2022年新高考数学二轮提升数列专题第32讲《蛛网图》（2份打包，解析版+原卷版）

第32讲 蛛网图

参考答案与试题解析

一．选择题（共24小题）

1．（2021秋•虹口区校级期中）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是　　（参考数据：，

A．是单调递增数列，是单调递减数列 

B． 

C． 

D．

【解答】解：由，得，

，

令，即，

则，

，．

作图如下：

由图可得：

．是单调递增数列，是单调递减数列，因此正确；

．，，，，

，，

，，因此正确；

．，，因此不正确；

．由不动点，，得，可得：，，因此正确．

故选：．

2．（2021春•浙江月考）数列满足，，对于，下列选项错误的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

可得，，

由，，

可得在递增，

可得，故错误；

即有，即正确；

又，可得，

可得，

即有，

故正确；

又，恒成立，

显然，即，故正确．

故选：．

3．（2021•浙江模拟）数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是　　

A．若，则 

B．若，则递减 

C．若，则 

D．若，则

【解答】解：（法一）对于选项，令，，则，令，

易知在上单调递减，在，上单调递增，此时，

又，若，则有，故选项正确；

对于选项，结合选项中的过程，作出递推函数与的交点，可得函数的不动点为和1，且，

故函数在单调递增，且，

故为吸引不动点，为排斥不动点，

故当时，数列向吸引不动点靠近，单调递减，故选项正确；

对于选项，，由选项，的过程可知，当时，数列单调递减且，故，

而显然，故成立，故选项正确；

对于选项，当时，结合选项，的过程及蛛网图，易知数列单调递增，

又，故当时，，即，

故，

，

故，故选项错误．

（法二）作出与的图象，由蛛网图可知，选项，正确；

若，由蛛网图可知，，时，，则，

故，选项正确；

若，则，，比较与的大小，

，

则，选项错误．

故选：．

4．（2021•浙江模拟）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项中错误的是　　

A．是单调递增数列，是单调递减数列 

B． 

C． 

D．

【解答】解：由，得，

，

令，即，则，，，

作图如下：

由图得：

①单调递增，单调递减，

，故正确；

②，，，，

，，

，，故正确；

③，，故错误．

④由不动点，得，，

，，故正确．

故选：．

5．（2021秋•浙江月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：（1）下面先证明．由，，则，，，化为：，

时，，

，，，，

，

又，

，可得，

时，，因此，得，

（2）下面证明．

，，化为：，

，

化为：，

，，，，，

，

，可得．

综上可得：．

．

故选：．

6．（2021秋•温州月考）已知数列满足，，给出以下两个命题：命题：对任意，都有；命题：存在，使得对任意，都有．则　　

A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假

【解答】解：由题意可得，

，

数列单调递减，所以，

而当时，且

则，所以命题为真命题．

而，

所以，

所以，，

即，

所以，

可得，

即存在，对任意，都有成立，

又，

所以，即小于0有解，所以命题为假命题．

综上可知，命题为真命题，命题为假命题．

故选：．

7．（2021秋•浙江期中）已知数列满足，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，所以，所以，

所以，所以，

又因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，所以，

故选：．

8．（2021秋•浙江期中）已知数列满足，且，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可知，数列单调递减，且，

取倒数，，两边平方，

利用单调性进行放缩，

故，可得，

所以，，

故选：．

9．（2021春•驻马店期末）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于选项，，故错误；

对于选项，

由 知，，

故 为非负数列，又，

设，则，

易知 在，单调递减，在上单调递增，

所以，

又，所以，从而，

所以 为递减数列，且，故错误；

对于选项，

因为数列 为递减数列，当 时，有，

，

故正确；

对于选项，

因为，而，故错误．

故选：．

10．（2021•西湖区校级模拟）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，解得或，

由零点存在性定理得，

当时，，数列单调递减，

，，同理，，

迭代下去，可得，数列单调递减，

故选项和选项都错误；

又，

，故错误；

对于，，

而，

，故正确．

故选：．

11．（2021春•杭州期中）已知数列满足：，．则下列说法正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为恒成立，

所以，

则，

因为在上单调递增，

所以，

当时，．

故选：．

12．（2021•浙江模拟）已知数列满足为自然对数的底数），则　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，，

，即，故错误；

对于，，

，故错误；

对于，，设函数，，

则，

函数为单调递增函数，则数列为单调递增数列，

故，故正确，错误．

故选：．

13．（2021秋•浙江月考）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，把代入递推可得：，

令，，则，在单调递增，

，即当时，恒有成立，

，，，故选项错误；

又，选项错误；

，，

令，，则，函数在，上递减，，

，故选项正确；

又由可得，，（当且仅当时取“ “，可得，

，故选项错误，

故选：．

14．（2021•诸暨市校级模拟）已知数列满足，，，则　　

A．当时， B．当时， 

C．当时， D．当时，

【解答】解：因，所以数列递增，故，

当时，，

，故错误；

当时，，

，

，

，

故，

，

故选：．

15．（2021•柯桥区校级开学）已知数列，满足，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：数列，满足，，

