新高考数学二轮专题《立体几何》第10讲 立体几何翻折与旋转问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第10讲 立体几何翻折与旋转问题
一．选择题（共9小题）
1．把正方形沿对角线折成直二面角，对于下列结论：
①；②是正三角形；③与成角；④与平面成角．
则其中正确结论的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：取的中点，则，．
面．
，故①正确．
设正方形边长为，则，．
．
为等边三角形，故②正确．
为与面所成的角为，
以为坐标原点，、、分别为，，轴建立直角坐标系，
则，0，，，，，，，，
，0，．
，，，，，．
，，
，，故③正确．
为与面所成的角为，故④不正确．
故选：．

2．如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为　　

A． B． C． D．1
【解答】解：补成正方体如图：
由于，故截面为平行四边形，可得；
又，，且；
，
，
当且仅当时取等号．
故选：．

3．矩形中，，，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意，初始状态，直线与直线成的角为0，
时，，，
平面，，
直线与直线成的角为，
在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为，．
故选：．
4．已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中　　
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“ 与”，“ 与”均不垂直
【解答】解：如图，，，依题意，，，，，
，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则，平面，从而，这与已知矛盾，排除；
，
若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，平面平面
取中点，连接，则，就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故正确；
，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除
，由上所述，可排除
故选：．
5．在中，，，，是边上的动点，设，把沿翻折为△，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．
【解答】解：把沿翻折，形成了一个圆锥．过点作，则与所成的角等于与所成的角，设与所成的角的大小为，设．
则，，，．
中，，，
，又．
．
故选：．

6．如图，在中，，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由题意得，，，取中点，
翻折前，在图1中，连接，，则，
翻折后，在图2中，此时．
，，平面，
，，
又，为中点，，
，，
在中：①，②，③；
由①②③可得．
如图3，翻折后，当△与在一个平面上，
与交于，且，，，
又，
，
，，此时
综上，的取值范围为，，
故选：．

7．如图，在直二面角中，、均是以为斜边的等腰直角三角形，取中点，将沿翻折到△，在的翻折过程中，下列不可能成立的是　　

A．与平面内某直线平行 B．平面
C．与平面内某直线垂直 D．
【解答】解：连结，当平面与平面重合时，平面，
平面内必存在与平行和垂直的直线，故，可能成立；
在平面内过作的平行线，使得，
连结，则当平面与平面重合时，平面，
故平面内存在与平行的直线，即平面内存在与平行的直线，
平面，故可能成立．
若，又，则为直线和的公垂线，
，
设，则经计算可得，
与矛盾，故不可能成立．
故选：．

8．如图，在中，，，为的中点．将沿着翻折至△，使得，则的取值不可能为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，把△继续旋转，
一直旋转到平面里面，这时在位置，
这时，，
此时，是直线和所成的最小角，
不成立，的取值不可能为．
故选：．

9．在斜边长为5的等腰直角三角形中，点在斜边（不含端点）上运动，将沿翻折到△位置，且使得三棱锥体积最大，则长为　　

A．2 B． C．3 D．4
【解答】解：如图，为等腰直角三角形，且斜边，则，
设，则，
则
．
要使三棱锥体积最大，则平面平面，
再设 到平面的距离为，则，
可得．
．
三棱锥体积．
当时，有最大值，有最小值，此时有最大值为．
长为．
故选：．

二．填空题（共7小题）
10．将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成四面体，点，，分另，，的中点，则下列命题中正确的是　②③④　．（将正确的命题序号全填上）
①；②是异面直线与的公垂线；
③平面；④垂直于截面．
【解答】解：设的中点为，连接，则，
与相交，
与为异面直线，故①错误；
由可得，
，同理可得，
是异面直线与的公垂线，故②正确；
由中位线定理可得，平面，故③正确；
，，同理可得：，
平面．故④正确．
故答案为：②③④．

11．在中，已知，，，是边上一点，将沿折起，得到三棱锥，若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，设，则的取值范围为　　．
【解答】解：中由余弦定理得：已知，，，
，所以为等腰直角三角形，如下图所示．沿折起，
若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上时，如图，面，，都于垂直，
折叠前在图中于点，在图中过作于，动点与无限接近时，折痕接近，
这时接近，在图中，是的斜边，所以，，中，，
，；
故答案为：，．

12．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成△．若为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题正确的是　①②④　．（写出所有正确的命题的编号）
①线段的长是定值；
②点在某个球面上运动；
③存在某个位置，使；
④存在某个位置，使平面．

