广西柳州市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

这是一份广西柳州市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
4．在平面直角坐标系中，角以x轴的非负半轴为始边，且点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
5．某个高级中学组织物理､化学学科能力竞赛，全校1000名学生都参加两科考试，考试后按学科分别评出一､二､三等奖和淘汰的这四个等级，现有某考场的两科考试数据统计如下，其中物理科目成绩为二等奖的考生有12人.如果以这个考场考生的物理和化学成绩去估计全校考生的物理和化学成绩分布，则以下说法正确的是（ ）
①该考场化学考试获得一等奖的有4人；
②全校物理考试获得二等奖的有240人；
③如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰78人.
A．①②③B．②③C．①②D．①③
6．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．1B．C．D．或
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）．
A．B．
C．D．
9．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．函数，则的图象在内的零点之和为（ ）
A．2B．4C．6D．8
11．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的某一点，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.
14．函数在处的切线方程是________.
15．数列满足，，则_________.
16．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
三、解答题
17．求值：（1）；
（2）.
18．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：
现根据散点图利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据：
且(，)与(，)(i＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为，，且＝﹣0.9953．
（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；
（3）已知蕲艾的利润z与x、y的关系为，当x为何值时，z的预报值最大．
参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365，对于一组数据(，)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
19．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形.，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.
(1)若M为PB的中点，证明：面PAD；
(2)求三棱锥的体积.
20．已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围.
21．已知抛物线上一点，焦点为F．
(1)求的值；
(2)已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且，过点P作直线AB的垂线，垂足为C，求C点的轨迹方程．
22．已知△ABC的外接圆的半径为，角的对边分别为，又向量，，且.
(1)求角C；
(2)求△ABC的面积S的最大值，并求此时△ABC的周长.
23．已知函数.
（1）若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
（2）证明：.
10.15
109.94
3.04
0.16
13.94
-2.1
11.67
0.21
21.22
参考答案
1．C
【分析】应用集合的并运算求即可.
【详解】由题设，.
故选：C.
2．B
【分析】根据复数除法运算解决即可.
【详解】由题知，，
所以，
故选：B
3．B
【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，即得．
【详解】选项A，函数不是偶函数，故A不满足.
选项B，对于函数，f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，所以y＝|x|是偶函数，当x>0时，y＝x，所以在(0，＋∞)上单调递增，故B满足；
选项C ，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，故C不满足；
选项D ，不是偶函数．故D不满足.
故选：B.
4．A
【分析】由三角函数定义求得，然后由正弦的二倍角公式计算．
【详解】,
由角的正、余弦值的定义可得，
于是，
故选：A.
5．C
【分析】由物理二等奖的人数和频率可得该考场总共人数，乘以化学考试获得一等奖的频率可判断①；计算出全校获得物理考试二等奖的频率和总人数相乘可判断②；采用分层抽样从全校抽取200人，乘以化学考试被淘汰的人数的频率可判断③.
【详解】由于，所以该考场总共有50人，所以化学考试获得一等奖的有人，所以①正确；全校获得物理考试二等奖的有人，所以②正确；如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰的人数为人，所以③错误.
故选：C.
6．D
【分析】根据等差数列的通项公式，可得，由此即可求出结果.
【详解】因为为等差数列，，
所以，所以或.
故选：D.
7．A
【分析】根据指数函数对数函数单调性,分别计算出范围比较即可.
【详解】因为，，，所以．
故选:.
8．D
【分析】由条件结合圆的切线性质可得出，结合两点间的距离公式可得出答案.
【详解】由得．
因为两圆的半径均为1，则，
则，即．
所以点P的轨迹方程为．
故选：D
9．A
【分析】由正视图、侧视图画出原来的三棱锥可得答案.
【详解】
由正视图和侧视图可知，原三棱锥如图为，其俯视图为
故选：A.
10．B
【分析】由题可知函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，利用数形结合及函数的对称性即得.
【详解】由可得，
则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，
又函数与函数的图象都关于点对称，
作出函数与函数的大致图象，
由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．
故选：B.
11．D
【解析】A选项不是奇函数，判断A选项错误；B选项不是减函数，判断B选项错误；C选项不是减函数，判断C选项错误；D选项既是奇函数又是减函数，判断D选项正确.
【详解】A选项：因为函数，所以，所以A选项错误；
B选项：因为函数，所以，，所以B选项错误；
C选项：因为函数，所以，，所以C选项错误；
D选项：因为函数，函数过原点的正比例函数，所以是奇函数又是减函数，故D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题.
12．D
【分析】设，根据两双曲线的离心率相同求出，再根据求出的关系，最后根据求出，即可得解.
