2021-2022学年云南省丽江市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年云南省丽江市高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某中学有高中生人，初中生人．为了了解学生的身体状况，用比例分配的分层随机抽样方法，从该校学生中抽取容量为的样本，其中高中生有人，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图像可能是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是．(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，为正实数，且，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

11. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆，则面积的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设向量，的夹角为，且，，则______．
14. 展开式中的系数为______ ．
15. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______．
16. 如图，是正方体的一个“直角尖”两两垂直且相等棱的中点，是中点，是上的一个动点，连接，则当与所成角为最小时，：______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知递增的等差数列中，，且，，成等比数列．
    Ⅰ求数列的通项公式；
    Ⅱ设，求数列的前项和．
18. 的内角，，的对边分别为，，，．
    Ⅰ求；
    Ⅱ若，求．
19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，为的中点，．
    求证：平面；
    求二面角的大小．

20. 某校从参加考试的学生中抽出名学生，将其成绩均为整数分成六组，，，后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
    Ⅰ求成绩落在上的频率，并补全这个频率分布直方图；
    Ⅱ估计这次考试的平均分，中位数和众数；
    Ⅲ为调查某项指标，从成绩在，分数段组的学生中用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中选人进行对比，求选出的这名学生来自同一分数段的概率．

21. 已知椭圆的离心率为，且过点．
    Ⅰ求的方程；
    Ⅱ若，是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
22. 已知函数．
    当时，讨论的单调性；
    当时，，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，
，
故选：．
利用复数的运算，共轭复数，即可解出．
本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由分层抽样的性质得：，
解得．
故选：．
利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．
本题考查分层抽样方法，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据集合的基本运算即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，即可解出．
本题考查了三角函数的求值，二倍角公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，
，则是奇函数，图象关于原点对称，排除，，
当时，，
当，，排除，
故选：．
判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及极限思想进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：与的夹角为锐角，
，且，
且，
则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：．
先求出与的夹角为锐角的等价条件，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了向量夹角为锐角的求法，充要条件的判定，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，
设善走男每天走的路程为，则数列为等差数列，设公差为，则，
由题意，，可得，
解得该善走男第日所走的路程里数为，
故选：．
由题意，利用等差数列前项和公式即可求出公差．
本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，为正实数，且，
，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值是，
故选：．
利用乘“”法，再结合基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，使用移动支付的人数服从二项分布，
则，解得或，
又，即，化简得，解得，所以．
．
故选：．
说明使用移动支付的人数服从二项分布，利用，求出概率，通过，列出不等式，判断概率，最后求期望即可．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，为增函数，且，
是偶函数，
不等式等价为，
即，得或，
得或，
即不等式的解集为，
故选：．
根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：易得，，所以，
由圆，得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以的最小值为：；最大值为，
故选：．
将面积的最值问题转化为圆心到直线的距离加减半径可得．
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为；
因为即；
令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；
且；
故选：．
先根据指数函数以及对数函数的性质得到；再借助于函数的单调性即可求解结论．
本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为向量的夹角为，且，
所以，
所以．
故答案为：．
根据数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得．
本题考查了数量积的运算律，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，可得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：
由二项展开式的通项即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线与直线垂直，
，解得．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
 

16.【答案】： 

【解析】解：根据题意，，，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：

设，则，，，，，，
不妨设点的坐标为，
则，
则，
又，
设直线，所成角为，则，
则，
令，令，
则，
令，则，此时，
故当时，取得最大值，此时最小，点，
则，故，则，
即：：，
故答案为：：．
根据题意，建立空间直角坐标系，求得与夹角的余弦值关于点坐标的函数关系，求得角度最小时点的坐标，即可代值计算求解结果
本题考查了异面直线所成角的应用，属于综合题．
 

17.【答案】解：递增的等差数列中，，且，，成等比数列；
所以，解得：；
所以；
由得：；
所以． 

【解析】直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；
利用裂项相消法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由题意得：，
即，
由正弦定理可得，
所以，所以；
Ⅱ根据条件，由正弦定理得：，
即，
，整理得：，
而，所以，
． 

【解析】Ⅰ运用正弦定理和余弦定理即可求解；
Ⅱ运用正弦定理和辅助角公式即可求解．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

19.【答案】证明：如图所示，将四棱锥放入一个长方体，
设长方体的高为，则，，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则，
据此可得平面的法向量，
且，，
从而有平面．
设平面的法向量为，
则，
据此可得，
故二面角的余弦值为，
则． 

【解析】由题意首先将图形补行为长方体，然后利用空间向量即可证得线面平行；
首先确定两个半平面的法向量，然后求解面积的余弦值即可确定二面角的大小．
本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，二面角的相关计算等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由题意得，
所以这一组在频率分布直方图上的高为，
补全的频率分布直方图如下所示：

Ⅱ平均分为：，
前三组的频率之和为，第四组频率为，所以中位数在第四组，中位数为：，
第四组频率最大，所以众数为：；
Ⅲ成绩在有人，成绩在有人，
现按照比例分配的分层随机抽样方法抽取人，则成绩在抽取的人数为人，成绩在抽取的人数为人，
从这人中选人有种选法，选出的这名学生来自同一分数段有种，
所以，选出的这名学生来自同一分数段的概率为． 

【解析】Ⅰ由各组的频率和为，可求出上的频率，从而可补全这个频率分布直方图；
Ⅱ直接由平均数的公式计算平均数，由前三组的频率之和为，第四组频率为，知中位数在第组，从而可求出中位数，由于第组的频率最大，所以众数在第组；
Ⅲ根据频率分布直方图求出，的人数，然后利用分层抽样的定义，可求出各组抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题意得，，解得，
所以的方程为．
Ⅱ圆的圆心为，半径圆，
当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或，
解得，
所以．
当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以．
当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以，得，
联立方程组，消并化简得，
，
设，，则，
所以，
而，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上所述，的取值范围是． 

【解析】Ⅰ根据已知条件求得，，，由此可求得椭圆的方程．
Ⅱ对直线斜率分成不存在、直线的斜率为、直线的斜率不为三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得的取值范围．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与圆、与椭圆的位置关系的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，
，设，
因为，可得在上递增，即在上递增，
因为，所以当时，；当时，，
所以的增区间为，减区间为；
当时，恒成立，
当时，不等式恒成立，可得；
当时，可得恒成立，
设，则，
可设，可得，令，，
由，可得恒成立，可得在递增，
所以，
即恒成立，即在递增，所以，
再令，可得，当时，，在递增；
时，，在递减，
所以，
所以，
综上可得的取值范围是． 

【解析】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，导数中的恒成立与存在性问题，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．
求得时，的解析式，两次对求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；
讨论，不等式恒成立；时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．