【解答】解：①取中点，连接，，则，，

平面平面，
平面，故正确
由，定值，定值，
由余弦定理可得，所以是定值，故①正确．
②是定点，
是在以为球心，为半径的球上，故②正确，
若③成立，则由，可得面
，而这与矛盾
故③错误．
④取中点，连接，，则平面平面，可得④正确；
故正确的命题有：①②④，
故答案为：①②④．
13．如图，在中，，，为的中点，将沿着翻折至△，使得，则的取值可能为　②③④　（填上正确的所有序号）
①②③④

【解答】解：如图，设在平面上的射影为，
则由题意知，点在直线的垂线上，
要使，则，因此只需考虑其临界情况，
即当时，点与点关于直线对称，
，
又，是以为底角的等腰三角形，
，．
因此当时，有，
的取值可能为，，．
故答案为：②③④．

14．如图，矩形中，，，沿对角线将折起得到△，且点在平面上的射影落在边上，记二面角的平面角的大小为，则的值等于　　．

【解答】解：，又，，
平面，．
又，平面．
是二面角的平面角．
在△中，．
故答案为：
15．已知中，，，为的中点，现将沿折成三棱锥，当二面角大小为时，　　．

【解答】解：如图，取中点，连接，设，
再设，由，，可得，
在中，可得，在中，求得，
，则，有．
，，为二面角的平面角为，
，，．
在中，由余弦定理可得．
，即．
则．
在中，求得，
．
故答案为：．

16．已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为　　；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为　 　．
【解答】解：已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，
如图：，，，
，，
，
取的中点，的中点，连结，，
当三棱锥体积最大时，
平面平面，
，
，就是外接球的半径为1，
此时三棱锥外接球的体积：．
由题意，，，，均在外接球上，，，
为直径，
，
，
过作，则，
，
三棱锥的高为，
三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为．
故答案为：；．

三．解答题（共15小题）
17．如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：由题意，点、分别是、的中点，
则，，
由于四边形为正方形，所以．
由于，，则平面．
又因为平面，所以：平面平面．
（2）在平面中，过作于点，连接，
由于为面和面的交线，，
则面，故．
在三棱锥中，可以利用等体积法求，
因为且，
所以，
又因为，
所以，
所以，
由于，则平面，
故，
因为且面，
所以面，
所以．
设正方形边长为，则，
在中，，
所以，
故，
又因为，
所以，
所以在中，，
即为与平面所成角的正弦值为：．

18．如图，在矩形中，，，分别为，的中点，以为折痕把折起，点到达点的位置，使．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．

【解答】证明：（1）、分别为，的中点，且，
在矩形中，，，（1分）
由翻折的不变性，，，
又，有，
，即，（3分）
又，，平面，平面，（4分）
平面，平面平面．（5分）
解：（2）过点作交于，由平面垂直性质定理得平面，
过点作交于，连结，则，
为二面角的平面角．（8分）
，，由等面积法求得．
在直角中，，
即二面角的正弦值为．（12分）

19．如图，四边形中，，，，，，分别是线段，的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，为线段的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：连接，由题意知，四边形为正方形，
连接交于，连接，所以为中点，
又因为为中点，所以，
因为，分别为，中点，所以，
因为，，，平面，平面，
所以平面平面．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
，，，，0，，，，，，，，
，，，
，，,,,,，，,
设平面的法向量为,,,
，令,,,,
所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．已知，分别为边，上的一点，且，如图所示，将沿折起为△，使点位于点的位置，连接，，．
（1）当时，记平面与平面的交线为，证明：；
（2）若为直角三角形，，且将沿折成直二面角，求当为何值时，平面与平面所成的二面角为．

【解答】解：（1）证明：当时，，分别为边，的中点，沿折起为△，所以，
所以，所以，
又，同理可得，
而，且都在平面内，
所以平面，
又在平面内，
，
，在平面内，不在内，
平面，
又平面与平面的交线为，
，
，
；
（2），，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，则，故，0，，，，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，可取，
设平面的一个法向量为，
平面与平面所成的二面角为，
，
，解得．
21．如图所示，等边三角形的边长为3，点，分别是边，上的点，满足，．将沿折起到△的位置，使二面角为直二面角，连接，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题可知，，，
二面角为直二面角，，即，
以为原点，、和分别为、和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，0，，，，，
，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
，，且、面，，面，
平面的法向量为，1，，
，
二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．

（2）设线段上存在点，，满足题意，且，
则，，，，，，，，即点，，，
，，，
由（1）知，平面的法向量为，，，
而与平面所成的角为
，，解得或，，
故不存在点满足题意．
22．已知直角三角形中，，，，点，分别是边，上的动点（不含点），且满足（图．将沿折起，使得平面平面，连结、（图．
求证：平面；
求四棱锥体积的最大值．

【解答】证明：，，，
．
，
，
，即．
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
解：设，则，，
．
，．
令，则，令得，
当时，，当时，．
在上单调递增，在上单调递减，
当，即，时，四棱锥体积最大．
此时．

