2021-2022学年云南省德宏州高三（上）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年云南省德宏州高三（上）期末数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 甲、乙两名篮球运动员在场比赛中的得分用茎叶图表示，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是(    )

A. 甲得分的极差是 B. 甲的单场平均得分比乙低
C. 甲有场比赛的单场得分超过 D. 乙得分的中位数是

4. 等差数列的前项和为，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，则点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间单位：分钟的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为参考数据(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

10. 在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知命题：，命题：直线与圆有交点，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，若，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设向量，，若，则______．
14. 已知为正项等比数列的前项和，若，，则等于______．
15. 已知点、在双曲线：上，且关于直线对称，点是线段的中点，则双曲线的离心率等于______．
16. 函数的部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的序号为______．
    的最小正周期为；
    的图象向左平移个单位得到的图象，若图象的一个对称中心是，则的最小值为；
    的图象关于直线对称；
    若，且，则．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 如右下图所示，某人为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底同在水平面内的两个观测点与，在点测得塔底在北偏东方向，然后向正东方向前进米到达，测得此时塔底在北偏东方向．
    求点到塔底的距离；
    若在点测得塔顶的仰角为，求铁塔的高．
    注：结果保留根号

18. 年的疫情让人刻骨铭心，年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全城车辆和行人采取严格的管控措施．该地区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，将志愿者的年龄进行分段统计，并制成频率分布直方图，结果如图表：

求，，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄同一组数据用该组数据区间的中点值表示；
若从年龄在，的志愿者中利用分层抽样选取了人，再从这人中选出人，求这人在同一年龄组的概率．

19. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，且．
    证明：平面平面；
    若，，，求点到平面的距离．

20. 已知函数．
    当时，求曲线在点处的切线方程；
    当有最大值，且最大值小于时，求的取值范围．
21. 已知中心在原点的椭圆的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．
    求椭圆的方程；
    若点的坐标为，点、是椭圆上的两点，点，，不共线，且，证明：直线过定点．
22. 以坐标原点为极点、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为方程为，曲线的参数方程为为参数
    写出直线和曲线的直角坐标方程；
    在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，点为曲线上任意一点，求的取值范围．
23. 已知函数．
    当时，解不等式；
    若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
则．
故选：．
由已知结合集合并集的定义即可直接求解．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
在复平面内对应的点，位于第三象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何含义，即可求解．
本题主要考查了复数的乘除法原则和复数的几何含义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，甲得分的极差为，A错误；
对于，根据茎叶图和折线图可知，
甲的单场平均得分大于，
乙的单场平均得分为，B错误；
对于，根据茎叶图知，有场比赛的单场得分超过，C错误；
对于，乙的中位数为，D正确．
故选：．
根据茎叶图，折线图整合数据，判断选项即可．
本题考查了求平均数、中位数与极差的问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，推出，再结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：是抛物线：上一点，到的焦点的距离为，
则到抛物线的准线的距离是，抛物线的准线方程为：，
所以到轴的距离为．
故选：．
根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，求出准线方程，然后求解即可．
本题主要考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义．是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，又，
，
故，
故选：．
根据对数，指数函数的性质可判断．
本题考查利用指数、对数函数的性质比较大小，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为，高为的半个圆柱．
故．
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．
本题考查的知识要点：几何体的表面积的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，进而利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知，，解得，
所以，．
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为分钟．
故选：．
根据题意写出不等式，再解不等式，即可得到答案．
本题考查了函数在生活的实际运用，也考查了对数、指数的基本运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：将三棱锥中补形为长方体，
则三棱锥的外接球即长方体的外接球，
设长方体的外接球半径为，
则，
则，
即三棱锥外接球的体积等于，
故选：．
将三棱锥中补形为长方体，则三棱锥的外接球即长方体的外接球，然后结合球的体积公式求解即可．
本题考查了几何体的外接球问题，重点考查了球的体积公式，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于命题：直线与圆有交点，
可以等价为圆心到直线的距离小于等于半径，
又圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
解得：或，
又命题：，
或，
即是的充分不必要条件．
故选：．
根据直线与圆的位置关系求出命题中的取值范围，再利用逻辑关系得出结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
，
在定义上单调递减；
又为偶函数，，，
，
则不等式，即，
由得，
故选：．
构造函数，求导，从而得在定义上单调递减；又，从而有，利用的单调性即可求解．
本题考查利用导数求函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：等比数列的公比为，
，，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，则，，
两式相减，得，
，关于直线对称，且线段的中点坐标为，
直线的斜率，，，
，即，
离心率．
故答案为：．
设，，由点差法，结合点关于直线的对称问题和中点坐标公式，可推出，关系，然后求解离心率．
本题考查双曲线的方程与几何性质，熟练运用点差法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由函数的部分图象可得：，
即，即，即，
又，
即，
即，，
又，
则，
即，
对于，的最小正周期为，即正确；
对于，的图象向左平移个单位得到的图象，由图象的一个对称中心是，则，，即，，则的最小值为，即错误；
对于，由，，则，，令，，则无整数解，即错误；
对于，由图可知：，即，即，即正确，
故答案为：．
由三角函数的部分图象求出函数解析式，然后结合三角函数的性质逐一判断即可得解．
本题考查了三角函数的图象，重点考查了三角函数的性质，属基础题．
 

