2023届广西柳州市新高三摸底考试数学（文）试题含解析

广西柳州市2023届新高三摸底考试

数学（文）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知向量，的夹角为，且，，则（       ）

A．－1 B． C．－2 D．1

4．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（       ）

A．这五个社团的总人数为100

B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C．这五个社团总人数占该校学生人数的8%

D．从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%

5．执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)

A．2 B． C． D．

6．若，则（       ）

A． B． C． D．

7．若，则＝（       ）

A．－ B． C．－ D．

8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（       ）

A．2 B．－3 C．－2 D．0

9．已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ）

A． B． C． D．

10．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（       ）

A．9 B．7 C．11 D．3

11．已知是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

12．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．记等差数列的前n项和为，若，则___．

14．若函数，则在点处的切线方程为___．

15．已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．

16．在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：

①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；

③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．

其中所有真命题的序号是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，，求△ABC的面积．

18．已知数列满足.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）求数列的前项和公式.

19．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．

(1)完成列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．

．

20．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

21．已知函数．

（1）讨论当时，f(x)单调性．

（2）证明：．

22．已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程．

(2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

先化简集合，再利用交集运算求解.

【详解】

因为，所以，即，所以.

故选：B.

2．D

【解析】

【分析】

根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】

因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，

因此，.

故选：D.

3．A

【解析】

【分析】

根据数量积的运算求解即可

【详解】

故选：A

4．B

【解析】

【分析】

根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．

【详解】

这五个社团的总人数为，．A错误，C错误．

因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为

，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误．

故选：B．

5．C

【解析】

【详解】

试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.

【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.

6．A

【解析】

【分析】

利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.

【详解】

因为，所以；

因为，所以，

，，而，

所以，即.

故选：A.

7．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.

【详解】

依题意，，所以.

故选：C

8．C

【解析】

【分析】

作出平面区域，结合图像求直线在轴截距的最小值，通过平移直线可得在在点处取到最小值，代入运算求解．

【详解】

根据题意可得平面区域，如图所示：

∵目标函数，即，则求直线在轴截距的最小值

结合图像可得在点处取到最小值

故选：C．

9．B

【解析】

【分析】

圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.

【详解】

圆的圆心，

所以圆心到直线的距离为，则，

而，所以，解得：.

故选：B.

10．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.

【详解】

因直线是曲线的一条对称轴，则，即，

由得，则函数在上单调递增，

而函数在区间上不单调，则，解得，

所以的最小值为11.

故选：C

11．D

【解析】

【分析】

由是定义为R上的奇函数可知函数关于点对称；再结合，即可得出.再结合f(x)在上单调递增，在上单调递减，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.

【详解】

因为是定义为R上的奇函数,

所以;函数关于点对称.

当时：；

当时：;

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，解得;

当时，解得;

当时，解得;

综上所述：不等式的解集

故选：D.

12．B

【解析】

【分析】

利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.

【详解】

依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，

，因此，，在，，

即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，

所以E的离心率为.

故选：B

【点睛】

方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

13．33

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用等差数列性质求出首项和公差，再利用前n项公式计算作答.

【详解】

等差数列中，，由得，则公差，

首项，

所以.

故答案为：33

14．

【解析】

【分析】

求导，再根据导数的几何意义即可得出答案.

【详解】

解：由函数，

得，，

则，

故，

所以在点处的切线方程为，

即.

故答案为：.

15．1

【解析】

【分析】

利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值.

【详解】

因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，

所以.

所以，所以（当且仅当时等号成立）.

所以.

即的最小值为1.

故答案为：1

16．①③

【解析】

【分析】

由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过到的距离来计算到的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．

【详解】

易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．

故答案为：①③

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；

（2）由余弦定理与面积公式求解即可

(1)

由已知及正弦定理知：．

因为C为锐角，则，所以．

因为A为锐角，则

(2)

由余弦定理，．

则，即

即，因为，则

所以△ABC的面积．

18．（1）证明见解析，（2）

【解析】

【分析】

（1）由已知得an+12（an），，从而能证明{an}是首项为，公比为2的等比数列，并能求出{an}的通项公式．

（2）利用分组求和可求解

【详解】

(1)由可得,即

所以是一个以2为首项，以2为公比的等比数列

所以,所以

(2)

【点睛】

本题考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和的合理运用．

19．(1)填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据给定数据，完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（3）对5人编号，利用列举法结合古典概型概率公式计算作答.

(1)

根据已知数据得到如下列联表：

根据列联表中的数据，得，，

所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.

(2)

记至少1人对冰球有兴趣为事件D

记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，

则从这5人中随机抽取2人，有，共10个结果，

其中2人对冰球都有兴趣的有，共3个结果，

1人对冰球有兴趣的有，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，

所以所求事件的概率．

20．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）证明，利用线面垂直判定定理求解；

（2）利用等体积法求点C到平面POM的距离即可.

(1)

连接OB，如图，

∵，∴，即△ABC是直角三角形，

又O为AC的中点，∴，又∵，

∴

∴．

∴，OB、AC平面ABC

∴PO⊥平面ABC．

(2)

由（1）得PO⊥平面ABC，

在中，，

．

设点C到平面POM的距离为d，由，

解得，

∴点C到平面POM的距离为．

21．（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，按和两类讨论，得出函数的单调性；

（2）要证，即证．构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，转化求解即可．

【详解】

（1）解：由题意可知

对于二次函数．

当时，恒成立，f(x)在上单调递减；

当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，

当，f(x)在单调递增；

当，f(x)在和单调递减

综上：当时，f(x)在（0，＋∞）单调递减

当时f(x)在单调递增；单调递减．

（2）证明：要证，即证．

（方法一）设，则，在（0，＋∞）上为增函数，

因为，所以在（，1）上存在唯一的零点m，

且，即．

所以h(x)在（0，m）上单调递减，在上单调递增，

所以，．

因为，所以等号不成立，所，

所以，从而原不等式得证

（方法二）不妨设，则，

当时，，当时，，

因此恒成立，．

则恒成立，．

则恒成立，即．

又，所以等号不成立，即，从而不等式得证

22．(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意列出方程化简求解即可；

（2）要使，只需，利用斜率公式及根与系数的关系化简即可得证.

(1)

Q（x，y），由题意，得，

当时，，平方可得，

当时，，平方可得，

由可知，不合题意，舍去.

综上可得，所以Q的轨迹方程C为．

(2)

不妨设，因为，所以，

从而直线PA的斜率为，解得，即A（2，1），

又F（0，1），所以轴．要使，只需．

设直线m的方程为，代入并整理，得．

首先，，解得或．

其次，设，则，

，故.

此时直线m的斜率的取值范围为．