【详解】解：由题不妨可设，
由题意可得，
则，，
所以，即代入，
可得，所以，
则，即双曲线的实轴长为.
故选：D．
13．
【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值.
【详解】由，又A，C，D三点共线，
所以且，则，可得.
故答案为：
14．
【解析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可.
【详解】解：由函数，
求导可得，
所以，
又，
即函数在处的切线方程是，即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.
15．
【分析】将展开，两边同时除以，再构造数列结合等比数列即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：.
16．##
【分析】设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，则，证得平面PAB，则，O即为三棱锥外接球的球心，再由球的表面积公式求解即可.
【详解】
如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，
，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，
又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，
∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，
∴该三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.
17．(1).
(2).
【详解】分析：（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得sin•sin的值;（2）在所求的式子中，把tan20°+tan40°用 tan（20°+40°）（1﹣tan20°tan40°）来代替，运算可得结果．
详解：（1） ；
（2）

.
点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，诱导公式以及二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
18．（1）用模型建立与的回归方程更合适；（2）；（3）当温度为20时这种草药的利润最大．
【分析】（1）利用相关系数，，比较与的大小，得出用模型建立回归方程更合适；
（2）根据（1）的结论求出关于的回归方程即可；
（3）由题意写出利润函数，利用基本不等式求得利润的最大值以及对应的值．
【详解】（1）由题意知，
，
因为，所有用模型建立与的回归方程更合适．
（2）因为，
，
所以关于的回归方程为
（3）由题意知
，所以，当且仅当时等号成立，
所以当温度为20时这种草药的利润最大．
19．(1)证明过程见解析；
(2).
【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形CDHM为平行四边形，得到线线平行，进而证明线面平行；
（2）利用求解三棱锥的体积.
【详解】（1）取AP的中点H，连接DH，MH，
因为M为PB的中点，
所以HMAB且，
因为，，，
所以，
所以HMCD，且HM=CD，
所以四边形CDHM为平行四边形，
所以DHCM，
因为平面PAD，平面PAD，
所以CM平面PAD.
（2）取AD的中点E，连接PE，
因为为等边三角形，
所以PE⊥AD，
因为平面平面ABCD，交线为AD，平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD，
因为，，
所以CD⊥BC，
因为，
所以，
过点D作DN⊥AB于点N，
则四边形BCDN为矩形，所以BN=CD=，，
因为，所以，
由勾股定理得：，
所以，，
则三棱锥的体积.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等式组，即可解得函数的解析式；
（2）不妨设，可得出，则函数在上为增函数，由在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由条件，可知函数的定义域为，
所以，，
可得，解得.
（2）解：对、，，都有，
不妨设，由，
则，可得，
也即可得函数在区间上递增；
对任意的恒成立，即，
当时，，故，解得.
因此，实数的取值范围是.
21．(1)2
(2)
【分析】（1）将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；
（2）设直线AB的方程为：，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，再根据，求得的关系，从而可得直线AB过定点，再根据，可得C点的轨迹为PH为直径的圆，即可得出答案.
【详解】（1）解：∵，∴
∴抛物线方程为，准线方程为，；
（2）解：由已知直线AB存在斜率，设直线AB的方程为：，
由，有，记，
则，，
∵
，
∴，
则直线AB的方程为：，过定点，
∵，则C点的轨迹为PH为直径的圆，其方程为，
则轨迹方程为.
22．(1)
(2)，18
【分析】（1）由和正弦定理求得，再用余弦定理求出；
（2）利用正余弦定理得到，利用基本不等式求得，判断出△ABC为正三角形即可求出三角形的周长.
（1）
∵，∴，
且，由正弦定理得：，
化简得：，
由余弦定理：，∴，
∵，∴.
（2）
∵，
（当且仅当时取“=”）∴，
∴，此时△ABC为正三角形，所以三角形的周长为18.
23．（1）(-∞，4]；（2）证明见解析.
【解析】（1）分和两种情况讨论的单调性，求出的最小值，即可得出实数a的取值范围；
（2）利用绝对值不等式和基本不等式可得，又，即可得证.
【详解】（1）当x≥1时，.
当时，在区间[1，2)上单调递减，在区间上单调递增，
此时f(x)min=f（2）=4；
当时，在区间上单调递增，
此时.
综上，当x∈[1，+∞)时，f(x)min=4，
所以a≤4，即a的取值范围为(-∞，4].
（2）因为，
当且仅当时，等号成立.
又，当且仅当x=2或-2时，等号成立，
所以，当且仅当x=2或-2时，等号成立.
又，当且仅当x=1时取等号，所以.
【点睛】本题考查分类讨论法解决含绝对值函数问题，考查绝对值不等式和基本不等式的应用，属于中档题.