2022年新高考数学二轮提升数列专题第30讲《证明数列不等式：数学归纳法》（2份打包，解析版+原卷版）

第30讲 证明数列不等式：数学归纳法

一、解答题

1．（2021·全国全国·高三专题练习（文））函数f（x）＝ln（x+1）（a＞1）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a1＝1，an+1＝ln（an+1），证明：（n∈N*）．

2．（2021·安徽·三模（文））已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，g（x）＝ax（e为自然对数的底数），其中a∈R．

（1）试讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调性；

（2）当a＝2时，记函数f（x），g（x）的图象分别为曲线C1，C2．在C2上取点Pn（xn，yn）作x轴的垂线交C1于Qn，再过点Qn作y轴的垂线交C2于Pn+1（xn+1，yn+1）（n∈N*），且x1＝1．

①用xn表示xn+1；

②设数列{xn}和{lnxn}的前n项和分别为Sn，Tn，求证：Sn﹣Tn+1＞nln2．

3．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．

(1)求证：对任意n∈N*，an>2恒成立；

(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由；

(3)设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝3时，Sn<2n＋.

4．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，，其中为实数.

（1）证明：对任意成立的充分必要条件是；

（2）设，证明：对任意，；

（3）设，证明：对任意，成立.

5．（2021·全国·高二单元测试）已知函数的最大值不大于，且当时，．

（1）求的值；

（2）设，，，证明．

6．（2021·浙江·高三学业考试）已知数列满足：，，证明：当时，

（1）；

（2）；

（3）.

7．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）定义在上的函数满足：若对任意的实数，有，则称为函数．

（1）判断和是否为函数，并说明理由；

（2）当时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程在区间上有且只有一个实数根；

（3）设为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有．

8．（2021·全国·高三课时练习）已知递增等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式对任意恒成立，试猜想实数的最小值，并给予证明．

9．（2021·全国·高三专题练习）若数列的通项公式为，，证明：对任意的，不等式成立.

10．（2021·全国·高三专题练习）已知函数的最大值不大于，又当时，.

（1）求a的值；

（2）设，，，证明.

11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx的定义域为[0，1]，且满足下列条件：① 对于任意[0，1]，总有，且；② 若则有

（1）求f0的值；

（2）求证：fx≤4；

（3）当时，试证明：.

12．（2021·辽宁·东北育才学校高二期末）设数列满足，．

（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；

（2）令，，证明：．

13．（2021·山西·浑源县第七中学校高二月考）已知.

（1）求 ， ， 的值.

（2）用数学归纳法证明 .

14．（2021·贵州省瓮安第二中学高二月考（理））已知数列满足，．

（1）求，，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

（2）记数列的前项和为，证明：．

15．（2021·浙江·杭州市富阳区第二中学高二月考）已知数列 前n项和 满足.

（1）求数列 的通项公式；

（2）令 ，用数学归纳法证明：

16．（2021·河南南阳·高二期中）记为等差数列的前项和，且，.

（1）求；

（2）用数学归纳法证明：.

17．（2021·浙江温州·高二期中）已知数列满足：

（1）求，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；

（2）若，且对于恒成立，求实数的取值范围．

18．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.

证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．

19．（2022·浙江·高三专题练习）设数列的前项和为，数列满足：，其中．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）记，证明：．

20．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）在数列中，．

（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）用数学归纳法证明：．