数学八年级上册第十三章 轴对称综合与测试同步训练题

这是一份数学八年级上册第十三章 轴对称综合与测试同步训练题，共33页。

第13章 轴对称 填空题

1．（2022·广东汕尾·八年级期末）已知点P(-2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是__．
2．（2022·广东·湛江市坡头区龙头中学八年级期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”）

3．（2022·广东·可园中学八年级期末）如图，在中，，是边上的高，点、是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是______．

4．（2022·广东佛山·八年级期末）点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________．
5．（2022·广东广州·八年级期末）点关于y轴对称的点的坐标是______．
6．（2022·广东河源·八年级期末）若点A（1+m，2）与点B（﹣3，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是___．
7．（2022·广东河源·八年级期末）若点P（2，4）与点B（x，y）关于y轴对称，那么x－y的值为_______．
8．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD=_____．

9．（2022·广东阳江·八年级期末）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ___．
10．（2022·广东广州·八年级期末）已知直角坐标系中点和点B(3，b)关于x轴对称，则b-a=_____________．
11．（2022·广东·可园中学八年级期末）如图，等腰△ABC的底边BC的长为2，面积为5，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F．若点D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则DM+CM的最小值为_____．

12．（2022·广东珠海·八年级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为_____．
13．（2022·广东汕尾·八年级期末）一个等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长是_________．
14．（2022·广东·深圳第二实验学校八年级期末）如图，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______．

15．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）等腰三角形的两条边长分别为8cm和6cm，则它的周长是______cm.
16．（2022·广东东莞·八年级期末）某个等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为______．
17．（2022·广东广州·八年级期末）已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的顶角是______°．
18．（2022·广东清远·八年级期末）如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝70°，则∠BDF的度数为____．

19．（2022·广东韶关·八年级期末）若点与点关于轴对称，则__________．
20．（2022·广东东莞·八年级期末）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为_____cm．
21．（2022·广东广州·八年级期末）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 _____°．
22．（2022·广东阳江·八年级期末）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝_______．

23．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，在ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1，则AB的长为__．

24．（2022·广东东莞·八年级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
25．（2022·广东湛江·八年级期末）如图,∠A=30°,∠C'=60°,△ABC与△A’B'C '关于直线l对称,则∠B=___________.

26．（2022·广东韶关·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．

27．（2022·广东湛江·八年级期末）等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
28．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．

29．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于_____．

30．（2022·广东东莞·八年级期末）如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为___________；

31．（2022·广东广州·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②D是AC的中点；③AD=BD=BC；④△BDC的周长等于AB+BC．其中正确结论的个数有___________．（只填序号）

32．（2022·广东江门·八年级期末）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值____．

33．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，OP平分，，，，，垂足为D，则________．

34．（2022·广东河源·八年级期末）如图，，，，若，则的长为______．

35．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，AB=AC，BD=BC,若∠A=40°，则∠ABD的度数是_________.

36．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为______cm．

37．（2022·广东江门·八年级期末）若一条长为的细线能围成一边长等于的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________．
38．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE．若∠A＝40°，则∠CBE的度数为__．

39．（2022·广东广州·八年级期末）如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为____．

40．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，中，，，D，E分别为AC，AB边上的点，将沿DE翻折，点A恰好与点B重合，若，则______．

41．（2022·广东湛江·八年级期末）小敏设计了一种衣架，如图，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆，若衣架收拢时，，则、的距离为_____．

42．（2022·广东中山·八年级期末）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．

43．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，中，OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，OD、OE交于点O，连接OA、OC，已知，则______．

44．（2022·广东汕头·八年级期末）若△ABC的边AB=6cm，周长为16cm，当边________时，△ABC为等腰三角形．
45．（2022·广东河源·八年级期末）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________．

46．（2022·广东·广州市番禺区恒润实验学校八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于________．

47．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）

48．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，两条高BF和CD交于点M，则下列结论中，①BF＝2AF；②∠DMB＝2∠ACD；③AC：AB＝CD：BF；④当点M在AE上时，△ABC是等边三角形．正确的是_____（填序号）．


