选:D.
    二、多选题
    3.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知函数,下列说法错误的是( )
    A.若,则函数图象在处的切线方程为
    B.若,则函数是奇函数
    C.若,则函数存在最小值
    D.若函数存在极值,则实数的取值范围是
    【答案】BC
    【分析】对于A:根据导数的几何意义求出切线方程可知A正确;对于B:根据偶函数的定义判断可知B错误;对于C:利用导数得在上为单调递减函数,可知C错误;对于D:根据有零点,求出的范围,可知D正确.
    【详解】对于A:,;,,
    所以切线方程为,所以A正确.
    对于B:函数的定义域是,若,则,
    所以

    所以是偶函数,所以B错误.
    对于C:时,,
    则,所以在上为单调递减函数,无最小值,所以C错误.
    对于D:,若函数存在极值,
    则有零点,令,即,
    .
    因为,所以,即,解得:,故D正确.
    故选:BC.
    4.(2023·全国·高三专题练习)若函数既有极大值也有极小值,则( ).
    A.B.C.D.
    【答案】BCD
    【分析】求出函数的导数,由已知可得在上有两个变号零点,转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
    【详解】函数的定义域为,求导得,
    因为函数既有极大值也有极小值,则函数在上有两个变号零点,而,
    因此方程有两个不等的正根,
    于是,即有,,,显然,即,A错误,BCD正确.
    故选:BCD
    三、填空题
    5.(2022·贵州安顺·统考模拟预测)已知正三棱柱内接于球O,若该三棱柱的体积是,则球O表面积的最小值为______________.
    【答案】
    【分析】设正三棱柱的底边长为,高为,由已知根据棱柱的体积公式,可得出.作图确定外接球的球心以及底面三角形外接圆的圆心,构造直角三角形,根据勾股定理,表示出.设,求导根据导函数得出函数的最小值,即可得出答案.
    【详解】设正三棱柱的底边长为,高为,则由已知可得,
    所以有,所以.
    如图,设为外接圆的圆心,为三棱柱外接球的球心,外接球的半径为,
    则平面,且.
    又,,
    所以,即.
    设,则.
    由可得,.
    解可得,,所以在上单调递减;
    解可得,,所以在上单调递增.
    所以,在处取得极小值,也是最小值,
    所以,有最小值3,此时,
    所以,球O表面积的最小值为.
    故答案为:.
    6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,的最小值分别为,则的大小关系为______.
    【答案】/
    【分析】首先证明,然后利用同构法求得最小值,利用同构法求得最小值,从而确定答案.
    【详解】令,则,
    ∵当时,;当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递减,
    所以,
    所以,

    (当且仅当时“”成立),
    所以,所以

    (因为,所以“”不成立),
    所以,所以,
    所以.
    故答案为:
    7.(2023·河南·襄城高中校联考三模)已知正数满足,若函数有且仅有一个极值点,则实数m的最大值为______.
    【答案】0
    【分析】根据题意化简得到,令,利用导数求得在上单调递增,即,所以,利用导数得出在上有且仅有一个变号零点,令,,转化为与的图象在上只有一个交点,分、和,三种情况讨论,结合图象,即可求解.
    【详解】因为,即,所以,所以,
    令,则,所以在上单调递增,
    所以,即,所以,故,
    若函数有且仅有一个极值点,则在上有且仅有一个变号零点,
    令,,则问题转化为函数与的图象在上只有一个交点,且交点左右的符号不同,
    ①当时,,令,得;令,,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以是的极大值点,符合题意;
    ②当时,若函数,的图象在上只有一个交点,
    则函数,的图象相切,
    作出函数和的大致图象,如图(1)所示,
    数形结合可得交点左右的符号相同,不符合题意;
    ③当时,无论m为何值,函数和的图象在上都有且只有一个交点,
    作出函数和的大致图象,如图(2)所示,
    数形结合可得交点左右的符号不同,符合题意.
    综上,实数的最大值为.
    故答案为:.

