2021-2022学年云南省昆明市高二(下)期末数学试卷(Word解析版)
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2021-2022学年云南省昆明市高二(下)期末数学试卷
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
- 设集合,,则( )
A. B. C. D.
- ( )
A. B. C. D.
- 在等比数列中,,,则( )
A. B. C. D.
- 在中,,,则( )
A. B. C. D.
- 如图,向一个半径为的半球形容器注水,则水面高度随水面圆半径变化的函数图像大致为( )
A. B.
C. D.
- 若,则( )
A. B.
C. D.
- 治贫先治愚,扶贫先扶智,教育是阻断贫困代际传递的根本之策.为解决某地区教师资源既乏的问题,教育部门安排甲、乙、丙等名优秀教师分批次参加支教,支教共分批次进行,每批次支教需要同时安排名教师,每名教师只参加次支教,则在甲安排在第一批次的条件下,乙和丙安排在同一批次的概率为( )
A. B. C. D.
- 设,,,则( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
- 已知函数的最小正周期为,则( )
A. 函数图像关于点中心对称
B. 在上单调递减
C. 将曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像
D. 直线是曲线的一条对称轴
- 如图,在正方体中,,,分别是棱,,的中点,则( )
A. 平面
B. 平面
C. 点在平面内
D. 点在平面内
- 已知函数对,都有,,且,则( )
A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点中心对称
C. D.
- 已知抛物线:的焦点为,过点的直线与相交于,两点点位于第一象限,与的准线交于点,为线段的中点,准线与轴的交点为,则( )
A. 直线的斜率为 B.
C. D. 直线与的倾斜角互补
第II卷(非选择题)
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
- 二项式展开式中的系数为______.
- 已知直线:与圆:相交于,两点,则______.
- 已知是椭圆:的上顶点,是的一个焦点、直线与椭圆的另一个交点为点,且,则的离心率为______.
- 若存在直线与函数,的图像都相切,则实数的最大值为______.
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
- 本小题分
在中,角,,的对边分别为,,,记的面积为,分别以,,为边长的三个正方形的面积为,,,且.
求;
若,,求. - 本小题分
如图,在三棱锥中,平面,,,是的中点.
证明:;
若,求平面与平面所成角的大小.
- 本小题分
已知正项数列,,,是公差为的等差数列.
证明:是等差数列;
记为数列的前项和,求. - 本小题分
北京时间年月日,神舟号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,这趟神奇之旅意义非凡,尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响,激起了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学为了解学生的性别和对天宫课堂的喜欢是否有关联,采用简单随机抽样的方法抽取名学生进行问卷调查,得到如下列联表:
性别 | 天宫课堂 | ||
不喜欢 | 喜欢 | 合计 | |
女 | |||
男 | |||
合计 |
画出列联表的等高堆积条形图,并判断该中学学生性别与喜欢天宫课堂是否有关联;
依据小概率值的独立性检验,能否据此认为该中学学生性别与喜欢天宫课堂有关联;
以上两种方法得出的结论哪一种更可靠,请说明理由.
附:
- 本小题分
已知直线与双曲线:交于,两点,是的左焦点,且,.
求双曲线的方程;
若,是双曲线上的两点,是的右顶点,且直线与的斜率之积为,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标. - 本小题分
已知函数.
若是增函数,求实数的取值范围;
若有两个极值点,,证明:.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:集合,
,
则.
故选:.
求出集合,利用交集定义能求出.
本题考查集合的运算,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.【答案】
【解析】解:
.
故选:.
由,展开两数和的平方公式,再由多项式乘以多项式求解.
本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
3.【答案】
【解析】解:在等比数列中,,,
,
解得.
故选:.
利用等比数列通项公式列方程组,能求出首项.
本题考查等比数列的通面公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
4.【答案】
【解析】解:在中,,,
,
故选:.
先将中的转化为,再利用向量数量积的定义与性质计算即可得解.
本题考查向量线性运算,向量数量积的定义与性质,属基础题.
5.【答案】
【解析】解:如图,连接,,由图可得,
,即,其中,,
水面高度随水面圆半径变化的函数图像为以为圆心,半径为的四分之一圆,
故选:.
连接,,由图可得,再将已知代入化简有,从而得出正确答案.
本题考查函数的图象,圆的方程的应用,属基础题.
6.【答案】
【解析】解:,
,,
即,,
故,
故选:.
由题意,利用同角三角函数的基本关系式,两角差的正切公式,求得,,从而得出结论.
本题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正切公式的应用,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:设“甲安排在第一批次”为事件,“乙和丙安排在同一批次”为事件,则,,
所以.
故选:.
