（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第11讲 导数与函数的极值、最值（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.
(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在[a，b]上的最值
如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
考点和典型例题
1、利用导数求函数的极值
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函数在处有极值10，则（ ）
A．6B．C．或15D．6或
【训练1-1】（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（ ）
A．B．1C．D．
【训练1-2】（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【训练1-3】（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
【训练1-4】（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2、利用导数求函数的最值
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．1C．D．2
【典例2-2】（2022·北京通州·高二期中）设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-3】（2022·上海交大附中高二期中）函数的定义域为，解析式.则下列结论中正确的是（ ）
A．函数既有最小值也有最大值B．函数有最小值但没有最大值
C．函数恰有一个极小值点D．函数恰有两个极大值点
【训练2-1】（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【训练2-2】（2022·四川·模拟预测（理））对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
【训练2-3】（2022·北京市第三十五中学高二期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值；
(3)画出的草图(要求尽量精确).
【训练2-4】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
3、综合应用
【典例3-1】（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知函数在处取得极值.
(1)求在上的最小值；
(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
【典例3-2】（2021·天津市第一0二中学高三期中）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的极大值点与极小值点；
(3)求在区间上的最大值与最小值．
【训练3-1】（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值及在上的解析式；
(2)若在区间上有极值，求的取值范围.
第11讲 导数与函数的极值、最值
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.
(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在[a，b]上的最值
如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
考点和典型例题
1、利用导数求函数的极值
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【详解】
由导函数在区间内的图象可知，
函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数在开区间内的极小值点有个，
故选：A.
【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
所以的极大值为，
故选：B.
【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函数在处有极值10，则（ ）
A．6B．C．或15D．6或
【答案】B
【详解】
，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
【训练1-1】（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【详解】
，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．
故选：C
【训练1-2】（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，由函数有两个极值点，
则等价于有两个解，即与有两个交点，
所以.
直线过点
由在点处的切线为，显然直线过点
当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，
，
令，则，
所以单调递增，，即，
故选： D.
【训练1-3】（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
【答案】(1)，
(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.
【解析】(1)
，由条件可知和，
即，解得：，，
所以，
检验：
经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；
(2)
，解得：，
所以

有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是
，函数的极大值是，函数的极小值是.
【训练1-4】（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
2、利用导数求函数的最值
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【详解】
解：，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值．
故选：A.
【典例2-2】（2022·北京通州·高二期中）设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由得，
令,得，令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，为，
因为无最小值，所以，解得.
故选：A
【典例2-3】（2022·上海交大附中高二期中）函数的定义域为，解析式.则下列结论中正确的是（ ）
A．函数既有最小值也有最大值B．函数有最小值但没有最大值
C．函数恰有一个极小值点D．函数恰有两个极大值点
【答案】A
【详解】
， ；
令 ，则 或 ；
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数单调递增；
当 时，，此时函数 单调递减；
当 时，，此时函数单调递增，
在 时取得极小值，在 时取得极大值，故C，D错误；
；
， ；
函数 既有最小值也有最大值；
故答案为：A
【训练2-1】（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
方法一：由题意得：；
令，则，在上单调递增，
又，当时，，，使得，
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
；
由得：，
即，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，.
方法二：令，则当时，，
令，则，
当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
，即.
故选：A.
【训练2-2】（2022·四川·模拟预测（理））对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】C
【详解】
由题，令，则所以，令
，则，令，
则，则即在时单调递增，
又，则时时，
所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．
故选：C．
【训练2-3】（2022·北京市第三十五中学高二期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值；
(3)画出的草图(要求尽量精确).
【答案】(1)增区间为，减区间为；
(2)最小值为，最大值为；
【解析】(1)
由题设，
所以、上，上，
所以的单调增区间为、，单调减区间为.
(2)
由（1）可得如下列表：
当时，在的最小值为，
当或时，在的最大值为.
(3)
结合（1）的结论，函数图象如下：
【训练2-4】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为和；
(2)最大值为，最小值为.
【解析】(1)
函数的定义域为，，
由，可得，
当或时，，当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为和.
(2)由（1）知在上单调递减，在上单调递增.
又，
的最大值为，最小值为.
3、综合应用
【典例3-1】（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知函数在处取得极值.
(1)求在上的最小值；
(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：因为，所以，
在处取得极值，，即解得，
，所以，所以当或时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在上的最小值为.
(2)解：由（1）知，，
若函数有且只有一个零点，
则方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，函数图象如下所示：
或，得或，
即b的取值范围为.
【典例3-2】（2021·天津市第一0二中学高三期中）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的极大值点与极小值点；
(3)求在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)；(2)极小值点为，极大值点为；
(3)，.
【解析】(1)
由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
(2)令，解得：或，
则变化情况如下表：
的极小值点为，极大值点为；
(3)由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
【训练3-1】（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值及在上的解析式；
(2)若在区间上有极值，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，取得，
即，所以，
所以时.
设，则，所以，
又，所以，所以.
(2)
解：由可知在处取得极值，
所以或，
解得或，即，
所以的取值范围是.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
4
7
递增
递减
递增
0
4
7
4
极小值
极大值