    8.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数,若恰有两个极值点,则实数的取值范围是_________.
    【答案】
    【分析】分析的单调性可知,的对称轴是极值点,则,此时在上单调递减,要使在上单调递增,则,即可求出答案.
    【详解】∵,为连续函数,为单调函数,
    所以在上无极值点;
    又在上至多有一个极值点,
    则的对称轴为,
    要使恰有两个极值点,
    ∴和是必为的两个极值点,
    ∴,解得:,所以是的极大值点,
    又在上单调递减,要使为的极值点,
    则在上单调递增,∴;
    综上所述:实数的取值范围为.
    故答案为:.
    9.(2023·广东·校联考模拟预测)已知函数,若函数在处取得极小值,则的取值范围为______.
    【答案】
    【分析】考查 的单调性,令,即 或,单调递增,设方程 的根为,通过对分类讨论,研究函数 的单调性即可得出.
    【详解】,
    考查 的单调性,令,即,
    或,
    即 或,
    单调递增,设方程 的根为
    ①若,则不等式组 的解集为和,,
    此时 在和,上单调递增,在 上单调递减,与在处取极小值矛盾;
    ②若,则不等式组 的解集为和,此时在上单调递增,与在处取极小值矛盾;
    ③若,则不等式组 的解集为 和,
    此时在 和上单调递增,在,上单调递减,满足在处取极小值,
    由单调性,.
    综上所述:.
    则的取值范围为.
    故答案为:.
    10.(2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)函数在___处取得极小值,且极小值为___.
    【答案】 2 /
    【分析】利用导数求得的单调性,进而依据函数极值的定义求得极小值点和极小值.
    【详解】,则,
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增,
    则时取得极小值,且极小值为
    故答案为:2,
    四、解答题
    11.(2023·全国·高三专题练习)设函数,已知曲线在点处的切线斜率为.
    (1)求a,b的值;
    (2)设函数,求的最小值.
    【答案】(1),
    (2)
    【分析】(1)将点代入函数解析式求得b,利用导数的几何意义可求得a,即得答案.
    (2)结合(1)的结论,可得解析式,利用导数判断其单调性,求得极值点,即可求得最值.
    【详解】(1)由题意知点在曲线上,故,即,
    则,所以,
    又曲线在点处的切线斜率为,
    则,解得,
    综上得,.
    (2)由(1)知,,
    则,,则,
    令,解得,
    则当时,,在上单调递减;
    当时,,在上单调递增,
    即函数在时取得极小值,也是最小值,
    所以.
    所以的最小值为.
    12.(2023·全国·模拟预测)已知函数,.
    (1)讨论函数的最值;
    (2)若函数有两个极值点,求实数a的取值范围.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)
    【分析】(1)求出函数的导数,分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值;
    (2)将题意转化为函数有两个变号零点,对求导,分类讨论和,的单调性与最值,只要即可.
    【详解】(1)函数的定义域为,,
    当时,,在上单调递增,无最值;
    当时,令,得,所以在上单调递减;
    令,得,所以在单调递增,
    所以的最小值为,无最大值.
    综上,当时,无最值;当时,的最小值为,无最大值.
    (2)由题,,定义域为,
    所以.
    因为有两个极值点,所以有两个变号零点.
    令,则,易知函数在上单调递增,
    则函数有两个变号零点可转化为函数有两个变号零点.

    当时,,得,所以在上单调递减.
    当时,令,所以在上单调递增.
    所以.
    要使有两个变号零点,需,解得.
    当时,,,
    所以在和上各有一个变号零点,符合题意.
    综上,实数a的取值范围为.
    【点睛】方法点睛:函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略:
    (1)分类参数法:一般命题情境为给出区间,求满足函数极值或极值点个数的参数范围,通常解法为从中分离参数,然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围;
    (2)分类讨论法:一般命题情境为没有固定的区间,求满足函数极值或极值点个数的参数范围,通常解法为结合函数的单调性,先确定参数分类标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即可为所求参数的范围.x
    (−∞,1)
    1
    (1,+∞)
    f'(x)
    +
    0

    f(x)

    极大值

    x
    (−∞,1)
    1
    (1,1a)
    1a
    (1a,+∞)
    f'(x)
    +
    0

    0
    +
    f(x)

    极大值

    极小值

    x
    (−∞,1a)
    1a
    (1a,1)
    1
    (1,+∞)
    f'(x)
    +
    0

    0
    +
    f(x)

    极大值

    极小值

    x
    (−∞,1a)
    1a
    (1a,1)
    1
    (1,+∞)
    f'(x)

    0
    +
    0

    f(x)

    极小值

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