23．等边三角形的边长为3，点，、分别是边、上的点，且满足．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连接、．

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
（3）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由题知在图1中，在中，，，
则，
即得：，所以，
即得，
则在图2中，有，，
二面角的平面角，
即得，
，，且，平面，
，平面．
（2）解：由（1）知：，，，
所以以为空间直角坐标系的原点，
以、、为，，轴建立空间直角坐标系．
则，0，，，0，，，，，，0，，，
，，0，，，，，
令平面的法向量为，
由，得，，，
记与平面所成角为，
则．
与平面所成角的正弦值为．
（3）解：假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．
令，
则，
而平面的一个法向量为，1，，
则由，解得，
在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，此时．

24．如图1，是等腰直角三角形，，，分别是，上的点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：取中点，连结，，
，为中点，，
，，
在中，．，
在△中，，，
，平面，
平面，平面平面．
（2）解：以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，，，，3，，
，3，，，2，，
设，，是平面的法向量，
则，令，得，，，
，3，，
设与平面所成角为，
则，
．
与平面所成角的余弦值为．

25．如图1，是等腰直角三角形，，分别是，上的点，．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：在图1中，易得，，，
连结，，在中，
由余弦定理可得，由翻折不变性可知，
，
．
同理可证，
又，
平面．平面平面；
（2）取中点，则．
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系．
则，0，，，0，，，，，，，，，3，

，．
设平面的法向量为，，
，
又．
．
与平面所成角的正弦值为．
26．已知如图一，，，，分别为，的中点，在上，且，为中点，将沿折起，沿折起，使得，重合于一点（如图二），设为，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．

【解答】（1）证明：如图一，，分别为，的中点，所以，，
又，，
由，故，
所以，故，
又，，平面，所以平面，
又平面，故，
如图，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，故，
又，，平面，故平面；
（2）解：设平面的法向量为，
，
由，得，
设平面的法向量为，
则，
由，得，
由，
结合图象知二面角为钝角，故二面角为．

27．等边的边长为3，点，分别为，上的点，且满足（如图①，将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图②．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点（不包括端点），使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：由题意可知，，，
，
，，
二面角成直二面角，即平面平面，平面平面，
平面．
（2）由（1）可知，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，0，，，，，
则，，，，0，，令，
则，，，即，，，
，，，
由（1）知，1，为平面的一个法向量，
则，
令，解得，即，，，
．
线段上存在点使得直线与平面所成的角为，且．

28．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）正的边长为3，且
，，
中，，由余弦定理，得

，．
折叠后，仍有
二面角成直二面角，平面平面
又平面平面，平面，
平面；
（2）假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为
如图，作于点，连接、
由（1）得平面，而平面
所以
、是平面内的相交直线，
平面
由此可得是直线与平面所成的角，即
设，则，
在△中，，所以，
在△中，，
由，得
解之得，满足符合题意
所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．


29．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点在线段上，，求直线与平面所成的角．
【解答】（Ⅰ）证明：因为等边的边长为3，且，
所以，．
在中，，
由余弦定理得．
因为，所以．
折叠后有．因为二面角是直二面角，
所以平面平面．又平面平面，
平面，，所以平面．
（Ⅱ）解：假设在线段上存在点，
使直线与平面所成的角为．如图，
作于点，连结、．
由（Ⅰ）有平面，而平面，
所以．又，所以平面．
所以是直线与平面所成的角．
设，，则，．
在△中，，
所以，在△中，．
由，得．
解得，满足，符合题意．
所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．

30．如图，中，，，，，分别为，上的点，，将沿折到△的位置，使平面平面．
（1）当为的中点时，设平面与平面所成的二面角的平面角为，直线与平面所成角为，求的值；
（2）当点在边上运动时，求四棱锥体积的最大值．

【解答】解：（1）作于，连接，则平面，
，
在矩形中，，，
在△中，，，
作，，
，
平面平面，，，
，

（2）设，，则，，
四棱锥体积，
，
令，可得，且在递增，在，递减，
时，四棱锥体积的最大值为．
31．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图．
（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：等边的边长为3，且，
，，
在中，，
由余弦定理得，
，
，
拆叠后有，
二面角是直二面角，
平面平面，
又平面平面，平面，，
平面．
（Ⅱ）解：假设在线段上存在点，
使直线与平面所成的角的正弦值为，
如图，作于点，连结，，
由（Ⅰ）有平面，
平面，，
又，平面，
是直线与平面所成的角，
直线与平面所成的角的正弦值为，
，
设，则，，
在△中，，，
在△中，，
由，
得，解得，满足，符合题意，
在线段上存在点，使直线与平面所成的角的正弦值为，
此时．