新高考数学二轮专题《立体几何》第19讲 利用传统方法找几何关系建系（2份打包，解析版+原卷版）

第19讲 利用传统方法找几何关系建系

一．解答题（共20小题）

1．如图：长为3的线段与边长为2的正方形垂直相交于其中心．

（1）若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；

（2）在（1）的前提下，以，，，，，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．

2．在四棱锥中，为棱的中点，平面，，，，，为棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值．

3．如图（1），在等腰梯形中，，是梯形的高，，，现将梯形沿，折起，使且，得一简单组合体如图（2）示，已知，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，则求平面与平面所成的锐二面角大小．

4．三棱柱中，，，侧面为矩形，，二面角的正切值为．

（Ⅰ）求侧棱的长；

（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

5．如图，在四棱锥中，底面四边形内接于圆，是圆的一条直径，平面，，是的中点，

（1）求证：平面；

（2）若二面角的正切值为2，求直线与平面所成角的正弦值．

6．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，平面平面，点，为棱，中点，二面角的平面角的余弦值为．

（1）求棱的长；

（2）求与平面所成角的正切值．

7．在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的正切值；

（Ⅲ）若点在线段上，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体的体积．

8．如图，在多面体中，侧面底面，四边形是矩形，，，，．

（1）求证：；

（2）当二面角的正切值为2时，求的值．

9．如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若，，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积．

10．如图所示，平面，为等边三角形，，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．

11．在等腰梯形中，，分别是，的中点，，，，现将梯形沿折起，并记平面与平面所成二面角的平面角为，中点为．

（1）当时，求证：平面；

（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正切值．

12．已知直角三角形，，，，分别是，上的动点，且，将沿折起到位置，使平面与平面所成的二面角的大小为，设，．

（1）若且与平面所成的角的正切值为，求二面角的大小的正切值；

（2）已知，为的中点，若，求的取值．

13．已知和是两个有公共斜边的直角三角形，并且，．

（1）若是边上的一点，当的面积最小时，求二面角的平面角的正切值；

（2）能否找到一个球，使，，，都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值．

14．如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，，分别是，的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

15．在三棱锥中，平面，，点在棱上，且．

（1）试证明：面；

（2）若，过直线任作一个平面与直线相交于点，得到三棱锥的一个截面，求面积的最小值；

（3）若，求二面角的正弦值．

16．如图1所示，在边长为12的正方形中，点，在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．

（1）求证：平面；

（2）若点为四边形内一动点，且二面角的余弦值为，求的最小值．

17．如图，在边长为4的菱形中，．点、分别在边、上，点与点、不重合，，．沿将翻折到的位置，使平面平面，点满足．

（1）求证：平面；

（2）求的最小值，并探究此时直线与平面所成的角是否一定大于？

18．在中，，，，，分别为，边上的点，且，沿将折起（记为△，使二面角为直二面角．

（1）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值；

（2）当的长度最小时，求二面角的大小．

19．如图，在四棱锥中，面，四边形是菱形，，，是上任意一点

（1）求证：；

（2）当面积的最小值是9时，求的长

（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使与面所成角的正切值为2？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求直线与平面所成的角的余弦值．