2021-2022学年云南省玉溪市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年云南省玉溪市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，在复平面内，对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 的展开式中的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 记为等比数列的前项和．若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 直线与抛物线交于，两点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数有两个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知正方体的棱长为，则(    )

A.  B. 平面
C. 三棱锥的体积为 D. 点到直线的距离为

10. 已知，，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知函数，则(    )

A. 是偶函数 B. 在区间单调递增
C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于直线对称

12. 已知，，，，则下列结论正确的是(    )

A. 若是的重心，则
B. 若是的内心，则
C. 若是的垂心，则
D. 若是的外心，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．
14. 安排名同学去听个课外知识讲座，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案共有______种．
15. 已知长方体的所有顶点在同一个球面上，若，，，则该球的表面积等于______．
16. 已知是双曲线：的一个焦点，为坐标原点，是双曲线上一点，若是等边三角形，则双曲线的离心率等于______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知数列满足，．
    证明是等差数列；
    若，求数列的前项和．
18. 某地农户种植一种经济作物，这种经济作物的成品分为三个等级，由一家公司全部按定价收购，为了解当地农户今年种植这种经济作物的情况，从去年的种植户中随机抽取了户，得到这户的种植面积单位：亩、三个等级成品总产量单位：和公司收购价单位：元情况如下表所示：把样本的频率视为概率．

试估计，在当地种植该经济作物，收获成品的平均亩产量和成品等级为一级的概率；
公司规定，农户上交成品前，应按等级标准先分为三级，再分别按照每公斤一捆进行捆绑现从公司收购来的大量成品中随机抽出捆，设这捆成品的收购价值为，试求的数学期望．

19. 在平面内，四边形的内角与互补，，连结，，
    求；
    若的面积为，求四边形的周长．
20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．
    证明：平面；
    若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．

21. 已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
    求的方程；
    设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．
22. 已知函数，．
    讨论的单调性；
    若对任意，，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
，
故选：．
直接求交集运算即可得解．
本题考查集合基本运算，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得，
所以对应的点为，位于第四象限．
故选：．
根据复数的几何意义与四则运算法则计算．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
故选A．
直接代入二倍角公式即可得到答案．
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用．二倍角的余弦公式：
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于容易题．
在的展开式通项公式中，令的指数为，求出的值，即可得到展开式中的系数．

【解答】

解：的展开式通项公式为，
令可得展开式中的系数是，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：直线经过点，且与圆相切，
，
直线的方程为，
即．
故选：．
直线经过点，且与圆相切可知，再使用点斜式即可．
本题考查直线与圆相切，圆的性质，直线的点斜式方程的应用，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：为等比数列的前项和，
根据等比数列的性质可知，，，成新的等比数列，
又，，，新公比为，
，，
，
故选：．
根据等比数列的性质即可求解．
本题考查等比数列的性质，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线方程为，其焦点，准线方程为，
直线过点，
联立直线方程与抛物线方程可得：，
设，，
则，
根据抛物线的定义可得焦点弦的长度为：
．
故选：．
先联立直线方程与抛物线方程得的一元二次方程，再根据抛物线的定义得焦点弦的弦长公式，最后结合根与系数的关系即可求解．
本题考查抛物线的焦点弦问题，设而不求法，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数有两个零点，
有个不等实根，
即有个不等实根，
与有两个交点，
又，，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
又，且时，；时，
作出的图象如下：

数形结合可得与有两个交点时，满足的条件为：
，，
的取值范围是．
故选：．
先将函数的零点个数转化为方程的根的个数，再转化成两图形交点个数，接着利用导数研究函数的单调性与最值，最后再数形结合即可得解．
本题考查函数的零点与方程的根，利用导数研究函数的单调性与最值，数形结合思想，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，连接，由于，因此与所成角的大小等于与所成角的大小，
在中，易知其三边都相等，故BC与所成的角为，从而与所成角的大小为，故A不正确；
对于，连接，
因为正方体中，，，，所以平面，所以，
同理可得，又，所以平面，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，易知是边长为的等边三角形，点到直线的距离为，
由等面积法有，解得，故D不正确；
故选：．

