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云南省丽江市2021-2022学年高一上学期期末质量监测数学试题
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这是一份云南省丽江市2021-2022学年高一上学期期末质量监测数学试题，共14页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
命题学校：丽江市第二中学 命题人：张晓艳 李志远
（全卷三个大题，共22个小题，共7页；满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效.
2．考试结束后，请将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
详解】试题分析：,又，得.
考点：集合的运算.
2. 函数 的定义域是（ ）
A. B. （0，1]
C. D. [0，1]
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组，进而解得答案.
【详解】要使函数有意义，则需满足，解得.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式可得或，
因为或，所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知点为角终边上一点．若角是第二象限角，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的定义列方程，化简求得的值.
【详解】因为，
解得(∵是第二象限角，舍去)或.
故选：D
5. 若，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：D.
6. 函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过函数图象变换的方法，判断出正确选项.
【详解】函数的图象位于第二象限，并以原点为对称中心，在区间和上均为增函数
将函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得的图象
故函数图象以为对称中心，在区间和上均为增函数，
分析四个答案中的图象，只有A满足要求，
故选：A.
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.
7. 丽江市第二中学体育馆旁有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景.有一天因停电导致钟表慢5分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角的概念和弧度的定义即可求得答案.
【详解】因为分针转一周为60分钟，对应的弧度为，将分针拨快是顺时针旋转，因此钟表拨快5分钟，则分针所转过的弧度数为.
故选：B．
8. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象变换即得.
【详解】将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象，
再把图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象.
故选：C.
9. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、均在上为增函数，
所以，函数在上也为增函数，
因为，，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
10. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】讨论k＝0和两种情况，并结合判别式法即可求得答案.
【详解】当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则，于是.
故选：B．
11. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（ ）
A. 2.58m2B. 2.68m2C. 2.78m2D. 2.88m2
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形面积公式来求得扇环的面积.
【详解】设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，
由题意可知，所以，
所以扇形内需要进行工艺制作的面积的估计值为：
.
故选：D
12. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围.
【详解】的定义域为，，所以为奇函数，
在上递增，
由得，
∴，，
解得.
故选：B
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】
先求，进而得出的值．
【详解】，．
故答案为：
14. =__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先用诱导公式进行化简，进而通过两角和的余弦公式即可求得答案.
【详解】=.
故答案为：.
15. 已知，则的最小值是________
【答案】4
【解析】
【分析】利用“1”的妙用，代入， 然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（当且仅当 ，即时取等号）的最小值为 ，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题，利用基本不等式要注意“一正二定三相等”.
16. 定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．下列函数中：①，②，③，④（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是___________．（直接填写序号）；若为线周期函数，则的值___________．
【答案】 ①. ④ ②.
【解析】
【分析】利用线周期函数的定义判断①②③④中的函数，可得出结论；利用线周期函数的定义可得出对任意恒成立，可求得的值.
【详解】根据题意，对于所给的四个函数：
①中，函数，记，则，所以不是线周期函数；
②中，函数，记，有，
所以不是线周期函数；
③中，令，，所以，不是线周期函数；
④中，存在非零整数，函数，记，
有，所以是线周期函数，
综上可得，只有④是线周期函数.
若为线周期函数，
即存在非零常数，对任意，恒成立，
若对任意恒成立，
则必有，且为函数的周期，故.
故答案为：④；.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，利用交集的定义可求得结果；
（2）由题意可得，即可得出实数的可能取值.
【小问1详解】
解：当时，，
因为，因此，.
【小问2详解】
解：因为，则，所以，.
18. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式求出的值，然后利用诱导公式结合弦化切可求得的值；
（2）利用两角差的正切公式可求得的值.
【小问1详解】
解：，所以，.
所以，.
【小问2详解】
解：.
19. 已知定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在R上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（1，2].
【解析】
【分析】（1）设，则，然后将代入已知解析式并根据奇偶性化简，进而求出函数在R上的解析式；
（2）判断出函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合函数的对称性并比较区间端点值的大小即可求出答案.
【小问1详解】
当时，则，，
又∵为偶函数，∴．
∴当时，，∴.
【小问2详解】
由（1）知在上单调递减，函数是偶函数.∴在上单调递增.
又∵在上单调递增，∴.
∴，则，故实数的取值范围是（1，2].
20. 已知函数（其中）相邻对称轴和对称中心之间相差个单位长度，且图象上一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.
【小问1详解】
由最低点为得A=2．
相邻的对称轴和对称中心之间的距离为得，
即，由点在图象上的，
，即，
故，
∴.
又，∴，故.
【小问2详解】
，
当，即时，取得最大值2，
当，即时，取得最小值，
故的值域为.
21. 为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．
（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；
如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨平均处理成本最少？
【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.
【解析】
【详解】试题分析：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.
试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：
，.
∵，在上为增函数，
可求得.
∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损．
（2）设平均处理成本为
，
当且仅当时等号成立，由得．
因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元．
22. 已知函数，的图象过点(1，0)，且为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义，可得的图象关于直线对称，由二次函数的对称轴方程和（1），解得，，可得的解析式；
（2）令，由对数函数的单调性可得的范围，再由参数分离和函数的单调性，结合不等式恒成立思想可得所求最小值．
【详解】（1）因为为二次函数，且为偶函数，
可得，
所以的图象的对称轴方程为，
又的图象过点，
故，
解得，
所以；
（2）令，
由，，则，，
不等式，即，
可得在，上恒成立，
因为函数在，上单调递增，
易得当时，，即为最大值，
故的取值范围是，.