17.【答案】解：由题意可得，，，可得，
由正弦定理可得：，即，
可得；
由可得，
，即，可得，
在中，，
所以．
即铁塔的高为． 

【解析】由题意可得，，的值，进而求出的大小，由正弦定理可得的值；
由及正弦定理可得的值，在直角三角形中，由的正切值可得的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据题意，，
所有志愿者的平均年龄的估计值为岁；
从年龄在，的志愿者中利用分层抽样选取了人，
则年龄在的志愿者有人，记为，，，，
年龄在的志愿者有人，记为，，
若从这人中选人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共种可能的结果，
其中满足在同一年龄组的有，，，，，，共种结果，
所以这人在同一年龄组的概率为． 

【解析】由分布直方图得频率后可得相应人数即值，再由频数分布表可得，同一组数据用该组数据区间的中点值乘以频率然后相加可得估计平均值；
确定两个区间内抽取的人数，把它们编号后，用列举法写出任选人的所有基本事件，并可得出人在同一年龄组的基本事件，计数后由概率公式计算概率．
本题考查由频率分布直方图求频数、平均数，考查古典概型，属于基础题．
 

19.【答案】证明：

，，，
，，又，平面，平面，
平面，平面，平面平面．
解：取的中点，连接，取的中点，连接，如图所示，

，，且，
平面，平面，，
，，平面，平面，即点到平面的距离为，
，
在中，，，，同理，
在等腰中，，，，
，
，点到平面的距离． 

【解析】先证，，再由证，进而证得平面，即可证得平面平面；
取的中点，连接，先证平面，求出，再求出，由等体积法即可求解．
本题主要考查面面垂直的证明，点面距离的计算等知识，属于基础题．
 

20.【答案】解：函数的定义域为，
当时，，
则，则，，
所以切线方程为，即．
函数的定义域为，．
若，则，在上单调递增，无最大值；
若，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以函数在取得最大值，
最大值为，
因此，可得，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，且，
由可得，
所以的取值范围是． 

【解析】当时，求出、，利用点斜式可得出所求切线的方程；
分、两种情况，利用导数判断函数在上的单调性，求出在上的最大值，可得出关于的等式，构造函数，利用函数的单调性解不等式，即可得解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，利用导数研究函数的最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
 

21.【答案】解：抛物线的焦点为，的焦点为，即，焦点在轴
又，，，
椭圆的方程为；
证明：设直线的方程为，则，，
由得，．
即，
则，，
由得，
，即，
，满足题意，
直线恒过定点． 

【解析】根据长轴长与焦点坐标即可求解，，从而求出方程；
设直线的方程为，代入椭圆方程，由得，结合韦达定理即可证明结论．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查了运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意，直线的极坐标为方程为
可得，因为，，
代入可得直线的直角坐标方程为，
又由，可得，
所以曲线的直角坐标方程为．
由直线的普通方程为，可得点，，
又由曲线的方程为，可得其参数方程为为参数，
设，
则其中
因为，所以，
故的取值范围是 

【解析】利用极坐标与普通方程的互化公式，求解直线的方程，参数方程化为普通方程即可．
求出相关的坐标，利用向量的数量积化简求解即可．
本题考查极坐标方程与参数方程化为直角坐标方程的应用，向量的数量积的求法与应用，是中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
故原不等式的解集为
当时，可化为，
或，即存在，使得或，
或，即或，
故实数的取值范围为． 

【解析】当时，，再分类讨论取并集，即可求解．
当时，可化为，再结合绝对值不等式的解法，即可求解．
本题主要考查不等式成立的解法，考查分类讨论的思想，属于中档题．