新高考数学二轮专题《立体几何》第18讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题（2份打包，解析版+原卷版）

第18讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题

一．解答题（共12小题）

1．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点是

的中点，连接，

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求三棱锥的体积．

2．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，点是的中点，

记、的面积分别为、，二面角的大小为，证明：

（1）平面平面；

（2）．

3．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点是

的中点，连接，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，且二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

4．如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，且，已知侧面与底面垂直，点是的中点，点是的中点，点在棱上，且，点是上的动点．

（1）证明：；

（2）当平面时，求二面角的余弦值．

5．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上．

（1）若，证明：平面平面；

（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

6．如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是、的中点，，，且二面角的大小为．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

7．如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

8．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为4的菱形，，对角线与相交于点，，．

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成角为，问在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．

9．如图，在四面体中，已知，，

（1）求证：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．

10．已知如图，平面平面，，，．

（Ⅰ）异面直线、所成的角为，异面直线、所成的角为，求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的绝对值．

11．如图，是四边形的外接圆的直径，平面，为的中点，已知，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值．

12．已知四面体，，且平面平面．

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）求二面角的正切值．