命题学校：丽江市第二中学 命题人：张晓艳 李志远
（全卷三个大题，共22个小题，共7页；满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效.
2．考试结束后，请将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
详解】试题分析：,又，得.
考点：集合的运算.
2. 函数 的定义域是（ ）
A. B. （0，1]
C. D. [0，1]
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组，进而解得答案.
【详解】要使函数有意义，则需满足，解得.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式可得或，
因为或，所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知点为角终边上一点．若角是第二象限角，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的定义列方程，化简求得的值.
【详解】因为，
解得(∵是第二象限角，舍去)或.
故选：D
5. 若，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：D.
6. 函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过函数图象变换的方法，判断出正确选项.
【详解】函数的图象位于第二象限，并以原点为对称中心，在区间和上均为增函数
将函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得的图象
故函数图象以为对称中心，在区间和上均为增函数，
分析四个答案中的图象，只有A满足要求，
故选：A.
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.
7. 丽江市第二中学体育馆旁有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景.有一天因停电导致钟表慢5分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角的概念和弧度的定义即可求得答案.
【详解】因为分针转一周为60分钟，对应的弧度为，将分针拨快是顺时针旋转，因此钟表拨快5分钟，则分针所转过的弧度数为.
故选：B．
8. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象变换即得.
【详解】将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象，
再把图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象.
故选：C.
9. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、均在上为增函数，
所以，函数在上也为增函数，
因为，，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
10. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】讨论k＝0和两种情况，并结合判别式法即可求得答案.
【详解】当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则，于是.
故选：B．
11. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（ ）
A. 2.58m2B. 2.68m2C. 2.78m2D. 2.88m2
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形面积公式来求得扇环的面积.
【详解】设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，
由题意可知，所以，
所以扇形内需要进行工艺制作的面积的估计值为：
.
故选：D
12. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围.
【详解】的定义域为，，所以为奇函数，
在上递增，
由得，
∴，，
解得.
故选：B
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】
先求，进而得出的值．
【详解】，．
故答案为：
14. =__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先用诱导公式进行化简，进而通过两角和的余弦公式即可求得答案.
【详解】=.
故答案为：.
15. 已知，则的最小值是________
【答案】4
【解析】
【分析】利用“1”的妙用，代入， 然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（当且仅当 ，即时取等号）的最小值为 ，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题，利用基本不等式要注意“一正二定三相等”.
16. 定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．下列函数中：①，②，③，④（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是___________．（直接填写序号）；若为线周期函数，则的值___________．
【答案】 ①. ④ ②.
【解析】
【分析】利用线周期函数的定义判断①②③④中的函数，可得出结论；利用线周期函数的定义可得出对任意恒成立，可求得的值.
【详解】根据题意，对于所给的四个函数：
①中，函数，记，则，所以不是线周期函数；
②中，函数，记，有，
所以不是线周期函数；
③中，令，，所以，不是线周期函数；
④中，存在非零整数，函数，记，
有，所以是线周期函数，
综上可得，只有④是线周期函数.
若为线周期函数，
即存在非零常数，对任意，恒成立，
若对任意恒成立，
则必有，且为函数的周期，故.
故答案为：④；.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，利用交集的定义可求得结果；
（2）由题意可得，即可得出实数的可能取值.
【小问1详解】
解：当时，，
因为，因此，.
【小问2详解】
解：因为，则，所以，.
18. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式求出的值，然后利用诱导公式结合弦化切可求得的值；
（2）利用两角差的正切公式可求得的值.
【小问1详解】
解：，所以，.
所以，.
【小问2详解】
解：.
19. 已知定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在R上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（1，2].
【解析】
【分析】（1）设，则，然后将代入已知解析式并根据奇偶性化简，进而求出函数在R上的解析式；
（2）判断出函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合函数的对称性并比较区间端点值的大小即可求出答案.
【小问1详解】
当时，则，，
又∵为偶函数，∴．
∴当时，，∴.
【小问2详解】
由（1）知在上单调递减，函数是偶函数.∴在上单调递增.
又∵在上单调递增，∴.
∴，则，故实数的取值范围是（1，2].
20. 已知函数（其中）相邻对称轴和对称中心之间相差个单位长度，且图象上一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.
【小问1详解】
由最低点为得A=2．
相邻的对称轴和对称中心之间的距离为得，
即，由点在图象上的，
，即，
故，
∴.
又，∴，故.
【小问2详解】
，
当，即时，取得最大值2，
当，即时，取得最小值，
故的值域为.
21. 为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．
（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；
如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨平均处理成本最少？
【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.
【解析】
【详解】试题分析：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.
试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：
，.
∵，在上为增函数，
可求得.
∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损．
（2）设平均处理成本为
，
当且仅当时等号成立，由得．
因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元．
22. 已知函数，的图象过点(1，0)，且为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义，可得的图象关于直线对称，由二次函数的对称轴方程和（1），解得，，可得的解析式；
（2）令，由对数函数的单调性可得的范围，再由参数分离和函数的单调性，结合不等式恒成立思想可得所求最小值．
【详解】（1）因为为二次函数，且为偶函数，
可得，
所以的图象的对称轴方程为，
又的图象过点，
故，
解得，
所以；
（2）令，
由，，则，，
不等式，即，
可得在，上恒成立，
因为函数在，上单调递增，
易得当时，，即为最大值，
故的取值范围是，.
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