参考答案：
1．(-2,-1)
【解析】
根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案是：（﹣2，﹣1）．
考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
2．＞
【解析】
作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案．
解：∵，
∴半径长度，
即．
故答案为：．
本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
3．6
【解析】
由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
解：∵△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，
∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，
∴△CEF和△BEF的面积相等，
∴S阴影=S△ABD，
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵S△ABC=12cm2，
∴S阴影=12÷2=6cm2．
故答案为：6．
本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现△CEF和△BEF的面积相等是正确解题的关键．
4．（﹣3，2）．
【解析】
解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），
所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．
故答案为（﹣3，2）．
5．
【解析】
根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得．
点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
则点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
本题考查了点坐标规律探索，熟练掌握点坐标关于y轴对称的变换规律是解题关键．
6．1
【解析】
关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此可得m，n的值．
解：∵点A（1+m，2）与点B（-3，1-n）关于y轴对称，
∴，解得：，
∴m+n=2-1=1，
故答案为：1．
本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
7．-6
【解析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，再计算即可得解．
解：∵点P（2，4）与点Q（x，y）关于y轴对称，
∴x=-2，y=4，
所以，x-y=-2-4=-6．
故答案为：-6．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8．2
【解析】
由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得BD的长．
解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC=×4=2．
故答案为：2．
本题考查了等腰三角形的性质．注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．
9．12
【解析】
先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可．
解：∵有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，
∴这个等腰三角形是等边三角形，边长为4，
它的周长为3×4=12，
故答案为：12．
本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
10．
【解析】
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，，再计算的值即可．
解：点和点，点和点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点的变化规律．
11．5
【解析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为DM+CM的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×2×AD＝5，
解得AD＝5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD（当且仅当A、M、D三点共线时，等号成立），
∴AD的长为DM+CM的最小值，
∴DM+CM的最小值为5．
故答案为5．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题．能根据轴对称的性质得出MA＝MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键．
12．或
【解析】
分为“高在三角形内部”和“高在三角形外部”两种情况讨论．
如图1：

∵
∴
如图2：

∵
∴
∴
故答案为：70°或20°．
本题考查了三角的内角和定理，及分类讨论思想，熟知以上知识是解题的关键．
13．22cm
【解析】
因为已知两边长度为4cm和9cm，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，结合三角形三边关系求解即可．
解：①当4cm为底边时，其它两边都为9cm，
4cm、9cm、9cm可以构成三角形，
此时周长为22cm；
②当9cm为腰时，其它两边为4cm和4cm，
∵4＋4＜9，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴它的周长是22cm．
故答案为：22cm．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三条边的关系，主要利用了等腰三角形两腰相等的性质，解题的关键在于分情况讨论．
14．25°
【解析】
利用三角形的内角和定理即可求出∠CAB，利用三角形外角的性质可得∠ADE＋∠AED=50°，最后根据等边对等角即可求出结论．
解：∵，
∴∠CAB=180°－∠B－∠C=50°
∴∠ADE＋∠AED=∠CAB=50°
由题意可知：AD=AE
∴∠ADE=∠AED=×50°=25°
故答案为：25°．
此题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题关键．
15．20或22##22或20
【解析】
解：①腰长为8cm时，
等腰三角形三边长分别为：8cm、8cm、6cm，经检验符合三角形三边关系，此时周长为22cm；
②腰长为6cm时，
等腰三角形三边长分别为：6cm、6cm、8cm，经检验符合三角形三边关系，此时周长为20cm；
所以三角形的周长为20cm或22cm.
故答案为20或22.
题目中出现等腰三角形，若没有明确腰长，则要对腰长进行讨论，确定三角形三条边长后还要检验是否满足三角形三边关系.
16．50°或65°
【解析】
分两种情况讨论：当底角为50°或当顶角为50°时，结合等腰三角形的性质及三角形内角和180°解题．
解：当底角为50°时，
根据等腰三角形两个底角相等，
等腰三角形的另一个底角为50°；
当顶角为50°时，
根据等腰三角形两个底角相等，
等腰三角形的底角为，
故答案为：50°或65°．
本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．50°或80°
【解析】
根据等腰三角形的性质计算即可；
解：∵三角形时等腰三角形，
∴当50°是一个底角时，顶角是；
当50°是顶角时，符合题意；
∴它的顶角是50°或80°．
故答案是50°或80°．
本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．
18．40°
【解析】
利用平行线的性质求出∠ADE＝70°，再由折叠的性质推出∠ADE＝∠EDF＝70°即可解决问题．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
由折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF＝70°，
∴∠BDF＝180°﹣∠ADE-∠EDF＝40°，
故答案为：40°．
本题综合考查了平行线以及折叠的性质，熟练掌握两性质定理是解答关键．
19．3
【解析】
关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出a、b的值，然后得到答案．
解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴；
故答案为：3．
本题考查了关于x轴对称点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
20．9或7.5##7.5或9
【解析】
分9是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．
解：若9cm为底时，腰长应该是（24-9）=7.5cm，
故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm，
∵7.5+7.5=15＞9，
故能围成等腰三角形；
若9cm为腰时，底边长应该是24-9×2=6，
故三角形的三边为9cm、9cm、6cm，
∵6+9=15＞9，
∴以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形，
综上所述，腰长是9cm或7.5cm，
故答案为：9或7.5．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
21．70或110
【解析】
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，画出图形分两种情况讨论即可解决问题．
解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；

