新高考数学二轮专题《立体几何》第11讲 非常规空间几何体为载体（2份打包，解析版+原卷版）

第11讲 非常规空间几何体为载体

一．选择题（共1小题）

1．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，，，则二面角的大小的正弦值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接，，，，，

过在平面上作于，连接，由三垂线定理，

是二面角的平面角，

，，所以在中，

故选：．

二．解答题（共19小题）

2．如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，，，求二面角的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：圆所在的平面，，

是圆的直径，且是圆上的点，，

又，平面，

而平面，平面平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，

为二面角的平面角，

在中，，．

3．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆0上异于，的点，

（1）求证：平面；

（2）设，分别为，的中点，问：对于线段上的任一点，是否都有平面？并说明理由．

【解答】（1）证明：因为圆所在的平面，平面，所以可得，

因为是圆上的点，是圆的直径，所以由直径对的圆周角等于，可得．

再由，利用直线和平面垂直的判定定理可得平面；

（2）对于线段上的任一点，都有平面．证明如下：

连接，，则

因为，分别为，的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

因为是的中位线，所以有，

因为平面，平面，所以平面．

而和是平面内的两条相交直线，故平面平面．

又平面，所以平面．

4．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，

（Ⅰ）若为线段的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）在中，因为，为的中点，

所以，

又垂直于圆所在的平面，

所以，

因为，

所以平面．

（Ⅱ）因为点在圆上，

所以当时，到的距离最大，且最大值为1，

又，所以面积的最大值为，

又因为三棱锥的高，

故三棱锥体积的最大值为：．

（Ⅲ）在中，，，

所以，

同理，所以，

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，

当，，共线时，取得最小值，

又因为，，

所以垂直平分，即为中点．

从而．

亦即的最小值为：．

5．如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在平面，且．

（1）为线段的中点，求证：平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求异面直线与所成的角．

【解答】（1）证明：在中，，为的中点，

，

又垂直于圆所在的平面，

，

，

平面；

（2）解：点在圆上，

当时，到的距离最大，

此时的面积最大，则三棱锥的体积最大，

以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，，，，1，，，0，，

，

，

与的夹角为，则异面直线与所成的角为．

6．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且．为线段的中点，

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥体积的最大值．

【解答】（Ⅰ）证明：在中，因为，为的中点，所以，

又垂直于圆所在的平面，所以；

又，所以平面；

又平面，

所以平面平面；

（Ⅱ）由，则，

所以；

又点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为6；

又，所以面积的最大值为；

又三棱锥的高为，

所以三棱锥体积的最大值为；

综上知，三棱锥体积的最大值为．

7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的四等分点，且靠近．

 （1）设是上的一点，且，求的大小；

（2）当，时，求二面角的余弦值的大小．

【解答】解：（1），，，

平面，

平面，，

，．

（2）以为坐标原点，过点作，与交于点，

分别以、、所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

由题意得，0，，，0，，，1，，，，，

，0，，，1，，，，，

设，，是平面的一个法向量，

则，取，得，，，

设，，是平面的一个法向量，

则，取，得，，，

．

二面角的余弦值为．

8．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，

 （1）设是上一点，且，若中点为，求证：平面平面；

（2）若，为上的一点，且，求二面角的余弦值．

【解答】证明：（1）由矩形知，

由，及，平面，

面，

由平面，知，

由，知，

由，知是等边三角形，

由为中点，得，

由平面，知，

由，平面，得平面，

由平面，得平面平面．

解：（2）二面角可以分割为二面角和二面角，

二面角的平面角为，

过作的垂线交于，过作的垂线交于，

则二面角的平面角为，

，，

设，则，，

，

二面角的余弦值为．

9．如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，

为的中点，，

在四边形中，，，为中点，

，平面平面，

平面，

平面．

解：（Ⅱ）连结，过作于，连结，

，，

推导出四边形为矩形，，

平面，又，

平面，，

设，由，得，

，

，，

又平面，，

平面，即点到平面的距离为，

，到平面的距离应该和平行且相等，为，

为中点，到平面的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，

到平面的距离为，

在，

由余弦定理得，

设直线与平面所成角为，则．

10．如图，在平行六面体中，平面，且，，．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值．

【解答】解：在平面内，过作，

平面，、平面，

，，

以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．

，，，

，0，，，，1，，

，2，，

，0，，．

，，，．

（1）．

异面直线与所成角的余弦值为；

（2）设平面的一个法向量为，

由，得，取，得；

取平面的一个法向量为．

．

二面角的余弦值为，则二面角的正弦值为．

11．在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆直径，是圆台的一条母线．

（1）已知，分别为，的中点，求证：面；

（2）已知，，求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：设的中点为，由三角形中位线定理可得，，

，面面，

则面；

（2）解：连接，则平面，

又，且是圆的直径，，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系方向为轴，方向为轴，方向为轴，

如图，

由题意得：，2，，，0，，过点作于点，

故，，1，，

故，

设是平面的一个法向量，则，取，则，

又平面的一个法向量，

故，

二面角的余弦值为．

12．如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，，．

（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．

（Ⅱ）设点为棱的中点，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）当点为上底面圆的圆心时，平面．

证明如下：

如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，

则，．

所以四边形为平行四边形，

所以，所以．

又，所以四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

故点为上底面圆的圆心时，平面．

（Ⅱ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

于是可得，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，

由，得．

令，则可取．

取平面的一个法向量为．

设平面与平面所成的锐二面角为，则，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

13．如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，．

（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．

（Ⅱ）设点为棱的中点，，求四棱锥体积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）当点为上底面圆的圆心时，平面．

