新高考数学二轮专题《立体几何》第14讲 立体几何存在性问题（2份打包，解析版+原卷版）

第14讲 立体几何存在性问题

一．解答题（共12小题）

1．在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面．

（1）求证：；

（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．

3．如图，在四棱锥中，底面为菱形且，为中点．

（Ⅰ）若，求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面平面，且，试问在线段上是否存在点，使二面角的大小为，如存在，求的值，如不存在，说明理由．

4．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，，，．

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）当，时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

5．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由．

6．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小．

7．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；

（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围．

8．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．

（1）求证：；

（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

9．在四棱柱中，底面是正方形，且，．

（1）求证：；

（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．

10．如图，五面体中，正的边长为1，平面，，且．

设与平面所成的角为，，若，求的取值范围；

（Ⅱ）在和条件下，当取得最大值时，求平面与平面所成角的大小．

11．如图，垂直于梯形所在的平面，．为中点，，． 四边形为矩形，线段交于点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．

12．如图，在四边形中，，，，平面，，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．