②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．

故答案为：70或110．
此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
22．14cm
【解析】
由AE＝BE，DE是AB的垂线得出DE是AB的中线，进而可得DE是AB的垂直平分线，由此即可得到AF＝BF，再根据线段的和差即可得解．
解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴DE是AB的中线，
∴DE是AB的垂直平分线，
∵F为DE上一点，
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝11cm，CF＝3cm，
∴AC＝14cm，
故答案为：14cm．
此题考查了等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的性质是解此题的关键．
23．
【解析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴
故答案为：．
本题考查了直角三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．60°或120°
【解析】
分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
解：如图（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°；
如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=120°；
综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．

此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
25．90°
【解析】
先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C=∠C′，再由三角形内角和定理可得出∠B的度数．
∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=60°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-60°=90°．
故答案为90°．
26．8
【解析】
连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
解：如图所示，连接AD，AM，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AD=6，
∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，
故答案为：8．

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
27．22
【解析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，
∴腰的不应为4，而应为9，
∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
故答案为22.
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.
28．8
【解析】
连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM＋DM＝AM＋DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB＋DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
解：连接AD交EF与点M′，连接AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8,
故答案为：8．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．
29．60°##60度
【解析】
解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFD）=180°-120°=60°．
点睛：三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
30．4.5
【解析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°-60°=30°，
∴AD=AB=×9=4.5，
∴DF=4.5．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题关键．
31．①③④
【解析】
试题解析：∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A） =72°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
故①正确；
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=AD，
故③正确；
△BDC的周长等于BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=AB+BC；
故④正确；
∵AD=BD＞CD，
∴D不是AC的中点，
故②错误．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．
32．15
【解析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×6×AD=36，解得AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=12+×6=12+3=15．
故答案为：15．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
33．2
【解析】
作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解：作PE⊥OB于E，

∵∠BOP=∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
34．8
【解析】
作PE⊥OB于E，先根据角平分线的性质求出PE的长度，再根据平行线的性质得∠OPC＝∠AOP，然后即可求出∠ECP的度数，再在Rt△ECP中利用直角三角形的性质即可求出结果．
解：作PE⊥OB于E，如图所示：
∵PD⊥OA，∴PE=PD=4，
∵PC∥OA，∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠OPC＝∠AOP＝15°，
∴∠ECP＝15°+15°＝30°，
∴PC＝2PE＝8．
故答案为8．