证明如下：如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，

则，．

所以四边形为平行四边形，

所以，所以．

又，所以四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

故点为上底面圆的圆心时，平面．

（Ⅱ）在底面圆中，由得，

当且仅当时等号成立，所以四棱锥体积的最大值为．

14．如图，在三棱台中，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面，，，，求平面与平面所成的角（锐角）的大小．

【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，，，；

，又，

，

四边形为平行四边形；

，平面，平面；

平面；

同样，因为为中位线，；

又；

；

平面，；

平面平面，平面；

平面；

（Ⅱ）连接，则；

平面；

平面，并且；

，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：

，0，，，1，，，0，，，0，；

连接，根据已知条件，为中点；

；

又平面，平面；

，；

平面；

向量为平面的法向量；

设平面的法向量为，则：

，取，则：；

设平面和平面所成的锐二面角为，则：；

平面与平面所成的角为．

15．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长．

【解答】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

依题意可得，0，，，1，，，0，，

，，，，0，，，1，，

，0，，，，，

又因为，分别为和的中点，

得，，，，，．

可得，0，为平面的法向量，，，，

由此可得，又因为直线平面，所以平面．

（2）解：，，，，0，，

设，，为平面的法向量，则，

即，

不妨设，可得，1，．

设，，为平面的法向量，又，1，，

则，

得，不妨设，可得，，．

因此有，，

即平面与平面的夹角的余弦值为．

（3）解：依题意，可设，其中，，

则，，，从而，，，又，0，为平面的法向量，

由已知直线和平面的夹角的正弦值为，

得，，

整理得，

又因为，，解得，

所以，线段的长为．

16．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值．

【解答】证明：（Ⅰ）为等边三角形，为的中点，

，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，

．

（Ⅱ）取的中点，连接，则，

以为原点，分别以、、为坐标轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，0，，，，，

，，，，

设平面的一个法向量，则，

，令，得，1，．

平面的一个法向量为，

，，，

，

由二面角为钝二面角，

二面角的余弦值为．

（Ⅲ），

，，，

，，

，

解得．

17．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：．

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若平面，求的值．

【解答】证明：（Ⅰ）为等边三角形，为的中点，

，

平面平面，平面，

平面

．

（Ⅱ）取的中点，连接，

是等腰梯形，

，

由（Ⅰ）知平面，

平面，，

建立如图的空间坐标系，

则，，，，，，

则，0，，，0，，，，，

，0，，，，，

设平面的法向量为，，，

则，即，

令，则，，

即，，，

平面的法向量为，

则

即二面角的余弦值为；

（Ⅲ）若平面，

则，

即，

，，，，，，

，

解得．

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【解答】（1）证明：平面平面，且平面平面，

且，平面，

平面，

平面，，

又，且，

平面．

（2）解：取中点为，连接，，

，，

又，．

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则，0，，，1，，，，，，0，，

则，1，，，，，，0，，，，，

设，，为平面的法向量，

则，取，得，，，

设与平面的夹角为，

则直线与平面所成角的正弦值为：

．

（3）解：设，假设存在实数使得平面，，，，

由（2）知，，1，，，0，，，，，，1，，，，，

由，可得，，，

，，，

平面，，，为平面的法向量，

，解得．

综上，存在实数，使得平面．

19．如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求点到平面的距离．

【解答】证明：（1）取的中点，连接，，

在中，因为是的中点，

所以且，（1分）

因为，，，

所以且，（2分）

所以四边形是平行四边形，所以，（3分）

又平面，平面，

所以平面．（4分）

（2）在中，，，，

由余弦定理得，（5分）

因为，

所以．（6分）

因为平面平面，平面，平面平面，

所以平面．（7分）

解：（3）解法1：由（1）平面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，（8分）

设点到平面的距离为，

过作，交的延长线于，

则平面，所以是三棱锥的高．（9分）

由余弦定理可得，

所以，．（10分）

，．

因为，（11分）

即，解得．

所以点到平面的距离为．（12分）

解法2：因为，且，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离的，（8分）

由（2）平面．

因为平面，所以平面平面．

过点作于点，又因为平面平面，故平面．

所以为点到平面的距离．（9分）

在中，，

由余弦定理可得

所以，（10分）

因此，（11分）

所以点到平面的距离为．（12分）

20．已知：平行四边形中，，，平面平面，为等边三角形，，，为线段的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）取的中点，连结，，

为线段的中点，是的中点，

，又，，

，

四边形是平行四边形，

，

又平面，平面，

平面．

（2）取中点，连结，则，

平面平面，平面平面，平面，，

平面，又平面，

，

，，，

，

，，

又平面，平面，，

平面，又平面，

平面平面．

解：（3）过作，垂足为，则，

以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，0，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

设平面的法向量为，，，则，

，令得，，，

，

设直线与平面所成角为，则．

直线与平面所成角的正弦值为．