2023届广西南宁市高三二模数学（文）试题含解析

这是一份2023届广西南宁市高三二模数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西南宁市高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知复数，则的虚部为（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用复数的四则运算、虚部的概念以及的性质计算求解.【详解】因为，则的虚部为1，故A，B，D错误.故选：C.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的补集、交集运算求解.【详解】因为，所以或，又，所以，故A，B，C错误.故选：D.3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（    ）A．甲乙两班同学身高的极差相等B．乙班同学身高的平均值较大C．甲乙两班同学身高的中位数相等D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多【答案】B【分析】利用极差、平均值、中位数的概念即可解决本题.【详解】甲班同学身高的极差为182-157=25，乙班同学身高的极差为183-159=24，所以甲乙两班同学身高的极差不相等，从而A不正确；甲班同学身高的平均值为，乙班同学身高的平均值为，所以乙班同学身高的平均值较大，从而B正确；甲班同学身高的中位数是，乙班同学身高的中位数是，所以甲乙两班同学身高的中位数不相等，从而C不正确；甲班同学身高在175cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175cm以上的人数为4人，所以乙班同学身高在175cm以上的人数较多，从而D不正确.故选：B4．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据正视图，想象它可能是什么组合体，然后再确定俯视图的可能形状．【详解】由正视图，如果原几何体上面是一个球，下面是一个圆柱，则俯视图是A；如果原几何体上面是一个球，下面是一个正方体或底面是正方形的长方体，则俯视图是B，如果原几何体上面是一个圆柱，下面是一个长方体，则俯视图是D，只有C不可能，（如果俯视图是C，则正视图不能仅仅是长方形（或正方形），中间还应有其它虚线）．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查三视图，考查空间想象能力，解题关键是掌握基本几何体的三视图．方法：由正视图想象可能是什么组合体，再想象其俯视图的可能形状，判断各选项得出结论．5．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（    ）A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h【答案】D【分析】由给定条件得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】依题意，，则，设过滤的污染物需要的时间为，则，因此，所以.故选：D6．已知，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据倍角公式，把题中等式转化为，解得后，再由二倍角公式计算.【详解】由得，化简得：，解得或，因为，所以...故选：B.7．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．.【答案】C【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除BD；，，故，排除A.故选：C8．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据题意可得该设备年平均费用，结合基本不等式分析运算.【详解】由题意可得：该设备年平均费用，∵，则，当且仅当，即时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选：C.9．函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由函数图象可得解析式，即可得.【详解】由图象可得最小值为，则；，则最小正周期为；又函数在时，取最小值，则，又，当时，.则，故.故选：A10．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得.【详解】由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，所以，因为双曲线的离心率，所以，，所以双曲线的方程为.如图：根据双曲线的定义知由余弦定理，得，又因，得，.根据椭圆的定义知：，所以，，所以椭圆的方程为.故选：A.11．已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，在根据锐角三角形的性质分析运算.【详解】∵，由正弦定理可得，则，在锐角三角形中，，则，∴，即，可得，解得.故选：C.12．已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.【详解】依题意，因为为定义在为偶函数，所以，所以，所以为奇函数且，因为，，令，则有，解得.因为，所以，又，所以，由得，所以是以4为周期的周期函数，所以，所以，故A，B，C错误.故选：D. 二、填空题13．已知向量，，且满足，则_______.【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】由已知，又，所以，．故答案为：4.14．已知圆和直线，则与直线l平行且与圆C相切的直线方程为_______.【答案】或【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式求解作答.【详解】圆的圆心，半径，依题意，设所求直线的方程为：，由于该直线与圆C相切，因此，解得或，所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为或.故答案为：或 15．已知，用表示不超过的最大整数，例如，，则函数，在的零点个数是______.【答案】7【分析】根据已知，利用一次函数、正弦函数的图象以及函数零点与方程的根的关系求解.【详解】函数的零点等价于方程的根，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，当时，方程等价于：，因为方程的根的个数等价于函数与函数的交点个数，如图，由函数函数，与函数，的图象可知，函数，在有7个零点.故答案为：7.16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______. 