本题考查了角平分线的性质定理、三角形的外角性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，作PE⊥OB构建角平分线的模型是解题的关键.
35．30°；
【解析】
利用三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”定理计算．
由AB=AC、BD=BC得∠ABC=∠ACB、∠C=∠BDC，
在△ABC中,∠A=40°，∠C=∠ABC，
∴∠C=∠ABC=   (180°−∠A)= (180°−40°)=70°；
在△ABD中，由∠BDC=∠A+∠ABD得
∠ABD=∠BDC−∠A=70°−40°=30°
故答案为30°
此题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题关键在于利用等边对等角
36．18
【解析】
根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长．
∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
37．
【解析】
分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．
分两种情况：
当6cm的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm），∵6+6=12，故不能构成三角形；
当6cm的边为底边时，腰长=（cm），由于6+9>9，故能构成三角形，
故答案为：9．
此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．
38．10°
【解析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，得到∠ABE=∠A=40°，再直角三角形两锐角互余即可解答．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°-∠A =50°，
∴∠CBE＝∠ABC -∠ABE＝10°，
故答案为：10°．
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
39．9
【解析】
根据∠CAD＝30°，得到AD=2CD，从而得到AD+BD=3CD,求得CD即可．
∵∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，
∴AD=2CD，BD=CD=BC=3，
∴AD+BD=3CD=9，
故答案为：9．
本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
40．6
【解析】
由翻折的性质可得：∠ABD=∠A=30°，∠AED=∠BED=90°，从而可证BD平分∠ABC，由角平分线的性质即可得到DE=CD=3，则AD=2DE=6．
解：由翻折的性质可得：∠ABD=∠A=30°，∠AED=∠BED=90°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
又∵∠DEB=∠C=90°，
∴DE=CD=3，
∴AD=2DE=6，
故答案为：6．

本题主要考查了折叠的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
41．18
【解析】
证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=18cm即可．
解：连接，如图所示：

∵，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：18．
本题考查了等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
42．5
【解析】
作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．
解：如图，

作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，
∴，
∴ 是等边三角形，
∴，
在中，，
当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．
故答案为：5．
本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
43．50°
【解析】
如图所示，连接OB，由OE，OD分别是BC，AB的垂直平分线，得到OB=OA=OC，∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，由三角形内角和定理得到∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，再由∠OBA+∠OBC=∠ABC=40°，即可得到答案．
解：如图所示，连接OB，
∵OE，OD分别是BC，AB的垂直平分线，
∴OB=OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OAC+∠OCA=180°，
∵∠OBA+∠OBC=∠ABC=40°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=80°，
∴∠OAC+∠OCA=100°，
∴∠OAC=∠OCA=50°，
故答案为：50°．

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知角平分线的性质是解题的关键．
44．6或5或4
【解析】
根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的三边关系可得答案.
解： △ABC的边AB=6cm，周长为16cm，

当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，符合三角形的三边关系，
所以为6cm或5cm或4cm.
故答案为：6或5或4
本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.
45．(0，3)
【解析】
由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，

此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故答案为：（0，3）．
本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键．
46．．
【解析】
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD．
∵∠A=60°，∴△ACD是等边三角形．
同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形．
∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，
∴第一个等边三角形的边长CD=DB=AB=AC=a，
第二个等边三角形的边长EF=DB=a，
…
第n个等边三角形的边长为a．
∴第n个三角形的面积=．
47．①②④
【解析】
由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN=EN，由线段和差关系可得MN=AM+CN，故④正确，即可求解．
解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB=BC，AD=CD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵AD=CD，∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠DAB=90°，
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，
∴BD=2AD，故②正确；
∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD=×AC×OD+×AC×OB=×AC×BD，故③错误；
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：


∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
又∵AM=CE，AD=CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故答案为：①②④．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
48．②③④
【解析】
根据是高线，根据含角的性质可得，结合直角三角形斜边长度大于直角边可判定①；由是高可求解，，可判定②；通过等面积法即可列比例式可判定③；根据三角形高线的性质可判定是中上的高线和中线，即可得，进而可判定的形状可判定④．
解：是高，
，
，
，
，
，
，故①错误
是高，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，故③正确；
，交于点，点在上，
，
是的中线，
，
，
是等边三角形，故④正确，
故答案为：②③④．
本题考查了直角三角形的有关性质，等边三角形的判定，解题的关键是能灵活运用等边三角形的判定与性质．