广西柳州市2023届新高三理数摸底考试试卷及答案

这是一份广西柳州市2023届新高三理数摸底考试试卷及答案，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西柳州市2023届新高三理数摸底考试试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合 ， ，则 （　　）  A． B．[－1，1]C．[－1，＋∞） D．[－1，1）2．设 ，若复数 的虚部与复数 的虚部相等，则 （　　）  A． B． C． D．3．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （　　）  A．－1 B． C．－2 D．14．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）A．2 B． C． D．5．若 ，则（　　）  A． B． C． D．6．若 ，则 cos2α ＝（　　）A．－  B． C．－  D．7．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（　　）  A．2 B．－3 C．－2 D．08．已知直线 与圆 相交于A，B两点 ，则k＝（　　）  A． B． C． D．9．今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（　　）  A．44种 B．48种 C．60种 D．50种10．若直线 是曲线 的一条对称轴，且函数 在区间[0， ]上不单调，则 的最小值为（　　）A．9 B．7 C．11 D．311．函数 是定义域为R的偶函数，当 时， ，若关于x的方程 ， 有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）  A．（－ ，－ ） B．（－ ，－ ）C． D．（－ ，－ ）12．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线有焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： 的左、右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 ， ，则E的离 A C心率为（　　）  A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，）13．已知直线 是曲线 的一条切线，则b＝　     　．14． 展开式中 的系数为　     　（用数字作答）．15．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 上的一点，则 的最大值为　     　．16．在正方体 中，点E为线段 上的动点，现有下面四个命题：  ①点E到直线AB的距离为定值；       ②直线DE与直线AC所成角为定值；③三棱锥 的外接球体积为定值；   ④三棱锥 的体积为定值．其中所有真命题的序号是　     　．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ．  （1）求角A的大小；（2）若 ， ，求△ABC的面积．  18．已知数列{ }满足 ， ．  （1）证明{ }是等比数列，并求{ }的通项公式；  （2）求数列 的前n项和 ．  19．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．  0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635（1）完成 列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？        　有兴趣没兴趣合计男      　      　110女      　      　      　合计      　      　      　（2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出5名学生，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X名男生，求X的分布列和期望．20．如图，在三棱锥 中， ， ，O为AC的中点．  （1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为 ，求二面角 的平面角的余弦值．  21．已知函数 ．  （1）讨论当 时，f（x）单调性．  （2）证明： ．  22．已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．  （1）求曲线C的方程．（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ．  答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】D12．【答案】B13．【答案】214．【答案】515．【答案】916．【答案】②④17．【答案】（1）解：由已知及正弦定理知： 因为C为锐角，则 ，所以 因为A为锐角，则 （2）解：由余弦定理， 则 ，即 即 ，因为 ，则 所以△ABC的面积 18．【答案】（1）证明：法一：由 ，得 Q  所以 是首项为2，公比为2的等比数列即 ，因此{ }的通项公式为 法二：Q  ，且 又所以 是首项为2，公比为2的等比数列即 ，因此{ }的通项公式为 （2）解：由（1）知 ，令 则 所以 综上 19．【答案】（1）解：根据已知数据得到如下列联表       　有兴趣没有兴趣台计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得到 ∵∴有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”（2）解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的5人中，有3个男生对冰球感兴趣，有2个女生对冰球感兴趣，则X的可能取值为1，2，3， ∴所以X的分布列为X123P所以，的期望为 20．【答案】（1）证明：连接OB． 法一：∵ ，∴ ，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴又∵ ，∴∴∴ ，OB、AC 平面ABC∴PO⊥平面ABC法二：连接 ， ，O为AC的中点∴Q  ∴∴∴∴ ，OB、AC 平面ABC∴PO⊥平面ABC（2）解：由（1）知 PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角∴ ，∴ ，在△OMC中由正弦定理可得 ，∴M为BC的中点法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作 交PA于F，连MF∴MF⊥PA  ∴∠MFE即为所求∴∴法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系M（ ， ，0）． 记 为面AMP的法向量则面APC的法向量 易知 所成角为锐角记为 21．【答案】（1）解：由题意可知 对于二次函数 ．当 时， 恒成立，f（x）在 上单调递减；当 时，二次函数 有2个大于零的零点，分别是 ，当 ，f（x）在 单调递增；当 ，f（x）在 和 单调递减综上：当 时，f（x）在（0，＋∞）单调递减当 时f（x）在 单调递增； 单调递减（2）证明：要证 ，即证 （方法一）设 ，则 ， 在（0，＋∞）上为增函数，因为 ，所以 在（ ，1）上存在唯一的零点m，且 ，即 所以h（x）在（0，m）上单调递减，在 上单调递增，所以 因为 ，所以等号不成立，所 ，所以 ，从而原不等式得证（方法二）不妨设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，因此 恒成立，则 恒成立，则 恒成立，即 又 ，所以等号不成立，即 ，从而不等式得证22．【答案】（1）解：Q（x，y），由题意，得 ，  化简得 ，所以Q的轨迹方程C为 法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y＝－1的距离相等，由抛物线定义知Q的轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 为准线的抛物线所以Q的轨迹方程C为 （2）证明：不妨设 ，因为 ，所以 ，  从而直线PA的斜率为 ，解得 ，即A（2，1），又F（0，1），所以 轴．要使 ，只需 设直线m的方程为 ，代入 并整理，得 ．首先， ，解得 或 ．其次，设M（ ， ），N（ ， ），则 故存在直线m，使得 ，此时直线m的斜率的取值范围为