【2023届必备】2023版高考一轮复习训练10　导数与函数的极值、最值

训练10　导数与函数的极值、最值

一、单选题

1．对于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　)

A．有最小值   B．有最小值－

C．有最大值   D．有最大值－

答案　C

解析　f′(x)＝，

令f′(x)>0，得x<1，令f′(x)<0，得x>1，

所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，

在(1，＋∞)上单调递减，

故x＝1是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，

故函数f(x)的最大值为f(1)＝.

2．已知函数f(x)＝(x2＋a2x＋1)ex，则“a＝”是“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　f′(x)＝[x2＋(a2＋2)x＋a2＋1]ex

＝(x＋1)(x＋a2＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－a2－1.

①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)2ex≥0.

故f(x)在R上单调递增，f(x)无极小值；

②当a≠0时，－a2－1<－1，

故当x<－a2－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当－a2－1<x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

故f(x)在x＝－1处取得极小值．

综上，函数f(x)在x＝－1处取得极小值⇔a≠0.

所以 “a＝”是“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件．

3．若曲线y＝x2－aln(2x＋1)在x＝1处取得极值，则实数a的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　y′＝2x－，由条件可知，当x＝1时，2－＝0，解得a＝3，

当a＝3时，y′＝2x－＝＝，

当y′>0时，x>1，

函数的单调递增区间是(1，＋∞)，

当y′<0时，－<x<1，函数的单调递减区间是，所以当x＝1时，函数取得极小值，满足条件．

所以实数a的值是3.

4．已知函数f(x)＝ln x－x＋a恰有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－∞，1)

C．(－1，＋∞)   D．(1，＋∞)

答案　D

解析　令f(x)＝ln x－x＋a＝0，得a＝－ln x＋x.设g(x)＝－ln x＋x，则g′(x)＝－＋1＝.由g′(x)>0，得x>1；由g′(x)<0，得0<x<1.所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(1)＝1，即a>1.

二、多选题

5．已知函数f(x)＝excos x，则下列有关f(x)的叙述正确的是(　　)

A．在x＝0处的切线方程为y＝x＋1

B．在上是减函数

C．x＝是极大值点

D．在上的最小值为0

答案　ACD

解析　f(x)＝excos x，

所以f′(x)＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x)，

f(0)＝1，f′(0)＝1－0＝1，

所以函数在x＝0处的切线方程为y－1＝x－0，即y＝x＋1，A正确；

f′(x)＝ex(cos x－sin x)，当x∈时，cos x>sin x，

所以cos x－sin x>0，

所以f′(x)>0，所以函数在上是增函数，B错误；

f′(x)＝ex(cos x－sin x)，当x∈时，cos x>sin x，f′(x)>0，

当x∈时，cos x<sin x，f′(x)<0，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以x＝是极大值点，C正确；

 由B，C可知，当x∈时，f′(x)>0 ，函数单调递增，

当x∈时，f′(x)<0，函数单调递减，

f ＝cos ＝0，

f ＝cos＝0.

所以函数在上的最小值为0，D正确．

6．已知函数f(x)＝x2ln x，下列说法正确的是(　　)

A．当x>1时，f(x)>0；当0<x<1时，f(x)<0

B．函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)

C．函数f(x)的值域为

D．f(x)≥x－1恒成立

答案　ACD

解析　对于选项A，当0<x<1时，ln x<0，当x>1时，ln x>0，故选项A正确；

对于选项B，f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)>0，可得2ln x＋1>0，有x>，可知函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，故选项B错误；

对于选项C，由上可知f(x)min＝f ＝ln ＝－，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故选项C正确；

对于选项D，f(x)≥x－1⇔x2ln x－x＋1≥0⇔ln x－＋≥0，令g(x)＝ln x－＋，有g′(x)＝＋－＝＝，令g′(x)>0，可得x>1，故函数g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，可得g(x)min＝g(1)＝0，故选项D正确．

三、填空题

7．当x∈[0,2π]时，函数f(x)＝xsin x＋cos x的最大值与最小值的和为________．

答案　－π

解析　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，

当x∈∪时，f′(x)≥0；

当x∈时，f′(x)≤0，

∴f(x)在，上是增函数，

在上是减函数，f(0)＝1，f ＝，

f ＝－，f(2π)＝1，

∴f(x)的最大值为，最小值为－，

它们的和为－π.

8．(2022·深圳光明区模拟)函数f(x)＝－2x－|ln x|＋2的最大值为____________．

答案　1－ln 2

解析　由题意知，当x≥1时，

f(x)＝－2x－ln x＋2，

∴f′(x)＝－2－<0，

∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数，

∴f(x)max＝f(1)＝0，

当0<x<1时，f(x)＝－2x＋ln x＋2，

∴f′(x)＝－2＋＝，

∴当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，

∴f(x)max＝f ＝1－ln 2>0,

综上可知，f(x)max＝1－ln 2.

四、解答题

9．已知函数f(x)＝2xln x＋ax2，g(x)＝4ln x＋1.

(1)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求a的取值范围；

(2)若a≥1，证明：f(x)≥g(x)．

(1)解　因为函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

所以f′(x)＝2ln x＋2＋2ax≤0在(0，＋∞)上恒成立，则a≤－－在(0，＋∞)上恒成立；

令h(x)＝－－，x>0，

则h′(x)＝－＋＝，

令h′(x)<0，得0<x<1，h(x)单调递减；

令h′(x)>0，得x>1，h(x)单调递增，

则h(x)的最小值为h(1)＝－1，所以a≤－1.

(2)证明　令F(x)＝f(x)－g(x)

＝2(x－2)ln x＋ax2－1，

当a≥1时，F(x)≥2(x－2)ln x＋x2－1.

令m(x)＝2(x－2)ln x＋x2－1，m′(x)＝2＋2x＝2，

令t(x)＝m′(x)，t′(x)＝2>0，所以m′(x)在(0，＋∞)上单调递增．

因为m′(1)＝0，所以当0<x<1时，m′(x)<0，m(x)单调递减；

当x>1时，m′(x)>0，m(x)单调递增，故m(x)≥m(1)＝0，满足条件，

所以当a≥1时，f(x)≥g(x)．

10．已知函数f(x)＝x2－2aln x，g(x)＝x2－x＋2－2ln 2.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a＝1时，判断g(x)－f(x)的零点个数．

解　(1)f′(x)＝2x－＝(x>0)，

故当a≤0时，f′(x)≥0，

所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

当a>0时，令f′(x)>0，得x>，

所以函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，

令f′(x)<0，得0<x<，

所以函数f(x)在(0，)上单调递减，

综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

当a>0时，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递减．

(2)设F(x)＝g(x)－f(x)＝2ln x－x＋2－2ln 2，

则F′(x)＝－1，令F′(x)＝0，解得x＝2，

当x∈(0,2)时，F′(x)>0，

所以F(x)在(0,2)上单调递增；

当x∈(2，＋∞)时，F′(x)<0，

所以F(x)在(2，＋∞)上单调递减，

故F(x)的最大值为F(2)＝0，

所以g(x)－f(x)有且只有一个零点．