，，

假设，取，得，

，，故排除和；

取，得，，，排除．

故选：．

16．（2021春•西城区校级期末）函数，定义数列如下：，，若给定的值，得到无穷数列满足：对任意正整数，均有，则的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C． D．

【解答】解：函数，定义数列如下：，

，

即从第二项开始数列为正数，

，

，

当时，解得，

解得或，

故选：．

17．（2021秋•黄浦区校级月考）已知数列满足，且数列是单调递增的，则首项的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C． D．，，

【解答】解：数列满足，首项，数列是单调递增的，

所以，

则，即，

当时，解得，，．

当时，不等式不成立．

当时，，不满足题意，

当时，取关系式成立．

当时，取时，关系式不成立．

故实数的取值范围是．

故选：．

18．（2021•浙江开学）已知数列的各项都是正数且满足，，是数列的前项和，则下列选项中错误的一项是　　

A．若单调递增，则 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则．

【解答】解：数列的各项都是正数且满足，，

若单调递增，可得，

即为，可得，且，

由，可得，故正确；

若，可得，解得（负值已舍去），

由，，

，

而在，的范围是，，

而，则，，故方程的解在，内，故正确；

由，可得，即，

即，可得，故正确；

若，可得，解得，，

由，，可得，故错误．

故选：．

19．（2021秋•柯桥区期末）已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是　　

A．， B．， C． D．

【解答】解：由题意易知，成立，故；

又，故只要在上有解，则；

又恒成立，即，即，则；

综上所述，实数的取值范围为，．

故选：．

20．（2021秋•浙江月考）数列满足：，则的值所在区间为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，数列满足，

则，，

以此类推，可得

则有，

则，故，

则的值所在区间为；

故选：．

21．（2021秋•浙江期中）设数列满足，，，若对一切，，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：当，，即，故，

设，显然函数递增，

当时，，

即，

，

综上，．

故选：．

22．（2021•下城区校级模拟）已知数列满足：，且，下列说法正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C． D．

【解答】解：，，．

，故且，于是

与同号，

．

对于，若，则，则，，所以，故错误；

对于，，

即，于是，

即数列单调递减，

于是，

所以，

即，

，

，

故，正确；

对于，考虑函数，如图所示

由图可知当 时，数列 递减，

所以，即，所以不正确；

对于，设，则，

由上图可知，由上图可知，，

即，

等价于，

化简得：，

而显然不成立，所以不正确；

由排除法可知正确．

故选：．

23．（2021•浙江模拟）已知数列满足，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：数列满足，，

，，

，与异号，

，，

则，，，

．

．

故选：．

24．（2021•鹿城区校级模拟）已知数列由首项及递推关系确定．若为有穷数列，则称为“坏数”．将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：注意到： 是有穷数列的条件是，即，这是第一个坏数，

再由：，这是第二个坏数，

依此类推， 满足：，

即：，

注意到：，

则，且有：，，

一方面：，

，

则，

，

则，

另一方面：，

故，

则，

，

则，

则，

，故正确，

同理，我们有：，

，综上所述，故均错．

故选：．

二．多选题（共3小题）

25．（2021春•江宁区校级月考）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：选项，，正确；

选项，因为，所以当时，单增，

所以（1），

因为，所以，所以，正确；

选项，因为，所以，错误；

选项，令，，

所以在单调递增，所以（1），

所以，则，

所以，即，

所以，所以错误．

故选：．

26．（2021春•天心区校级期末）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述不正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由 知，，

故为非负数列，又，

设，则，

易知 在，单调递减，且，

又，所以，从而，

所以 为递减数列，且，故、 错误；

又，

故当 时，有，

所以，

故错误；

又，而，故 正确．

故选：．

27．（2021秋•9月份月考）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项正确的是　　

A．是单调递增数列，是单调递减数列 

B． 

C． 

D．

【解答】解：由，

可得，

即有，

令，即，

则，，，

作出和的图像，

由图像可得，是单调递增数列，是单调递减数列，故正确；

因为，，所以，，

所以，，则，，故正确；

因为，所以

，故错误；

由不动点，，可得，

可得，所以，故正确．

故选：．

三．填空题（共1小题）

28．（2021秋•吴兴区校级月考）已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是　　．

若，，且，则整数　　．

【解答】解：①是递增数列，，，

又各项都是正数，，，成立，

先用数学归纳法证明时，成立，

当时，，不等式成立，

假设时，成立，

当时，，，

解得，成立，

成立，，是递增数列，

；

②由，两边取倒数，则，

，，，

，

由①可知，，，，

，

又，为整数，．

故答案为：；．