设“甲安排在第一批次”为事件,“乙和丙安排在同一批次为事件,求出甲安排在第一批次的方法总数及甲安排在第一批次乙和丙安排在同一批次的方法总数,由条件概率公式代入即可求出答案.
本题考查条件概率,考查学生的计算能力,确定基本事件的个数是关键.
8.【答案】
【解析】解:,,
由,得,
令,,则,
则,为增函数,
,恒成立,故时,恒成立,
则,则,
令,,则恒成立,
则,为增函数,又,
恒成立,即时,恒成立,
则,则,
则,则,
综上,.
故选:.
利用比商法比较,的大小,构造新函数,并利用放缩法比较,的大小,进而得到.
本题考查命题真假的判断,考查比商法、构造法、导数性质、放缩法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
9.【答案】
【解析】解:函数的最小正周期为,,
令,求得,可得函数图象关于点中心对称,故A正确;
在上,,函数单调递减,故B正确;
将曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象,故C错误;
令,求得,为最小值,可得函数图象关于直线对称,故D正确,
故选:.
由题意,利用正弦函数的图象和性质,函数的图象变换规律,先求出函数的解析式,从而得出结论.
本题主要考查正弦函数的图象和性质,函数的图象变换规律,属于中档题.
10.【答案】
【解析】解:如图,
连接,,分别是棱,的中点,,
若平面,则平面或平面,这与平面矛盾,故A错误;
连接,由题意可知,而平面,平面,平面,故B正确;
由平面,平面,可得点不在平面内,点在平面内,故C错误,D正确.
故选:.
由直线与平面平行的判定判断与;证明平面,平面,即可判断与.
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.
11.【答案】
【解析】解:因为,所以为奇函数,
又因为,所以关于对称,
所以,
令等价于,所以,
再令等价于,所以,所以的周期为,
由,可得:,
所以的图象关于对称,故A不正确;
又因为的图象关于对称,的周期为,所以的图象关于点中心对称,故B正确;
令中,可得,所以,故C正确;
,故D不正确.
故选:.
由题意得,所以的周期为,又因为,所以的图象关于对称,可判断;
又因为的周期为,所以的图象关于点中心对称,可判断;
由,可判断;
由,可判断.
本题考查了函数的奇偶性、对称性及周期性,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:易知抛物线的焦点,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,
若轴,则直线与抛物线的准线平行,不合题意,
设直线的方程为,点,,
联立,可得,则点,
因为点为线段的中点,则,则,可得,
因为点在抛物线上,则,可得,
所以直线的斜率为,故A正确;
联立,解得或,即点,,
易知点,所以,,则有,故B正确;
易知点,,,故,故C错误;
,,则,所以直线与的倾斜角互补,故D正确.
故选:.
分析可知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,求出点的坐标,可得点的坐标,分析可得,将点的坐标代入抛物线的方程,求出的值,可判断,再将直线的方程与抛物线的方程联立,求出点,的坐标,利用平面向量与解析几何的相关知识可判断的正误.
本题考查抛物线的几何性质,考查方程的思想方程,属中档题.
13.【答案】
【解析】解:二项式展开式的通项公式为:
,
令,则,
展开式中的系数为,
故答案为:.
先求出二项展开式的通项公式,再令,求出即可.
本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:圆心到直线:的距离,又由,,解得,
故答案为:.
运用圆的弦长公式直接求解.
本题考查了圆弦长的计算,是基础题.
15.【答案】
【解析】解:是的一个焦点,不妨设,
是椭圆:的上顶点,
,
设,
直线与椭圆的另一个交点为点,且,
,解得,,
在椭圆上,,
,即,
.
故答案为:.
设,结合向量的坐标运算,求出,,再将点代入椭圆,结合椭圆的性质,即可求解.
本题主要考查椭圆的性质,考查转化能力,属于中档题.
16.【答案】
【解析】解:曲线的图象下凸,曲线上凸,
存在直线与函数,的图像都相切,
即在定义域上,恒成立,
记,在上单调递增,
且在上有唯一零点,即,
可得,
当且仅当时取等号.
,即.
实数的最大值为.
故答案为:.
问题转化为在定义域上,恒成立,记,利用导数求其最小值,再由最小值大于等于即可求得的最大值.
本题考查利用导数求函数的最值,考查化归与转化思想,考查运算求解能力,是中档题.
17.【答案】解:由可得:,
由余弦定理可得,即,
因为,所以.
在中,由正弦定理得,解得,
由余弦定理得,
解得或舍,
所以.
【解析】由已知得,,从而得角的正切值,利用三角形角度关系,即可得角;
利用正余弦定理解三角形即可求三角形面积.
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用,考查运算能力,属于中档题.
