新高考数学二轮专题《立体几何》第17讲 立体几何建系繁琐问题（2份打包，解析版+原卷版）

第17讲 立体几何建系繁琐问题

一、解答题

1． 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．

（1）证明：，且平面平面；

（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明：，分别为，的中点，底面为正三角形，

，四边形为矩形，，

，，，

，，，

平面，

平面，

平面平面，

综上，，且平面平面．

（2）解：三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，

，

面，面，面面，

，四边形为平行四边形，

是正三角形的中心，，

，，，

由（1）知直线在平面内的投影为，

直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，

在等腰梯形中，令，过作于，

则，，，

，

直线与平面所成角的正弦值为．

2． 如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，，分别是，的中点

（1）证明：平面

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）取的中点，连接，，

在中，根据余弦定理可以算出，

发现，可以得出，又

，

又，可以得出，而，

平面，而平面，

，又，

．又，

平面．

（2）由（1）知，平面，所以为二面角的平面角，

在中，，，，

由余弦定理得，

因此二面角的余弦值为．

3． 如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．

（1）证明：；

（2）已知点，为线段，上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）证明：连接，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以．

在中，．

在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故．

在中，，所以为△，且．

因为，，且，所以平面，

而平面，．

因为，，且，所以平面，

而平面，．

（2）设平面与平面的交线为．

由，，知．

而平面，平面，

而平面平面，

．

由（1）知，平面，平面，

而，平面，，，

是平面与平面所成二面角的平面角．

在中，，

，．

在中，由知，，

由余弦定理得，

由正弦定理得，，即，．

故平面与平面所成二面角的正弦值为．

4． 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面．

（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：　　　　，则三棱锥为“鳖臑”；

（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，．

（ⅰ）证明：平面平面；

（ⅱ）设平面与平面的交线为，若，，求二面角的大小．

【答案】（1）由题意，四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，而平面，

要使三棱锥为“鳖臑”，则只需或或或；

（2）证明：平面，平面，

，

又，即，，，平面，

平面，

又平面，

，

又，，，平面，

平面，

又平面，

，

又，，，平面，

平面，

又平面，

平面平面；

由题意知，在平面中，直线与直线相交，

如图所示，

设，连接，则即为，

平面，平面，

，

平面，平面，

，

又，，平面，

平面，

又，平面，

，，

即为二面角的一个平面角，

在中，，，

，

又，

，

，

，即二面角的大小为．

5． 已知四面体，，，且平面平面．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

【答案】（Ⅰ）证明：，，

，取中点，

则，

平面，

．

（Ⅱ）解：过点作交延长线于，连结，

平面平面，平面，

为与平面所成角，

，，，

，

在中，

直线与平面所成角的大小为．

6． 已知四面体，，且平面平面．

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）求二面角的正切值．

【答案】（Ⅰ）证明：，，，

，，

取中点，则，，

平面，

平面，

.

（Ⅱ）解：过点作交延长线于，

过作于，连结，

平面平面，

平面，

根据三垂线定理知，

为二面角的平面角，

由已知可知，

设，则，

在中，，，

，

二面角的正切值为.

注：用空间向量做，酌情给分．