根据异面直线的定义，线面垂直的判定定理，几何体的体积求解方法依次讨论各选项即可得答案．
本题考查了立体几何的综合问题，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，，且，，即，
当且仅当时，等号成立，A正确；
同理对于，，即，
当且仅当时，等号成立，D正确；
对于，利用分析法：要证，只需证：，
即证，，，且，，，B正确；
对于，，
当且仅当时，等号成立，C错误；
故选：．
对于、可依据待证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形式子进行推理判断；对于，利用分析法来判断；对于，观察式子结构特征，利用对数运算法则，将真数化为积的形式，利用基本不等式得出命题的真假．
本题考查基本不等式的应用，综合法与分析法的应用，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：．
因为为偶函数，所以为偶函数．故A正确；
对于：当时，．
因为在上递增，在上单减，
所以在区间不单调．故B错误；
对于：因为，
所以的图像关于点对称．故C正确；
对于：因为，
所以的图像关于直线对称．故D正确；
故选：．
对于：先化简，再借助于为偶函数进行判断；对于：利用复合函数的单调性法则直接判断；对于、：利用代入法进行判断．
本题考查三角函数的性质，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，，，，，三点共线，则，
过作，分别平行于，，则，，，
由平行线分线段成比例得，同理，，
，若是的重心，则为的中点，所以，A正确，
，，，，，，
若是的内心，则直线平分，，
即，B错误，
，，，，若是的垂心，则在轴上，
设，则，，
又，，，C正确，
，若是的外心，，线段的中垂线的斜率为，且的中点为，
线段的中垂线为，即，又线段的中垂线为，
联立得，，则，，
由于，，，
，解得，则，D正确，
故选：．
根据三角形各心的性质求出对应的，的值或比值，即可得到答案．
本题考查了平面向量基本定理，平面向量的坐标运算，考查，和的几何性质，三角形内心、外心、重心、垂心的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品为事件，
则由题可知，，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件，
则由题可知，，
由题可知、、、互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
．
故答案为：．
根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：先按，，的方式分三组，再将三组分配到三个知识讲座，
则不同的安排方案共有：种．
故答案为：．
先按，，的方式分三组，再将三组分配到三个知识讲座即可求解．
本题考查分组分配问题，平均分组问题，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：长方体中设，，，可得，
可得，可得，三式相加可得，
长方体的体对角线是外接球的直径，可得，
所以半径为，球的表面积为．
故答案为：．
长方体的体对角线是外接球的直径，由此可求得球半径和表面积．
本题考查了长方体外接球表面积的计算，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，由是边长为的等边三角形，
可设为双曲线第一象限上的点，
可得，
代入双曲线的方程可得，
由及，
可得，
即为，
解得舍去，
可得．
故答案为：．
设，由是边长为的等边三角形，可设为双曲线第一象限上的点，可得，代入双曲线的方程，由离心率公式和，，的关系，解方程即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：证明：，

，
又，
是以为首项，为公差的等差数列；
由知，
，

，
数列的前项和
． 

【解析】根据等差数列的定义即可证明；
先由求出，从而得，再利用裂项求和法即可求解．
本题考查等差数列的定义，裂项求和法，属中档题．
 

18.【答案】解：由表可得，在当地种植该经济作物，收获成品的平均亩产量为：
．
亩的总产量为，一级总产量为．
则产品等级为一级的概率；
由知，产品等级为一级的概率为，
由表可得，产品等级为二级的概率为，
则产品等级为三级的概率为．
捆成品的收购价值的期望元． 

【解析】直接由图表求出平均亩产量，由一等品的产量除以总产量可得成品等级为一级的概率；
分别求出产品等级为一、二、三级的概率，可得一捆价值的期望，乘以得答案．
本题考查离散型随机变量的期望的求法，正确理解题意是关键，是中档题．
 

19.【答案】解：如图所示：

由内角与互补，可得：，
在中由正弦定理得：
在中由正弦定理得：
故，即，
解得：，
在中，，故AD，
由余弦定理得：，
即，
解得：，，或，，
当，时，，即，
则，此时四边形的周长为：，
当，时，，即，
不满足条件，
故四边形的周长为： 

【解析】由正弦定理，结合四边形的内角与互补，，连结，，，可得；
由的面积为，结合余弦定理可得，，进而得到四边形的周长．
本题考查的知识点是正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，难度中档．
 

20.【答案】解：证明：如图，取的中点，连接，，
又是的中点．，且，
又底面是矩形，是的中点．，且，
，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
平面平面，平面平面，
又底面是矩形，，
平面，平面，
，又为的中点，是边长为的等边三角形，
，又，
平面，又由知，
平面，又平面，
平面平面，又平面平面，
直线在平面内的射影为，
即为直线与平面所成的角，
又由平面可得，又为的中点，
，，
在中，，，，
，
，
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】取的中点，连接，，证明即可证明平面；
先证明平面，从而得平面平面，从而再得即为直线与平面所成的角，最后再解三角形即可得解．
本题考查线面平行的判定定理，线面垂直判定定理，面面垂直的判定定理，线面角的定义，属中档题．
 

21.【答案】解：圆的圆心为，半径，
由点在的垂直平分线上，得，
所以，
所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，，
所以的方程为；
证明：当直线的斜率不存在时，易知，
当直线的斜率存在时，设：，，，
则把代入得，
显然，有，，
，
所以，
综上所述，为定值． 

【解析】根据点在的垂直平分线上，得，从而可得，则有的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可得解；
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设：，，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求得，，再证明为定值即可．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力，属中档题．
 

22.【答案】解：数，
，
当时，，又，
，在上单调递增；
当时，令得，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，
综合得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
对任意，，
当时，由知在上单调递增，且时，，
不恒成立，
，
又由知当时，的最小值为，
对任意，，
，
，又，，
，
，且，
设，，
，
在上单调递增，又，
的解集为，
的解集为，
故的取值范围为． 

【解析】将讨论的单调性转化成讨论导函数的符号即可求解；
将恒成立转化成的最小值大于零，再由得的最小值，从而建立参数的不等式，接着再构造新函数，通过研究新函数的单调性解的不等式，从而得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，利用函数的单调性解超越不等式，恒成立问题，分类讨论思想，属中档题．