【答案】【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，即，由题意得，在中，由余弦定理得即即，解得或（舍去），将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径，所以外接球的体积.故答案为： 三、解答题17．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这100人的竞赛成绩的平均数；(2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.【答案】(1)73.5(2) 【分析】（1）根据频率的性质求a，再根据平均数运算求解；（2）先根据分层抽样求每组抽取的人数，再结合古典概型运算求解.【详解】（1）依题意可得：，解得：，根据频率分布直方图知：每组的频率依次为，则平均数的估计值为，所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.（2）由题意可知：竞赛成绩在，两个组的人数之比为，若采用分层抽样从中抽取6人，所以每组各抽学生人数分别为，分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5，中所抽取的1人编号为A，所以从6人中随机抽取2人的情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种结果，其中这2人来自同一组（记为事件）的有10种，则所以这2人来自不同组的概率为.18．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接和，通过证明，即可证明结论；（2）连接，取中点，连接.通过证明面，面，可得，，后由等体积法可得答案.【详解】（1）证明：取中点，连接和.∵为中点，∴且.∵且，∴且.∴四边形为平行四边形，则.∵面，面，∴面.（2）连接，取中点，连接.则等边中，，.∵面面，面面，面，∴面，∴.∵，面，面，，∴面，，.∴因直角梯形中，连接，则，，∴∴，，，∴∴设到面的距离为，则，解得.即到面的距离为.19．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件列出等比数列基本量的方程组，即可求解；（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，因为，，成等差数列，则，即②，因为，所以由②式可得，解得或（舍），代入①式可得，（2）由得，则③，所以④③④得20．已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同交点A，B，且直线交y轴于M，直线变y轴于N.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)证明：存在定点T，使得，且.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先求出抛物线方程，然后和直线l联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；（2）设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点T.【详解】（1）解法1：将代入抛物线得，.依题意可设，，直线，联立直线l与抛物线得：，则，由得且，又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，且，综上.解法2：将代入抛物线得，.依题意可设，，直线，由得：，则解得且又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，且，综上.（2）设点，，由，，，则可设，，，，故同理：，，直线，令得，同理，，，，又，.所以存在点满足题意.21．已知函数，(1)若过点，求在该点处的切线方程；(2)若有两个极值点，且，当时，证明：【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求得，结合导数的几何意义求切线方程；（2）根据题意可得：是方程的两正根，方法一：整理得，换元令，构建，，利用导数证明；方法二：分析可得证明，构建，利用导数判断单调性即可证明；方法三：利用对数均值不等式证明.【详解】（1）已知，，将代入得，解得所以，则可得，即切点坐标为，切线斜率所以所求切线方程为，即.（2）由题意可得：，∵有两个极值点，且，所以是方程的两正根，整理得，构建，则，由，令，解得；令，解得；所以在单调递减，在单调递增其大致图像如图所示，由图像可知当，方程有两个正根，符合题意，方法一：由，两边取对数得，整理得，若，等价于，可得，注意到，令，则，可得，整理得，故等价于，构建，，则对恒成立，故在上单调递增，则，故；方法二：其大致图像如图所示由图像可知：当时，可得∴要证，等价于证明，而在单调递减，即证明，又∵，即证明，构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递减，且，则，可得，即，注意到，则，∴在单调递减，则，即，∴；方法三：接方法一（用到对数均值不等式）由，取对数得，作差得，由对数均值不等式得：，∴，即.以下证明：，即证明：，令，，构建，则，故在单调递增，从而，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．22．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；(2)点P在直线l上，射线交曲线C于点R，点Q在射线上，且满足，求点Q的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C的极坐标方程，直线l的极坐标方程.(2) 【分析】（1）把曲线C和直线l的参数方程化为普通方程，再利用，化为极坐标方程.（2）设点Q的极坐标为，代入，点Q的轨迹方程，化为直角坐标方程即可.【详解】（1）因为曲线（为参数），消参得曲线C的普通方程为，因为，，所以曲线C的极坐标方程为，即；因为直线（t为参数），消参得普通方程为，直线l的极坐标方程为.（2）设点Q的极坐标为，则，，代入得，即，则，所以点Q轨迹直角坐标方程为.23．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)若，则；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式证明；（2）用柯西不等式证明．【详解】（1），，，，当且仅当，时取等号，，即；（2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，，，，当且仅当时取等号．