18.【答案】证明:在中,由正弦定理得,,
所以,
因为,所以,所以,即,
又平面,所以,
因为,,平面,所以平面,
因为平面,所以.
解:由平面,,知,,两两垂直,
故以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则,,,,
所以,,
设平面的一个法向量为,则,即,
令,则,,所以,
因为平面,所以平面的一个法向量为,
所以,
故平面与平面所成角的大小为.
【解析】在中,先利用正弦定理求得,进而知,再由平面,可得,然后结合线面垂直的判定定理与性质定理,得证;
以为坐标原点建立空间直角坐标系,依次求得平面和平面的一个法向量与,再由空间向量数量积的坐标运算,即可得解.
本题考查立体几何综合,熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理,利用空间向量求面与面的夹角是解题的关键,考查空间立体感,推理论证能力和运算能力,属于中档题.
19.【答案】证明:由题意,,
因为是首项为,公差为的等差数列,
所以,
,
又因为,所以,
故,
所以是等差数列;
解:由得,故,
.
【解析】由题意可得,又,再结合等差数列的求和公式即可求出,最后由等差数列的定义即可证明;
由裂项相消法求解即可.
本题考查了等差数列的证明和裂项相消求和,属于中档题.
20.【答案】解:根据上面的列联表,该中学女生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课堂的频率分别为和,
该中学男生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课堂的频率分别为和.
根据以上数据,画出等高堆积条形图,如图所示:
图中两个深色条的高分别表示该中学女生和男生中不喜欢天宫课堂的频率,从图中可以看出,女生喜欢天宫课堂的频率明显低于男生喜欢天宫课堂的频率,因此我们可认为该中学学生喜欢天宫课堂与性别有关联.
零假设为:该中学学生喜欢天宫课堂与性别无关联,
根据列联表中的数据得:,
依据小概率值的独立性检验,没有充分依据推断不成立,因此,不能计为该中学学生喜欢天宫课堂与性别有关联.
用等高堆积条形图是根据一个样本的两个频率存在差异得出喜欢天宫课堂与性别有关联的结论,并没有考虑由样本随机性可能导致的错误,故推断依据不太充分.
用独立性检验对零假设进行检验,通过计算推断,接受,推出喜欢天宫课堂与性别无关联.因此,只根据频率的差异得出喜欢天宫课堂与性别有关联的结论是不可靠的.由此可见,相对于等高堆积条形图检验结果,用独立性检验得到的结果更可靠.
【解析】分别求出该中学女生、男生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课堂的频率,即可画出等高堆积条形图,再根据等高堆积条形图判断该中学学生性别与喜欢天宫课堂是否有关联;
根据列联表中的数据求出,即可得出答案;
用等高堆积条形图只是根据一个样本的两个频率存在差异得出喜欢天宫课堂与性别有关联的结论,并没有考虑由样本随机性可能导致的错误,所以推断依据不太充分,用独立性检验得到的结果更可靠.
本题考查了独立性检验的相关程度问题,解题时应利用教材中的数表,是中档题.
21.【答案】解:因为,所以,,,
设双曲线的焦距为,
因为直线与双曲线:交于,两点,是的左焦点,
由双曲线的对称性知,
设双曲线的右焦点为,则,得,
则,
故双曲线的方程为.
证明:由已知得,设直线与的斜率分别为,,
当直线不垂直于轴时:
设直线的斜率为,的方程为,,,
由得,
当时,,,
那么,得,符合题意.
所以直线的方程为,恒过定点.
当直线垂直于轴时:
设,因为是上的点,所以,
则,解得,
故直线过点.
综上,直线恒过定点.
【解析】利用双曲线的几何性质求出,、,即可求出双曲线的方程;
设直线与的斜率分别为,,分类讨论:当直线不垂直于轴时,利用“设而不求法”求出,判断出直线过定点当直线垂直于轴时,设,解得,判断出直线过定点.
本题考查了双曲线的方程以及双曲线中直线过定点的问题,属于中档题.
22.【答案】解:函数的定义域为,
若是增函数,即对任意恒成立,故恒成立,
设,则,
所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以当时,,由得,
所以的取值范围是.
证明:不妨设,因为,是的两个极值点,
所以,即,同理,
故,是函数的两个零点,即,
由知,,故应有,且,
要证明,只需证,
只需证
,
设
则,
所以在上单调递减,因为,所以,
即,,
又,,及在上单调递增,
所以成立,即成立.
【解析】求出函数的导函数,依题意对任意恒成立,故恒成立,设,利用导数说明函数的单调性,求出函数的最小值,即可求出参数的取值范围;
不妨设,则,是函数的两个零点,即可得到,要证明,只需证,只需证,构造函数利用导数证明即可.
本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的运算能力,属于难题.
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